Eine Funktion der Form \[ z = f(t) = {{c1::z_0 \cdot a^t = z_0 \cdot e^{kt} }} \]mit \(z_0 > 0\) heisst (verallgemeinerte) Exponentialfunktion mit Anfangswert \(z_0 = z(0)\) und Wachstumsfaktor / Basis \(a\).
Note 1: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
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Note Type: Horvath Cloze
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#1g{RY|.uS
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Eine Funktion der Form \[ z = f(t) = {{c1::z_0 \cdot a^t = z_0 \cdot e^{kt} }} \]mit \(z_0 > 0\) heisst (verallgemeinerte) Exponentialfunktion mit Anfangswert \(z_0 = z(0)\) und Wachstumsfaktor / Basis \(a\).
Wichtigste Eigenschaft: Die relative Zunahme ist konstant: \[ \frac{z(t+s)}{z(t)} = \frac{z_0 a^{t+s} }{z_0 a^t} = a^s \](unabhängig von \(t\), nur abhängig von \(s\)).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Eine Funktion der Form \[ z = f(t) = {{c1::z_0 \cdot a^t = z_0 \cdot e^{kt} }} \]mit \(z_0 > 0\) heisst <i>(verallgemeinerte) Exponentialfunktion</i> mit {{c2::Anfangswert \(z_0 = z(0)\)}} und {{c3::Wachstumsfaktor / Basis \(a\)}}. | |
| Extra | Wichtigste Eigenschaft: Die <i>relative Zunahme</i> ist konstant: \[ \frac{z(t+s)}{z(t)} = \frac{z_0 a^{t+s} }{z_0 a^t} = a^s \](unabhängig von \(t\), nur abhängig von \(s\)). |
Note 2: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
#uX+tPSPEz
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Definitionen der hyperbolischen Funktionen:
\[ \sinh(x) = {{c1::\tfrac{1}{2}(e^x - e^{-x})}}, \quad \cosh(x) = {{c2::\tfrac{1}{2}(e^x + e^{-x})}} \]
\[ \sinh(x) = {{c1::\tfrac{1}{2}(e^x - e^{-x})}}, \quad \cosh(x) = {{c2::\tfrac{1}{2}(e^x + e^{-x})}} \]
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Definitionen der hyperbolischen Funktionen:
\[ \sinh(x) = {{c1::\tfrac{1}{2}(e^x - e^{-x})}}, \quad \cosh(x) = {{c2::\tfrac{1}{2}(e^x + e^{-x})}} \]
\[ \sinh(x) = {{c1::\tfrac{1}{2}(e^x - e^{-x})}}, \quad \cosh(x) = {{c2::\tfrac{1}{2}(e^x + e^{-x})}} \]
Es gilt die Identität \(\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Definitionen der hyperbolischen Funktionen:<br>\[ \sinh(x) = {{c1::\tfrac{1}{2}(e^x - e^{-x})}}, \quad \cosh(x) = {{c2::\tfrac{1}{2}(e^x + e^{-x})}} \] | |
| Extra | Es gilt die Identität \(\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1\). |
Note 3: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID:
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Note Type: Horvath Classic
GUID:
$|lO!@&I16
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Wie kann eine Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) formal als Abbildung aufgefasst werden?
Back
Wie kann eine Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) formal als Abbildung aufgefasst werden?
Als Abbildung \(f : \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}\) (oder \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\)).
Die Bilder \(a(n) = a_n\) sind dann gerade die Elemente der Folge und werden Glieder der Folge genannt.
Alternative Schreibweisen: \((a_n)_{n \geq 0}\) oder \((a_n)_{n=0}^{\infty}\).
Die Bilder \(a(n) = a_n\) sind dann gerade die Elemente der Folge und werden Glieder der Folge genannt.
Alternative Schreibweisen: \((a_n)_{n \geq 0}\) oder \((a_n)_{n=0}^{\infty}\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Front | Wie kann eine Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) formal als Abbildung aufgefasst werden? | |
| Back | Als Abbildung \(f : \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}\) (oder \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\)).<br><br>Die Bilder \(a(n) = a_n\) sind dann gerade die Elemente der Folge und werden <i>Glieder</i> der Folge genannt.<br><br>Alternative Schreibweisen: \((a_n)_{n \geq 0}\) oder \((a_n)_{n=0}^{\infty}\). |
Note 4: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
&OPhgK|Xk%
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Eine Funktion \(f : D \to \mathbb{R}\) heisst \(n\)-fach stetig differenzierbar, falls {{c1::die \(n\)-ten Ableitungen \(f^{(n)}\) auch noch stetige Funktionen sind}}. Die Menge dieser Funktionen wird mit \(C^n(D)\) bezeichnet.
Back
Eine Funktion \(f : D \to \mathbb{R}\) heisst \(n\)-fach stetig differenzierbar, falls {{c1::die \(n\)-ten Ableitungen \(f^{(n)}\) auch noch stetige Funktionen sind}}. Die Menge dieser Funktionen wird mit \(C^n(D)\) bezeichnet.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Eine Funktion \(f : D \to \mathbb{R}\) heisst <i>\(n\)-fach stetig differenzierbar</i>, falls {{c1::die \(n\)-ten Ableitungen \(f^{(n)}\) auch noch stetige Funktionen sind}}. Die Menge dieser Funktionen wird mit {{c2::\(C^n(D)\)}} bezeichnet. |
Note 5: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
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Note Type: Horvath Cloze
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(&[&OU:I85
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Die Ableitung einer Funktion \(y = f(x)\) an der Stelle \(a\) ist (sofern der Grenzwert existiert) gegeben durch
\[ f'(a) = {{c1::\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{b \to a} \frac{f(b) - f(a)}{b - a} }} \]
\[ f'(a) = {{c1::\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{b \to a} \frac{f(b) - f(a)}{b - a} }} \]
Back
Die Ableitung einer Funktion \(y = f(x)\) an der Stelle \(a\) ist (sofern der Grenzwert existiert) gegeben durch
\[ f'(a) = {{c1::\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{b \to a} \frac{f(b) - f(a)}{b - a} }} \]
\[ f'(a) = {{c1::\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{b \to a} \frac{f(b) - f(a)}{b - a} }} \]
Alternative Notationen: \(\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=a} = \dfrac{df}{dx}\bigg|_{x=a}\). Wird auch Differentialquotient genannt.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Die <i>Ableitung</i> einer Funktion \(y = f(x)\) an der Stelle \(a\) ist (sofern der Grenzwert existiert) gegeben durch<br>\[ f'(a) = {{c1::\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{b \to a} \frac{f(b) - f(a)}{b - a} }} \] | |
| Extra | Alternative Notationen: \(\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=a} = \dfrac{df}{dx}\bigg|_{x=a}\). Wird auch <i>Differentialquotient</i> genannt. |
Note 6: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
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Note Type: Horvath Cloze
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(/E:Ju`[oD
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Sei \(I \subset \mathbb{R}\) ein Intervall und \(f : I \to \mathbb{R}\) differenzierbar. Dann ist \(f\) auf \(I\) genau dann konvex, wenn \(f'\) auf \(I\) wachsend ist.
Back
Sei \(I \subset \mathbb{R}\) ein Intervall und \(f : I \to \mathbb{R}\) differenzierbar. Dann ist \(f\) auf \(I\) genau dann konvex, wenn \(f'\) auf \(I\) wachsend ist.
Charakterisierung der Konvexität über die erste Ableitung. Analog: \(f\) konkav \(\iff f'\) fallend.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Sei \(I \subset \mathbb{R}\) ein Intervall und \(f : I \to \mathbb{R}\) differenzierbar. Dann ist \(f\) auf \(I\) genau dann {{c1::konvex}}, wenn {{c2::\(f'\) auf \(I\) wachsend}} ist. | |
| Extra | Charakterisierung der Konvexität über die erste Ableitung. Analog: \(f\) konkav \(\iff f'\) fallend. |
Note 7: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
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Note Type: Horvath Cloze
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).KJ_Zg,X(
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Der Übergang \(f(x) \rightarrow g(x) = k + f(x)\) entspricht einer Verschiebung in vertikaler Richtung um \(k\) Einheiten.
Back
Der Übergang \(f(x) \rightarrow g(x) = k + f(x)\) entspricht einer Verschiebung in vertikaler Richtung um \(k\) Einheiten.
Bei \(k > 0\) nach oben, bei \(k < 0\) nach unten.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Der Übergang \(f(x) \rightarrow g(x) = k + f(x)\) entspricht einer {{c1::Verschiebung in vertikaler Richtung um \(k\) Einheiten}}. | |
| Extra | Bei \(k > 0\) nach oben, bei \(k < 0\) nach unten. |
Note 8: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
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Note Type: Horvath Cloze
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)S?6%dT4^L
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Für einen Winkel \(\omega\) im Einheitskreis sei \(P\) der Punkt auf der Kreislinie, der dem Winkel entspricht. Dann gilt:
- \(\sin(\omega) = {{c1::\text{y-Koordinate von } P}}\)
- \(\cos(\omega) = {{c2::\text{x-Koordinate von } P}}\)
Back
Für einen Winkel \(\omega\) im Einheitskreis sei \(P\) der Punkt auf der Kreislinie, der dem Winkel entspricht. Dann gilt:
- \(\sin(\omega) = {{c1::\text{y-Koordinate von } P}}\)
- \(\cos(\omega) = {{c2::\text{x-Koordinate von } P}}\)
Daraus folgt unmittelbar (Pythagoras): \(\cos^2(\omega) + \sin^2(\omega) = 1\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Für einen Winkel \(\omega\) im Einheitskreis sei \(P\) der Punkt auf der Kreislinie, der dem Winkel entspricht. Dann gilt:<ul><li>\(\sin(\omega) = {{c1::\text{y-Koordinate von } P}}\)</li><li>\(\cos(\omega) = {{c2::\text{x-Koordinate von } P}}\)</li></ul> | |
| Extra | Daraus folgt unmittelbar (Pythagoras): \(\cos^2(\omega) + \sin^2(\omega) = 1\). |
Note 9: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
+Fl63V!T[@
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Eine Funktion \(f : X \to Y\) heisst surjektiv, falls gilt:
\[ \forall y \in Y \;\exists x \in X : f(x) = y \]
\[ \forall y \in Y \;\exists x \in X : f(x) = y \]
Back
Eine Funktion \(f : X \to Y\) heisst surjektiv, falls gilt:
\[ \forall y \in Y \;\exists x \in X : f(x) = y \]
\[ \forall y \in Y \;\exists x \in X : f(x) = y \]
Anschaulich: jedes Element des Zielbereichs wird tatsächlich getroffen, d.h. \(\text{image}(f) = Y\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Eine Funktion \(f : X \to Y\) heisst <i>surjektiv</i>, falls gilt:<br>\[ {{c1::\forall y \in Y \;\exists x \in X : f(x) = y}} \] | |
| Extra | Anschaulich: jedes Element des Zielbereichs wird tatsächlich getroffen, d.h. \(\text{image}(f) = Y\). |
Note 10: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
-Y*
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Das \(n\)-te Taylorpolynom von \(f\) an der Entwicklungsstelle \(x_0\) ist
\[ P_n(x) = {{c1::\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k }} \]
\[ P_n(x) = {{c1::\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k }} \]
Back
Das \(n\)-te Taylorpolynom von \(f\) an der Entwicklungsstelle \(x_0\) ist
\[ P_n(x) = {{c1::\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k }} \]
\[ P_n(x) = {{c1::\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k }} \]
Voraussetzung: \(f\) ist auf einem offenen Intervall \(I\) mit \(x_0 \in I\) genügend oft differenzierbar.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Das <i>\(n\)-te Taylorpolynom</i> von \(f\) an der Entwicklungsstelle \(x_0\) ist<br>\[ P_n(x) = {{c1::\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k }} \] | |
| Extra | Voraussetzung: \(f\) ist auf einem offenen Intervall \(I\) mit \(x_0 \in I\) genügend oft differenzierbar. |
Note 11: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
-ezQ~8.]5O
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Front
Die mittlere Änderungsrate einer Funktion \(f\) zwischen \(a\) und \(a+h\) heisst auch Differenzenquotient und ist gegeben durch
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = {{c2::\frac{f(a+h) - f(a)}{h} }} \]
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = {{c2::\frac{f(a+h) - f(a)}{h} }} \]
Back
Die mittlere Änderungsrate einer Funktion \(f\) zwischen \(a\) und \(a+h\) heisst auch Differenzenquotient und ist gegeben durch
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = {{c2::\frac{f(a+h) - f(a)}{h} }} \]
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = {{c2::\frac{f(a+h) - f(a)}{h} }} \]
Geometrisch entspricht der Differenzenquotient der Steigung der Sekante durch die Punkte \((a, f(a))\) und \((a+h, f(a+h))\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Die <i>mittlere Änderungsrate</i> einer Funktion \(f\) zwischen \(a\) und \(a+h\) heisst auch {{c1::Differenzenquotient}} und ist gegeben durch<br>\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = {{c2::\frac{f(a+h) - f(a)}{h} }} \] | |
| Extra | Geometrisch entspricht der Differenzenquotient der <b>Steigung der Sekante</b> durch die Punkte \((a, f(a))\) und \((a+h, f(a+h))\). |
Note 12: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
.,irs!+R~h
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Taylorreihe des Cosinus (konvergiert für alle \(x \in \mathbb{R}\)):
\[ \cos(x) = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} }} = 1 - \tfrac{1}{2!} x^2 + \tfrac{1}{4!} x^4 - \dots \]
\[ \cos(x) = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} }} = 1 - \tfrac{1}{2!} x^2 + \tfrac{1}{4!} x^4 - \dots \]
Back
Taylorreihe des Cosinus (konvergiert für alle \(x \in \mathbb{R}\)):
\[ \cos(x) = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} }} = 1 - \tfrac{1}{2!} x^2 + \tfrac{1}{4!} x^4 - \dots \]
\[ \cos(x) = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} }} = 1 - \tfrac{1}{2!} x^2 + \tfrac{1}{4!} x^4 - \dots \]
Nur gerade Potenzen, weil \(\cos\) eine gerade Funktion ist. Entwicklungsstelle \(a = 0\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Taylorreihe des Cosinus (konvergiert für alle \(x \in \mathbb{R}\)):<br>\[ \cos(x) = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} }} = 1 - \tfrac{1}{2!} x^2 + \tfrac{1}{4!} x^4 - \dots \] | |
| Extra | Nur gerade Potenzen, weil \(\cos\) eine gerade Funktion ist. Entwicklungsstelle \(a = 0\). |
Note 13: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
/.[08Se%]c
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Front
Satz von Rolle: Sei \(a < b\) und \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) auf ganz \([a, b]\) stetig und auf \((a, b)\) differenzierbar. Falls \(f(a) = f(b)\), dann existiert ein \(\xi \in (a, b)\) mit \(f'(\xi) = 0\).
Back
Satz von Rolle: Sei \(a < b\) und \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) auf ganz \([a, b]\) stetig und auf \((a, b)\) differenzierbar. Falls \(f(a) = f(b)\), dann existiert ein \(\xi \in (a, b)\) mit \(f'(\xi) = 0\).
Geometrisch: zwischen zwei Punkten gleicher Höhe gibt es mindestens eine Stelle mit horizontaler Tangente.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | <b>Satz von Rolle:</b> Sei \(a < b\) und \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) auf ganz \([a, b]\) {{c1::stetig}} und auf \((a, b)\) {{c2::differenzierbar}}. Falls {{c3::\(f(a) = f(b)\)}}, dann existiert ein \(\xi \in (a, b)\) mit {{c4::\(f'(\xi) = 0\)}}. | |
| Extra | Geometrisch: zwischen zwei Punkten gleicher Höhe gibt es mindestens eine Stelle mit horizontaler Tangente. |
Note 14: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
/ijGfLWC0u
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Front
Eine Folge kann auf zwei Arten beschrieben werden:
- Explizit: \(a_n = f(n)\): jedes Folgenglied wird direkt aus \(n\) berechnet.
- {{c2::Rekursiv: \(a_n = g(a_{n-1}, a_{n-2}, \dots)\): jedes neue Glied wird aus den vorangehenden konstruiert.}}
Back
Eine Folge kann auf zwei Arten beschrieben werden:
- Explizit: \(a_n = f(n)\): jedes Folgenglied wird direkt aus \(n\) berechnet.
- {{c2::Rekursiv: \(a_n = g(a_{n-1}, a_{n-2}, \dots)\): jedes neue Glied wird aus den vorangehenden konstruiert.}}
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Eine Folge kann auf zwei Arten beschrieben werden:<br><ul><li>{{c1::<b>Explizit:</b> \(a_n = f(n)\): jedes Folgenglied wird direkt aus \(n\) berechnet.}}<br></li><li>{{c2::<b>Rekursiv:</b> \(a_n = g(a_{n-1}, a_{n-2}, \dots)\): jedes neue Glied wird aus den vorangehenden konstruiert.}}<br></li></ul>Die Funktionen \(f\) bzw. \(g\) heissen jeweils {{c3::Bildungsgesetz}}. |
Note 15: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
1SQ~J>af>t
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Front
Eine Funktion \(f : X \to Y\) heisst injektiv, falls gilt:
\[ \forall x_1, x_2 \in X \;\big(f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\big) \]
\[ \forall x_1, x_2 \in X \;\big(f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\big) \]
Back
Eine Funktion \(f : X \to Y\) heisst injektiv, falls gilt:
\[ \forall x_1, x_2 \in X \;\big(f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\big) \]
\[ \forall x_1, x_2 \in X \;\big(f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\big) \]
Anschaulich: verschiedene Inputs werden auf verschiedene Outputs abgebildet (keine zwei Inputs werden "zusammengeworfen").
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Eine Funktion \(f : X \to Y\) heisst <i>injektiv</i>, falls gilt:<br>\[ {{c1::\forall x_1, x_2 \in X \;\big(f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\big)}} \] | |
| Extra | Anschaulich: verschiedene Inputs werden auf verschiedene Outputs abgebildet (keine zwei Inputs werden "zusammengeworfen"). |
Note 16: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
3:g]mJgPq,
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Front
Ist \(f\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar, so ist \(f\) an dieser Stelle insbesondere stetig.
Back
Ist \(f\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar, so ist \(f\) an dieser Stelle insbesondere stetig.
Die Umkehrung gilt nicht: stetige Funktionen müssen nicht differenzierbar sein (z.B. \(|x|\) bei \(x_0 = 0\)). Proof Included
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Ist \(f\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar, so ist \(f\) an dieser Stelle insbesondere {{c1::stetig}}. | |
| Extra | Die Umkehrung gilt nicht: stetige Funktionen müssen nicht differenzierbar sein (z.B. \(|x|\) bei \(x_0 = 0\)). Proof Included |
Note 17: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
5`CuDfZ11/
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Front
Leibniz-Regel (Produktregel höhere Ordnung): Sind \(f, g\) an \(x_0\) \(n\)-fach differenzierbar, so ist auch \(f \cdot g\) \(n\)-fach differenzierbar mit
\[ (f \cdot g)^{(n)}(x_0) = {{c1::\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x_0)\, g^{(n-k)}(x_0) }} \]
\[ (f \cdot g)^{(n)}(x_0) = {{c1::\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x_0)\, g^{(n-k)}(x_0) }} \]
Back
Leibniz-Regel (Produktregel höhere Ordnung): Sind \(f, g\) an \(x_0\) \(n\)-fach differenzierbar, so ist auch \(f \cdot g\) \(n\)-fach differenzierbar mit
\[ (f \cdot g)^{(n)}(x_0) = {{c1::\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x_0)\, g^{(n-k)}(x_0) }} \]
\[ (f \cdot g)^{(n)}(x_0) = {{c1::\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x_0)\, g^{(n-k)}(x_0) }} \]
Spezialfall \(n = 1\): klassische Produktregel \((fg)' = f'g + fg'\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | <b>Leibniz-Regel</b> (Produktregel höhere Ordnung): Sind \(f, g\) an \(x_0\) \(n\)-fach differenzierbar, so ist auch \(f \cdot g\) \(n\)-fach differenzierbar mit<br>\[ (f \cdot g)^{(n)}(x_0) = {{c1::\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x_0)\, g^{(n-k)}(x_0) }} \] | |
| Extra | Spezialfall \(n = 1\): klassische Produktregel \((fg)' = f'g + fg'\). |
Note 18: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
6AY-O]uG4m
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Front
Termweises Ableiten: Sei \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) eine Potenzreihe und \(x\) im Konvergenzintervall \(I\). Dann ist \(f\) auf \(I\) differenzierbar und es gilt
\[ f'(x) = {{c1::\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} }} \]
\[ f'(x) = {{c1::\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} }} \]
Back
Termweises Ableiten: Sei \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) eine Potenzreihe und \(x\) im Konvergenzintervall \(I\). Dann ist \(f\) auf \(I\) differenzierbar und es gilt
\[ f'(x) = {{c1::\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} }} \]
\[ f'(x) = {{c1::\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} }} \]
Der Konvergenzradius der abgeleiteten Reihe ist gleich dem der ursprünglichen Reihe (am Rand des Konvergenzintervalls kann sich das Konvergenzverhalten aber ändern).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | <b>Termweises Ableiten:</b> Sei \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) eine Potenzreihe und \(x\) im Konvergenzintervall \(I\). Dann ist \(f\) auf \(I\) differenzierbar und es gilt<br>\[ f'(x) = {{c1::\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} }} \] | |
| Extra | Der Konvergenzradius der abgeleiteten Reihe ist gleich dem der ursprünglichen Reihe (am Rand des Konvergenzintervalls kann sich das Konvergenzverhalten aber ändern). |
Note 19: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
6S9)^&|TR5
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Front
Sei \(I \subset \mathbb{R}\) ein Intervall und \(f : I \to \mathbb{R}\) differenzierbar. Dann gilt
\[ f' \geq 0 \iff {{c1::f \text{ ist wachsend} }} \]
\[ f' \geq 0 \iff {{c1::f \text{ ist wachsend} }} \]
Back
Sei \(I \subset \mathbb{R}\) ein Intervall und \(f : I \to \mathbb{R}\) differenzierbar. Dann gilt
\[ f' \geq 0 \iff {{c1::f \text{ ist wachsend} }} \]
\[ f' \geq 0 \iff {{c1::f \text{ ist wachsend} }} \]
Strikte Variante: Aus \(f' > 0\) folgt, dass \(f\) streng monoton wachsend ist (die Umkehrung gilt nicht punktweise: z.B. \(f(x) = x^3\) ist streng wachsend, aber \(f'(0) = 0\)).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Sei \(I \subset \mathbb{R}\) ein Intervall und \(f : I \to \mathbb{R}\) differenzierbar. Dann gilt<br>\[ f' \geq 0 \iff {{c1::f \text{ ist wachsend} }} \] | |
| Extra | Strikte Variante: Aus \(f' > 0\) folgt, dass \(f\) streng monoton wachsend ist (die Umkehrung gilt nicht punktweise: z.B. \(f(x) = x^3\) ist streng wachsend, aber \(f'(0) = 0\)). |
Note 20: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
7ll?$D1)Rz
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Ableitungen der hyperbolischen Funktionen:
- \(\sinh'(x) = \cosh(x)\)
- \(\cosh'(x) = \sinh(x)\)
Back
Ableitungen der hyperbolischen Funktionen:
- \(\sinh'(x) = \cosh(x)\)
- \(\cosh'(x) = \sinh(x)\)
Im Gegensatz zu \(\cos\) erhält man bei \(\cosh'\) kein Minuszeichen.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Ableitungen der hyperbolischen Funktionen:<ul><li>\(\sinh'(x) = {{c1::\cosh(x)}}\)</li><li>\(\cosh'(x) = {{c2::\sinh(x)}}\)</li></ul> | |
| Extra | Im Gegensatz zu \(\cos\) erhält man bei \(\cosh'\) <b>kein</b> Minuszeichen. |
Note 21: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
81)U`*D!Lh
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Front
Jede beschränkte und monotone Folge in \(\mathbb{R}\) konvergiert.
Back
Jede beschränkte und monotone Folge in \(\mathbb{R}\) konvergiert.
(Direkte Implikation des Monotonie-Kriteriums von Weierstrass.)
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Jede {{c1::beschränkte und monotone}} Folge in \(\mathbb{R}\) {{c2::konvergiert}}. | |
| Extra | (Direkte Implikation des Monotonie-Kriteriums von Weierstrass.) |
Note 22: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
856qv[x]vy
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Die Taylorreihe (Taylorentwicklung) von \(f\) um den Punkt \(a\) ist die Reihe
\[ {{c1::\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k }} = f(a) + f'(a)(x - a) + \tfrac{1}{2} f''(a)(x - a)^2 + \dots \]
\[ {{c1::\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k }} = f(a) + f'(a)(x - a) + \tfrac{1}{2} f''(a)(x - a)^2 + \dots \]
Back
Die Taylorreihe (Taylorentwicklung) von \(f\) um den Punkt \(a\) ist die Reihe
\[ {{c1::\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k }} = f(a) + f'(a)(x - a) + \tfrac{1}{2} f''(a)(x - a)^2 + \dots \]
\[ {{c1::\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k }} = f(a) + f'(a)(x - a) + \tfrac{1}{2} f''(a)(x - a)^2 + \dots \]
Achtung: Konvergenz der Taylorreihe und Übereinstimmung mit \(f\) sind zwei verschiedene Aussagen. Funktionen, deren Taylorreihe in einer Umgebung gegen die Funktion konvergiert, heissen analytisch.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Die <i>Taylorreihe</i> (Taylorentwicklung) von \(f\) um den Punkt \(a\) ist die Reihe<br>\[ {{c1::\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k }} = f(a) + f'(a)(x - a) + \tfrac{1}{2} f''(a)(x - a)^2 + \dots \] | |
| Extra | Achtung: Konvergenz der Taylorreihe und Übereinstimmung mit \(f\) sind zwei verschiedene Aussagen. Funktionen, deren Taylorreihe in einer Umgebung gegen die Funktion konvergiert, heissen <i>analytisch</i>. |
Note 23: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
99zvEoaswY
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Front
Der Übergang \(f(x) \rightarrow g(x) = f(x + k)\) entspricht einer Verschiebung in horizontaler Richtung:
- \(k < 0\): Verschiebung in positiver horizontaler Richtung um \(|k|\) Einheiten.
- \(k > 0\): Verschiebung in negativer horizontaler Richtung um \(|k|\) Einheiten.
Back
Der Übergang \(f(x) \rightarrow g(x) = f(x + k)\) entspricht einer Verschiebung in horizontaler Richtung:
- \(k < 0\): Verschiebung in positiver horizontaler Richtung um \(|k|\) Einheiten.
- \(k > 0\): Verschiebung in negativer horizontaler Richtung um \(|k|\) Einheiten.
Achtung: Das Vorzeichen wirkt entgegengesetzt zur Intuition. \(f(x-3)\) verschiebt nach rechts um 3, weil der "alte" Funktionswert \(f(0)\) jetzt erst bei \(x = 3\) erreicht wird.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Der Übergang \(f(x) \rightarrow g(x) = f(x + k)\) entspricht einer Verschiebung in horizontaler Richtung:<ul><li>\(k < 0\): Verschiebung in {{c1::positiver}} horizontaler Richtung um \(|k|\) Einheiten.</li><li>\(k > 0\): Verschiebung in {{c2::negativer}} horizontaler Richtung um \(|k|\) Einheiten.</li></ul> | |
| Extra | Achtung: Das Vorzeichen wirkt <i>entgegengesetzt</i> zur Intuition. \(f(x-3)\) verschiebt nach <i>rechts</i> um 3, weil der "alte" Funktionswert \(f(0)\) jetzt erst bei \(x = 3\) erreicht wird. |
Note 24: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
9Hrv1R?bU/
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Eine Funktion der Form \[ y = f(x) = {{c1::a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = \sum_{s=0}^n a_s x^s}} \]mit \(n \in \mathbb{N}\), \(a_n \neq 0\) und \(a_s \in \mathbb{R}\) heisst Polynom (auch ganzrationale Funktion).
Die \(a_s\) heissen Koeffizienten, \(n\) heisst Grad des Polynoms.
Die \(a_s\) heissen Koeffizienten, \(n\) heisst Grad des Polynoms.
Back
Eine Funktion der Form \[ y = f(x) = {{c1::a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = \sum_{s=0}^n a_s x^s}} \]mit \(n \in \mathbb{N}\), \(a_n \neq 0\) und \(a_s \in \mathbb{R}\) heisst Polynom (auch ganzrationale Funktion).
Die \(a_s\) heissen Koeffizienten, \(n\) heisst Grad des Polynoms.
Die \(a_s\) heissen Koeffizienten, \(n\) heisst Grad des Polynoms.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Eine Funktion der Form \[ y = f(x) = {{c1::a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = \sum_{s=0}^n a_s x^s}} \]mit \(n \in \mathbb{N}\), \(a_n \neq 0\) und \(a_s \in \mathbb{R}\) heisst <i>Polynom</i> (auch <i>ganzrationale Funktion</i>).<br><br>Die \(a_s\) heissen {{c2::Koeffizienten}}, \(n\) heisst {{c3::Grad des Polynoms}}. |
Note 25: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
9h^;c]!7GQ
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Front
Umrechnung vom Bogenmass ins Gradmass: \[ \alpha_{GM} = {{c1::\frac{\alpha_{BM} }{2\pi} \cdot 360^\circ}} \]
Back
Umrechnung vom Bogenmass ins Gradmass: \[ \alpha_{GM} = {{c1::\frac{\alpha_{BM} }{2\pi} \cdot 360^\circ}} \]
Wichtige Werte:
\(0^\circ \leftrightarrow 0\), \(30^\circ \leftrightarrow \pi/6\), \(45^\circ \leftrightarrow \pi/4\), \(60^\circ \leftrightarrow \pi/3\), \(90^\circ \leftrightarrow \pi/2\), \(180^\circ \leftrightarrow \pi\), \(360^\circ \leftrightarrow 2\pi\).
\(0^\circ \leftrightarrow 0\), \(30^\circ \leftrightarrow \pi/6\), \(45^\circ \leftrightarrow \pi/4\), \(60^\circ \leftrightarrow \pi/3\), \(90^\circ \leftrightarrow \pi/2\), \(180^\circ \leftrightarrow \pi\), \(360^\circ \leftrightarrow 2\pi\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Umrechnung vom Bogenmass ins Gradmass: \[ \alpha_{GM} = {{c1::\frac{\alpha_{BM} }{2\pi} \cdot 360^\circ}} \] | |
| Extra | Wichtige Werte:<br>\(0^\circ \leftrightarrow 0\), \(30^\circ \leftrightarrow \pi/6\), \(45^\circ \leftrightarrow \pi/4\), \(60^\circ \leftrightarrow \pi/3\), \(90^\circ \leftrightarrow \pi/2\), \(180^\circ \leftrightarrow \pi\), \(360^\circ \leftrightarrow 2\pi\). |
Note 26: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
;=NJ#GtW/M
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Front
Sei \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) eine Folge und \(M = \{a_n \mid n \in \mathbb{N}_0\}\).
- \((a_n)\) heisst nach oben beschränkt, falls \(M\) eine obere Schranke besitzt.
- \((a_n)\) heisst nach unten beschränkt, falls \(M\) eine untere Schranke besitzt.
- \((a_n)\) heisst beschränkt, falls sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
Back
Sei \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) eine Folge und \(M = \{a_n \mid n \in \mathbb{N}_0\}\).
- \((a_n)\) heisst nach oben beschränkt, falls \(M\) eine obere Schranke besitzt.
- \((a_n)\) heisst nach unten beschränkt, falls \(M\) eine untere Schranke besitzt.
- \((a_n)\) heisst beschränkt, falls sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Sei \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) eine Folge und \(M = \{a_n \mid n \in \mathbb{N}_0\}\).<br><ul><li>\((a_n)\) heisst <i>nach oben beschränkt</i>, falls {{c1::\(M\) eine obere Schranke besitzt}}.</li><li>\((a_n)\) heisst <i>nach unten beschränkt</i>, falls {{c1::\(M\) eine untere Schranke besitzt}}.</li><li>\((a_n)\) heisst <i>beschränkt</i>, falls sie {{c2::sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt}} ist.</li></ul> |
Note 27: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
;{0E=yPeo5
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Termweises Integrieren: Sei \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) eine Potenzreihe mit Konvergenzintervall \(I\) und \([a, b] \subset I\). Dann ist \(f\) auf \([a, b]\) integrierbar und es gilt
\[ \int_a^b f(x)\, dx = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} \int_a^b a_n x^n\, dx }} \]
\[ \int_a^b f(x)\, dx = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} \int_a^b a_n x^n\, dx }} \]
Back
Termweises Integrieren: Sei \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) eine Potenzreihe mit Konvergenzintervall \(I\) und \([a, b] \subset I\). Dann ist \(f\) auf \([a, b]\) integrierbar und es gilt
\[ \int_a^b f(x)\, dx = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} \int_a^b a_n x^n\, dx }} \]
\[ \int_a^b f(x)\, dx = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} \int_a^b a_n x^n\, dx }} \]
Damit kann man oft Stammfunktionen finden, indem man die Reihe der Ableitung integriert (z.B. liefert termweises Integrieren von \(\tfrac{1}{1+x^2} = \sum (-1)^n x^{2n}\) die Reihe für \(\arctan x\)).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | <b>Termweises Integrieren:</b> Sei \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) eine Potenzreihe mit Konvergenzintervall \(I\) und \([a, b] \subset I\). Dann ist \(f\) auf \([a, b]\) integrierbar und es gilt<br>\[ \int_a^b f(x)\, dx = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} \int_a^b a_n x^n\, dx }} \] | |
| Extra | Damit kann man oft Stammfunktionen finden, indem man die Reihe der Ableitung integriert (z.B. liefert termweises Integrieren von \(\tfrac{1}{1+x^2} = \sum (-1)^n x^{2n}\) die Reihe für \(\arctan x\)). |
Note 28: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
=bqKm7J]I7
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Front
Ableitung einer Potenzfunktion \(f(x) = a x^p\) (mit \(p \neq 0\)):
\[ f'(x) = {{c1::a \cdot p \cdot x^{p-1} }} \]
\[ f'(x) = {{c1::a \cdot p \cdot x^{p-1} }} \]
Back
Ableitung einer Potenzfunktion \(f(x) = a x^p\) (mit \(p \neq 0\)):
\[ f'(x) = {{c1::a \cdot p \cdot x^{p-1} }} \]
\[ f'(x) = {{c1::a \cdot p \cdot x^{p-1} }} \]
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Ableitung einer <i>Potenzfunktion</i> \(f(x) = a x^p\) (mit \(p \neq 0\)):<br>\[ f'(x) = {{c1::a \cdot p \cdot x^{p-1} }} \] |
Note 29: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
>SW%8P88yG
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Front
Die Menge der glatten Funktionen auf \(D\) ist definiert als
\[ C^\infty(D) := {{c1::\bigcap_{n=0}^{\infty} C^n(D) }} \]Eine Funktion \(f \in C^\infty(D)\) ist also beliebig oft stetig differenzierbar.
\[ C^\infty(D) := {{c1::\bigcap_{n=0}^{\infty} C^n(D) }} \]Eine Funktion \(f \in C^\infty(D)\) ist also beliebig oft stetig differenzierbar.
Back
Die Menge der glatten Funktionen auf \(D\) ist definiert als
\[ C^\infty(D) := {{c1::\bigcap_{n=0}^{\infty} C^n(D) }} \]Eine Funktion \(f \in C^\infty(D)\) ist also beliebig oft stetig differenzierbar.
\[ C^\infty(D) := {{c1::\bigcap_{n=0}^{\infty} C^n(D) }} \]Eine Funktion \(f \in C^\infty(D)\) ist also beliebig oft stetig differenzierbar.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Die Menge der <i>glatten Funktionen</i> auf \(D\) ist definiert als<br>\[ C^\infty(D) := {{c1::\bigcap_{n=0}^{\infty} C^n(D) }} \]Eine Funktion \(f \in C^\infty(D)\) ist also {{c2::beliebig oft stetig differenzierbar}}. |
Note 30: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
?ekKX-TS6?
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Front
Binomialreihe für beliebigen Exponenten \(p \in \mathbb{R}\) (konvergiert für \(-1 < x < 1\)):
\[ (1 + x)^p = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} \binom{p}{n} x^n}} = 1 + p x + \frac{p(p-1)}{2!} x^2 + \dots \]
\[ (1 + x)^p = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} \binom{p}{n} x^n}} = 1 + p x + \frac{p(p-1)}{2!} x^2 + \dots \]
Back
Binomialreihe für beliebigen Exponenten \(p \in \mathbb{R}\) (konvergiert für \(-1 < x < 1\)):
\[ (1 + x)^p = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} \binom{p}{n} x^n}} = 1 + p x + \frac{p(p-1)}{2!} x^2 + \dots \]
\[ (1 + x)^p = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} \binom{p}{n} x^n}} = 1 + p x + \frac{p(p-1)}{2!} x^2 + \dots \]
Verallgemeinerter Binomialkoeffizient: \(\binom{p}{n} = \dfrac{p(p-1)\cdots(p-n+1)}{n!}\). Für \(p \in \mathbb{N}_0\) bricht die Reihe nach endlich vielen Termen ab und ergibt den klassischen binomischen Lehrsatz.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | <i>Binomialreihe</i> für beliebigen Exponenten \(p \in \mathbb{R}\) (konvergiert für \(-1 < x < 1\)):<br>\[ (1 + x)^p = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} \binom{p}{n} x^n}} = 1 + p x + \frac{p(p-1)}{2!} x^2 + \dots \] | |
| Extra | Verallgemeinerter Binomialkoeffizient: \(\binom{p}{n} = \dfrac{p(p-1)\cdots(p-n+1)}{n!}\). Für \(p \in \mathbb{N}_0\) bricht die Reihe nach endlich vielen Termen ab und ergibt den klassischen binomischen Lehrsatz. |
Note 31: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
?icn@l3Q5:
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Front
Falls der Grenzwert
\[ \lim_{\substack{h \to 0 \\ h > 0}} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]existiert, nennt man diesen die rechtsseitige Ableitung von \(f\) an der Stelle \(a\). Analog ist die linksseitige Ableitung definiert (mit \(h < 0\)).
\[ \lim_{\substack{h \to 0 \\ h > 0}} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]existiert, nennt man diesen die rechtsseitige Ableitung von \(f\) an der Stelle \(a\). Analog ist die linksseitige Ableitung definiert (mit \(h < 0\)).
Back
Falls der Grenzwert
\[ \lim_{\substack{h \to 0 \\ h > 0}} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]existiert, nennt man diesen die rechtsseitige Ableitung von \(f\) an der Stelle \(a\). Analog ist die linksseitige Ableitung definiert (mit \(h < 0\)).
\[ \lim_{\substack{h \to 0 \\ h > 0}} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]existiert, nennt man diesen die rechtsseitige Ableitung von \(f\) an der Stelle \(a\). Analog ist die linksseitige Ableitung definiert (mit \(h < 0\)).
\(f\) ist an der Stelle \(a\) genau dann differenzierbar, wenn beide einseitigen Ableitungen existieren und übereinstimmen.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Falls der Grenzwert<br>\[ \lim_{\substack{h \to 0 \\ h > 0}} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]existiert, nennt man diesen die {{c1::rechtsseitige Ableitung}} von \(f\) an der Stelle \(a\). Analog ist die {{c2::linksseitige Ableitung}} definiert (mit \(h < 0\)). | |
| Extra | \(f\) ist an der Stelle \(a\) genau dann differenzierbar, wenn beide einseitigen Ableitungen existieren und übereinstimmen. |
Note 32: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
?mj)dY3(
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Front
Multiplikation von Potenzreihen: Seien \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) und \(g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n\) zwei Potenzreihen und \(x\) im Konvergenzintervall beider Reihen. Dann gilt
\[ f(x) \cdot g(x) = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} \left(\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\right) x^n }} \]
\[ f(x) \cdot g(x) = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} \left(\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\right) x^n }} \]
Back
Multiplikation von Potenzreihen: Seien \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) und \(g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n\) zwei Potenzreihen und \(x\) im Konvergenzintervall beider Reihen. Dann gilt
\[ f(x) \cdot g(x) = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} \left(\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\right) x^n }} \]
\[ f(x) \cdot g(x) = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} \left(\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\right) x^n }} \]
Anwendung des Cauchy-Produkts auf Potenzreihen. Der Koeffizient von \(x^n\) im Produkt ist die Faltung \(\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\) der Koeffizientenfolgen.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | <b>Multiplikation von Potenzreihen:</b> Seien \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) und \(g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n\) zwei Potenzreihen und \(x\) im Konvergenzintervall beider Reihen. Dann gilt<br>\[ f(x) \cdot g(x) = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} \left(\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\right) x^n }} \] | |
| Extra | Anwendung des Cauchy-Produkts auf Potenzreihen. Der Koeffizient von \(x^n\) im Produkt ist die Faltung \(\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\) der Koeffizientenfolgen. |
Note 33: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID:
added
Note Type: Horvath Classic
GUID:
@i(&F/DW@U
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Front
Wie findet man den Graphen der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) geometrisch aus dem Graphen von \(f\)?
Back
Wie findet man den Graphen der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) geometrisch aus dem Graphen von \(f\)?
Durch Spiegelung an der Geraden \(y = x\).
Hintergrund: Der Punkt \((a, b)\) liegt auf dem Graphen von \(f\) genau dann, wenn \((b, a)\) auf dem Graphen von \(f^{-1}\) liegt; das Vertauschen der Koordinaten entspricht der Spiegelung an der Winkelhalbierenden.
Hintergrund: Der Punkt \((a, b)\) liegt auf dem Graphen von \(f\) genau dann, wenn \((b, a)\) auf dem Graphen von \(f^{-1}\) liegt; das Vertauschen der Koordinaten entspricht der Spiegelung an der Winkelhalbierenden.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Front | Wie findet man den Graphen der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) geometrisch aus dem Graphen von \(f\)? | |
| Back | Durch <b>Spiegelung an der Geraden \(y = x\)</b>.<br><br>Hintergrund: Der Punkt \((a, b)\) liegt auf dem Graphen von \(f\) genau dann, wenn \((b, a)\) auf dem Graphen von \(f^{-1}\) liegt; das Vertauschen der Koordinaten entspricht der Spiegelung an der Winkelhalbierenden. |
Note 34: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
A8gxC4~m&g
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Front
Geometrische Reihe als Potenzreihendarstellung (konvergiert für \(-1 < x < 1\)):
\[ \frac{1}{1 - x} = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} x^n}} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \]
\[ \frac{1}{1 - x} = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} x^n}} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \]
Back
Geometrische Reihe als Potenzreihendarstellung (konvergiert für \(-1 < x < 1\)):
\[ \frac{1}{1 - x} = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} x^n}} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \]
\[ \frac{1}{1 - x} = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} x^n}} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \]
Werkzeug: Durch Substitution erhält man viele weitere Reihen, etwa \(\tfrac{1}{1+x} = \sum (-1)^n x^n\) oder \(\tfrac{1}{1-x^2} = \sum x^{2n}\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Geometrische Reihe als Potenzreihendarstellung (konvergiert für \(-1 < x < 1\)):<br>\[ \frac{1}{1 - x} = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} x^n}} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \] | |
| Extra | Werkzeug: Durch Substitution erhält man viele weitere Reihen, etwa \(\tfrac{1}{1+x} = \sum (-1)^n x^n\) oder \(\tfrac{1}{1-x^2} = \sum x^{2n}\). |
Note 35: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
D$mpE+`y{,
Previous
Note did not exist
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Front
Ableitungen der Umkehrfunktionen:
- \(\ln'(x) = {{c1::\dfrac{1}{x} }}\)
- \(\arcsin'(x) = {{c2::\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2} } }}\)
- \(\arccos'(x) = {{c3::\dfrac{-1}{\sqrt{1 - x^2} } }}\)
- \(\arctan'(x) = {{c4::\dfrac{1}{1 + x^2} }}\)
Back
Ableitungen der Umkehrfunktionen:
- \(\ln'(x) = {{c1::\dfrac{1}{x} }}\)
- \(\arcsin'(x) = {{c2::\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2} } }}\)
- \(\arccos'(x) = {{c3::\dfrac{-1}{\sqrt{1 - x^2} } }}\)
- \(\arctan'(x) = {{c4::\dfrac{1}{1 + x^2} }}\)
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Ableitungen der Umkehrfunktionen:<ul><li>\(\ln'(x) = {{c1::\dfrac{1}{x} }}\)</li><li>\(\arcsin'(x) = {{c2::\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2} } }}\)</li><li>\(\arccos'(x) = {{c3::\dfrac{-1}{\sqrt{1 - x^2} } }}\)</li><li>\(\arctan'(x) = {{c4::\dfrac{1}{1 + x^2} }}\)</li></ul> |
Note 36: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
E,y;F`T):N
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Note did not exist
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Front
Kettenregel: Sei \(f : D \to E\) differenzierbar an \(x_0\) und \(g : E \to \mathbb{R}\) differenzierbar an \(y_0 = f(x_0)\). Dann ist \(g \circ f\) an \(x_0\) differenzierbar mit
\[ (g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0) \]
\[ (g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0) \]
Back
Kettenregel: Sei \(f : D \to E\) differenzierbar an \(x_0\) und \(g : E \to \mathbb{R}\) differenzierbar an \(y_0 = f(x_0)\). Dann ist \(g \circ f\) an \(x_0\) differenzierbar mit
\[ (g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0) \]
\[ (g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0) \]
"Innere Ableitung mal äussere Ableitung."
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | <b>Kettenregel:</b> Sei \(f : D \to E\) differenzierbar an \(x_0\) und \(g : E \to \mathbb{R}\) differenzierbar an \(y_0 = f(x_0)\). Dann ist \(g \circ f\) an \(x_0\) differenzierbar mit<br>\[ (g \circ f)'(x_0) = {{c1::g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0)}} \] | |
| Extra | "Innere Ableitung mal äussere Ableitung." |
Note 37: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
Fc+2]Q+d90
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Note did not exist
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Front
Eine Funktion \(f\) heisst an der Stelle \(x\) differenzierbar, falls die Ableitung \(f'(x)\) existiert.
Sie heisst differenzierbar (schlechthin), falls sie für alle \(x\) im Definitionsbereich differenzierbar ist.
Sie heisst differenzierbar (schlechthin), falls sie für alle \(x\) im Definitionsbereich differenzierbar ist.
Back
Eine Funktion \(f\) heisst an der Stelle \(x\) differenzierbar, falls die Ableitung \(f'(x)\) existiert.
Sie heisst differenzierbar (schlechthin), falls sie für alle \(x\) im Definitionsbereich differenzierbar ist.
Sie heisst differenzierbar (schlechthin), falls sie für alle \(x\) im Definitionsbereich differenzierbar ist.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Eine Funktion \(f\) heisst {{c1::an der Stelle \(x\) differenzierbar}}, falls {{c2::die Ableitung \(f'(x)\) existiert}}.<br><br>Sie heisst <i>differenzierbar</i> (schlechthin), falls sie {{c3::für alle \(x\) im Definitionsbereich differenzierbar}} ist. |
Note 38: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
GAsy+*Zkw0
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Note did not exist
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Front
Ist \(f\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar, so erhält man die lineare Approximation (auch Tangentenapproximation oder 1. Taylor-Approximation):
\[ f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) = P_1(x) \]
\[ f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) = P_1(x) \]
Back
Ist \(f\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar, so erhält man die lineare Approximation (auch Tangentenapproximation oder 1. Taylor-Approximation):
\[ f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) = P_1(x) \]
\[ f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) = P_1(x) \]
Der Ausdruck heisst auch Linearisierung oder 1. Taylorpolynom von \(f\) an der Stelle \(x_0\). Geometrisch: Tangente an den Graphen im Punkt \((x_0, f(x_0))\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Ist \(f\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar, so erhält man die <i>lineare Approximation</i> (auch Tangentenapproximation oder 1. Taylor-Approximation):<br>\[ f(x) \approx {{c1::f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)}} = P_1(x) \] | |
| Extra | Der Ausdruck heisst auch <i>Linearisierung</i> oder <i>1. Taylorpolynom</i> von \(f\) an der Stelle \(x_0\). Geometrisch: Tangente an den Graphen im Punkt \((x_0, f(x_0))\). |
Note 39: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
Gc]*dV*g~V
Previous
Note did not exist
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Front
Regel von Bernoulli-l'Hospital (Versionen 1 und 2): Seien \(a < b\) und \(f, g : (a, b) \to \mathbb{R}\) differenzierbar mit \(g(x) \neq 0\) und \(g'(x) \neq 0\) für alle \(x \in (a, b)\). Falls
- {{c1::\(\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} g(x) = 0\)}} (Version 1) oder
- {{c1::\(\lim\limits_{x \to a^+} |f(x)| = \lim\limits_{x \to a^+} |g(x)| = \infty\)}} (Version 2)
Back
Regel von Bernoulli-l'Hospital (Versionen 1 und 2): Seien \(a < b\) und \(f, g : (a, b) \to \mathbb{R}\) differenzierbar mit \(g(x) \neq 0\) und \(g'(x) \neq 0\) für alle \(x \in (a, b)\). Falls
- {{c1::\(\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} g(x) = 0\)}} (Version 1) oder
- {{c1::\(\lim\limits_{x \to a^+} |f(x)| = \lim\limits_{x \to a^+} |g(x)| = \infty\)}} (Version 2)
Anwendbar auf unbestimmte Ausdrücke vom Typ \(\tfrac{0}{0}\) (Version 1) und \(\tfrac{\infty}{\infty}\) (Version 2). Andere unbestimmte Ausdrücke (z.B. \(0 \cdot \infty\), \(\infty - \infty\), \(0^0\)) müssen zunächst umgeformt werden.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | <b>Regel von Bernoulli-l'Hospital</b> (Versionen 1 und 2): Seien \(a < b\) und \(f, g : (a, b) \to \mathbb{R}\) differenzierbar mit \(g(x) \neq 0\) und \(g'(x) \neq 0\) für alle \(x \in (a, b)\). Falls<ul><li>{{c1::\(\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} g(x) = 0\)}} (Version 1) <b>oder</b></li><li>{{c1::\(\lim\limits_{x \to a^+} |f(x)| = \lim\limits_{x \to a^+} |g(x)| = \infty\)}} (Version 2)</li></ul>und der Grenzwert \(L = \lim\limits_{x \to a^+} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\) existiert, dann existiert auch {{c2::\(\lim\limits_{x \to a^+} \dfrac{f(x)}{g(x)}\)}} und ist {{c2::gleich \(L\)}}. | |
| Extra | Anwendbar auf unbestimmte Ausdrücke vom Typ \(\tfrac{0}{0}\) (Version 1) und \(\tfrac{\infty}{\infty}\) (Version 2). Andere unbestimmte Ausdrücke (z.B. \(0 \cdot \infty\), \(\infty - \infty\), \(0^0\)) müssen zunächst umgeformt werden. |
Note 40: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
HA4F@_v%[U
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Note did not exist
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Front
Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form \[ y = f(x) = mx + q \]Der Graph ist eine Gerade mit Steigung \(m\) und y-Achsenabschnitt \(q\).
Back
Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form \[ y = f(x) = mx + q \]Der Graph ist eine Gerade mit Steigung \(m\) und y-Achsenabschnitt \(q\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Eine <i>lineare Funktion</i> ist eine Funktion der Form \[ y = f(x) = {{c1::mx + q}} \]Der Graph ist eine Gerade mit {{c2::Steigung \(m\)}} und {{c3::y-Achsenabschnitt \(q\)}}. |
Note 41: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
IY>Ud~,Ud#
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Taylorreihe des natürlichen Logarithmus (konvergiert nur für \(-1 < x \leq 1\)):
\[ \ln(1 + x) = {{c1::\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} }} = x - \tfrac{1}{2} x^2 + \tfrac{1}{3} x^3 - \tfrac{1}{4} x^4 + \dots \]
\[ \ln(1 + x) = {{c1::\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} }} = x - \tfrac{1}{2} x^2 + \tfrac{1}{3} x^3 - \tfrac{1}{4} x^4 + \dots \]
Back
Taylorreihe des natürlichen Logarithmus (konvergiert nur für \(-1 < x \leq 1\)):
\[ \ln(1 + x) = {{c1::\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} }} = x - \tfrac{1}{2} x^2 + \tfrac{1}{3} x^3 - \tfrac{1}{4} x^4 + \dots \]
\[ \ln(1 + x) = {{c1::\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} }} = x - \tfrac{1}{2} x^2 + \tfrac{1}{3} x^3 - \tfrac{1}{4} x^4 + \dots \]
Bei \(x = 1\) erhält man die alternierende harmonische Reihe mit Wert \(\ln 2\); bei \(x = -1\) divergiert die Reihe (harmonische Reihe).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Taylorreihe des natürlichen Logarithmus (konvergiert nur für \(-1 < x \leq 1\)):<br>\[ \ln(1 + x) = {{c1::\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} }} = x - \tfrac{1}{2} x^2 + \tfrac{1}{3} x^3 - \tfrac{1}{4} x^4 + \dots \] | |
| Extra | Bei \(x = 1\) erhält man die alternierende harmonische Reihe mit Wert \(\ln 2\); bei \(x = -1\) divergiert die Reihe (harmonische Reihe). |
Note 42: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
JI`~?9+zDB
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Front
Die Exponentialfunktion \(\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+\) ist bijektiv, streng monoton wachsend und stetig.
Funktionalgleichungen:
Funktionalgleichungen:
- \(\exp(0) = 1\)
- \(\exp(-x) = {{c5::(\exp(x))^{-1} }}\) für alle \(x \in \mathbb{R}\)
- \(\exp(x + y) = \exp(x) \cdot \exp(y) \) für alle \(x, y \in \mathbb{R}\)
Back
Die Exponentialfunktion \(\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+\) ist bijektiv, streng monoton wachsend und stetig.
Funktionalgleichungen:
Funktionalgleichungen:
- \(\exp(0) = 1\)
- \(\exp(-x) = {{c5::(\exp(x))^{-1} }}\) für alle \(x \in \mathbb{R}\)
- \(\exp(x + y) = \exp(x) \cdot \exp(y) \) für alle \(x, y \in \mathbb{R}\)
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Die Exponentialfunktion \(\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+\) ist {{c1::bijektiv}}, {{c2::streng monoton wachsend}} und {{c3::stetig}}.<br><br>Funktionalgleichungen:<ul><li>\(\exp(0) = {{c4::1}}\)</li><li>\(\exp(-x) = {{c5::(\exp(x))^{-1} }}\) für alle \(x \in \mathbb{R}\)</li><li>\(\exp(x + y) = {{c6::\exp(x) \cdot \exp(y) }}\) für alle \(x, y \in \mathbb{R}\)</li></ul> |
Note 43: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
modified
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
J^Oq*qy._E
Before
Front
Für \(z = a + ib \in \mathbb{C}\) gilt:
- \(a\) heißt Realteil, geschrieben \({{c1:: a = \text{Re}(z)}}\)
- \(b\) heißt Imaginärteil, geschrieben \(b = {{c2:: \text{Im}(z) }}\)}
Back
Für \(z = a + ib \in \mathbb{C}\) gilt:
- \(a\) heißt Realteil, geschrieben \({{c1:: a = \text{Re}(z)}}\)
- \(b\) heißt Imaginärteil, geschrieben \(b = {{c2:: \text{Im}(z) }}\)}
After
Front
Für \(z = a + ib \in \mathbb{C}\) gilt:
- \(a\) heisst Realteil, geschrieben \({{c1:: a = \text{Re}(z)}}\)
- \(b\) heisst Imaginärteil, geschrieben \(b = {{c2:: \text{Im}(z) }}\)}
Back
Für \(z = a + ib \in \mathbb{C}\) gilt:
- \(a\) heisst Realteil, geschrieben \({{c1:: a = \text{Re}(z)}}\)
- \(b\) heisst Imaginärteil, geschrieben \(b = {{c2:: \text{Im}(z) }}\)}
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text |
<div>Für \(z = a + ib \in \mathbb{C}\) gilt:</div><div><ul><li>\(a\) hei |
<div>Für \(z = a + ib \in \mathbb{C}\) gilt:</div><div><ul><li>\(a\) heisst {{c1::<i>Realteil</i>}}, geschrieben \({{c1:: a = \text{Re}(z)}}\)</li><li>\(b\) heisst {{c2::<i>Imaginärteil</i>}}, geschrieben \(b = {{c2:: \text{Im}(z) }}\)<em>}</em></li></ul></div> |
Note 44: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
KREJ(v5+9^
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Note did not exist
New Note
Front
Der (natürliche) Logarithmus \(\log : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}\) ist definiert als die eindeutige Inverse zur Exponentialfunktion.
Back
Der (natürliche) Logarithmus \(\log : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}\) ist definiert als die eindeutige Inverse zur Exponentialfunktion.
D.h. \(\log(\exp(x)) = x\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) und \(\exp(\log(y)) = y\) für alle \(y \in \mathbb{R}^+\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Der <i>(natürliche) Logarithmus</i> \(\log : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}\) ist definiert als {{c1::die eindeutige Inverse zur Exponentialfunktion}}. | |
| Extra | D.h. \(\log(\exp(x)) = x\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) und \(\exp(\log(y)) = y\) für alle \(y \in \mathbb{R}^+\). |
Note 45: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
LI6#)1n*Pf
Previous
Note did not exist
New Note
Front
Ableitung der Exponentialfunktion \(f(x) = a^x\) (mit \(a > 0\)):
\[ f'(x) = \ln(a) \cdot a^x \]
\[ f'(x) = \ln(a) \cdot a^x \]
Back
Ableitung der Exponentialfunktion \(f(x) = a^x\) (mit \(a > 0\)):
\[ f'(x) = \ln(a) \cdot a^x \]
\[ f'(x) = \ln(a) \cdot a^x \]
Spezialfall \(a = e\): \((e^x)' = e^x\), denn \(\ln(e) = 1\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Ableitung der <i>Exponentialfunktion</i> \(f(x) = a^x\) (mit \(a > 0\)):<br>\[ f'(x) = {{c1::\ln(a) \cdot a^x}} \] | |
| Extra | Spezialfall \(a = e\): \((e^x)' = e^x\), denn \(\ln(e) = 1\). |
Note 46: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
N2-|iI&sus
Previous
Note did not exist
New Note
Front
Wertebereiche der inversen trigonometrischen Funktionen (Hauptzweige):
- \(\arcsin : [-1, 1] \to [-\pi/2,\, \pi/2]\)
- \(\arccos : [-1, 1] \to [0,\, \pi]\)
- \(\arctan : \mathbb{R} \to (-\pi/2,\, \pi/2)\)
Back
Wertebereiche der inversen trigonometrischen Funktionen (Hauptzweige):
- \(\arcsin : [-1, 1] \to [-\pi/2,\, \pi/2]\)
- \(\arccos : [-1, 1] \to [0,\, \pi]\)
- \(\arctan : \mathbb{R} \to (-\pi/2,\, \pi/2)\)
Die Einschränkung auf einen Hauptzweig ist nötig, weil \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) als periodische Funktionen nicht injektiv sind und daher auf ihrem ganzen Definitionsbereich keine Inversen besitzen.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Wertebereiche der inversen trigonometrischen Funktionen (Hauptzweige):<ul><li>\(\arcsin : [-1, 1] \to {{c1::[-\pi/2,\, \pi/2]}}\)</li><li>\(\arccos : [-1, 1] \to {{c2::[0,\, \pi]}}\)</li><li>\(\arctan : \mathbb{R} \to {{c3::(-\pi/2,\, \pi/2)}}\)</li></ul> | |
| Extra | Die Einschränkung auf einen <i>Hauptzweig</i> ist nötig, weil \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) als periodische Funktionen nicht injektiv sind und daher auf ihrem ganzen Definitionsbereich keine Inversen besitzen. |
Note 47: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
NA&O,x/IQT
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Note did not exist
New Note
Front
Sei \(f : X = \mathbb{D}(f) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\). Wir nennen \(f\):
- monoton fallend, falls \(\forall x_1, x_2 \in X: \;x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)\)
- streng monoton wachsend, falls \(\forall x_1, x_2 \in X: \;x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\)
- streng monoton fallend, falls \(\forall x_1, x_2 \in X: \;x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\)
- (streng) monoton, falls \(f\) (streng) monoton wachsend oder (streng) monoton fallend ist.
Back
Sei \(f : X = \mathbb{D}(f) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\). Wir nennen \(f\):
- monoton fallend, falls \(\forall x_1, x_2 \in X: \;x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)\)
- streng monoton wachsend, falls \(\forall x_1, x_2 \in X: \;x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\)
- streng monoton fallend, falls \(\forall x_1, x_2 \in X: \;x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\)
- (streng) monoton, falls \(f\) (streng) monoton wachsend oder (streng) monoton fallend ist.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Sei \(f : X = \mathbb{D}(f) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\). Wir nennen \(f\):<br><br><ul><li><i>monoton fallend</i>, falls \(\forall x_1, x_2 \in X: \;{{c1::x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)}}\)</li><li><i>streng monoton wachsend</i>, falls \(\forall x_1, x_2 \in X: \;{{c2::x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)}}\)</li><li><i>streng monoton fallend</i>, falls \(\forall x_1, x_2 \in X: \;{{c3::x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)}}\)</li><li><i>(streng) monoton</i>, falls \(f\) {{c4::(streng) monoton wachsend <i>oder</i> (streng) monoton fallend}} ist.</li></ul> |
Note 48: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
N`T(S@}+qP
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Note did not exist
New Note
Front
Satz von Taylor (Lagrange-Restglied): Sei \(f\) auf einem offenen Intervall \(I\) (mit \(x_0 \in I\)) beliebig oft differenzierbar. Dann gilt für jedes \(x \in I\)
\[ f(x) = P_n(x) + R_n(x) \]mit dem Restglied
\[ R_n(x) = {{c1::\frac{1}{(n+1)!}\, f^{(n+1)}(c)\, (x - x_0)^{n+1} }} \]für ein \(c\) zwischen \(x_0\) und \(x\).
\[ f(x) = P_n(x) + R_n(x) \]mit dem Restglied
\[ R_n(x) = {{c1::\frac{1}{(n+1)!}\, f^{(n+1)}(c)\, (x - x_0)^{n+1} }} \]für ein \(c\) zwischen \(x_0\) und \(x\).
Back
Satz von Taylor (Lagrange-Restglied): Sei \(f\) auf einem offenen Intervall \(I\) (mit \(x_0 \in I\)) beliebig oft differenzierbar. Dann gilt für jedes \(x \in I\)
\[ f(x) = P_n(x) + R_n(x) \]mit dem Restglied
\[ R_n(x) = {{c1::\frac{1}{(n+1)!}\, f^{(n+1)}(c)\, (x - x_0)^{n+1} }} \]für ein \(c\) zwischen \(x_0\) und \(x\).
\[ f(x) = P_n(x) + R_n(x) \]mit dem Restglied
\[ R_n(x) = {{c1::\frac{1}{(n+1)!}\, f^{(n+1)}(c)\, (x - x_0)^{n+1} }} \]für ein \(c\) zwischen \(x_0\) und \(x\).
Das Restglied quantifiziert den Approximationsfehler. Geht \(R_n(x) \to 0\) für \(n \to \infty\), so konvergiert die Taylorreihe gegen \(f(x)\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | <b>Satz von Taylor</b> (Lagrange-Restglied): Sei \(f\) auf einem offenen Intervall \(I\) (mit \(x_0 \in I\)) beliebig oft differenzierbar. Dann gilt für jedes \(x \in I\)<br>\[ f(x) = P_n(x) + R_n(x) \]mit dem Restglied<br>\[ R_n(x) = {{c1::\frac{1}{(n+1)!}\, f^{(n+1)}(c)\, (x - x_0)^{n+1} }} \]für ein {{c2::\(c\) zwischen \(x_0\) und \(x\)}}. | |
| Extra | Das Restglied quantifiziert den Approximationsfehler. Geht \(R_n(x) \to 0\) für \(n \to \infty\), so konvergiert die Taylorreihe gegen \(f(x)\). |
Note 49: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
Qp3^E,]TbW
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Note did not exist
New Note
Front
Alle drei Transformationen (Streckung/Verschiebung in x- und y-Richtung) sind darstellbar als zusammengesetzte Funktion: \[ g(x) = s(u(x)) = s \circ u(x) \]Dabei nennt man \(s\) die äussere und \(u\) die innere Funktion.
Back
Alle drei Transformationen (Streckung/Verschiebung in x- und y-Richtung) sind darstellbar als zusammengesetzte Funktion: \[ g(x) = s(u(x)) = s \circ u(x) \]Dabei nennt man \(s\) die äussere und \(u\) die innere Funktion.
Beispiel: Die horizontale Verschiebung \(g(x) = f(x + k)\) lässt sich schreiben als \(g(x) = f(h(x))\) mit innerer Funktion \(h(x) = x + k\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Alle drei Transformationen (Streckung/Verschiebung in x- und y-Richtung) sind darstellbar als <i>zusammengesetzte Funktion</i>: \[ g(x) = s(u(x)) = s \circ u(x) \]Dabei nennt man \(s\) die {{c1::äussere}} und \(u\) die {{c2::innere}} Funktion. | |
| Extra | Beispiel: Die horizontale Verschiebung \(g(x) = f(x + k)\) lässt sich schreiben als \(g(x) = f(h(x))\) mit innerer Funktion \(h(x) = x + k\). |
Note 50: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
SWsd[{z6Jl
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Note did not exist
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Front
Sei \(I \subset \mathbb{R}\) ein Intervall und \(f : I \to \mathbb{R}\). Dann ist \(f\) genau dann konstant, wenn \(f\) differenzierbar ist und \(f'(x) = 0\) für alle \(x \in I\).
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Sei \(I \subset \mathbb{R}\) ein Intervall und \(f : I \to \mathbb{R}\). Dann ist \(f\) genau dann konstant, wenn \(f\) differenzierbar ist und \(f'(x) = 0\) für alle \(x \in I\).
Wichtig: Die Aussage gilt auf Intervallen. Auf unzusammenhängenden Definitionsbereichen kann \(f' = 0\) auftreten, ohne dass \(f\) global konstant ist (Konstanz nur auf jeder Zusammenhangskomponente).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Sei \(I \subset \mathbb{R}\) ein Intervall und \(f : I \to \mathbb{R}\). Dann ist \(f\) genau dann {{c1::konstant}}, wenn \(f\) differenzierbar ist und {{c2::\(f'(x) = 0\) für alle \(x \in I\)}}. | |
| Extra | Wichtig: Die Aussage gilt auf <b>Intervallen</b>. Auf unzusammenhängenden Definitionsbereichen kann \(f' = 0\) auftreten, ohne dass \(f\) global konstant ist (Konstanz nur auf jeder Zusammenhangskomponente). |
Note 51: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
T12zFV,DaW
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Note did not exist
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Front
Iterativ definiert man die höheren Ableitungen einer Funktion \(f : D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) für \(n \in \mathbb{N}_0\) durch
\[{{c1::f^{(0)} = f, \quad f^{(1)} = f', \quad f^{(2)} = f'', \quad f^{(n+1)} = (f^{(n)})' }} \]Falls \(f^{(n)}\) existiert, nennt man \(f\) \(n\)-fach differenzierbar.
\[{{c1::f^{(0)} = f, \quad f^{(1)} = f', \quad f^{(2)} = f'', \quad f^{(n+1)} = (f^{(n)})' }} \]Falls \(f^{(n)}\) existiert, nennt man \(f\) \(n\)-fach differenzierbar.
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Iterativ definiert man die höheren Ableitungen einer Funktion \(f : D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) für \(n \in \mathbb{N}_0\) durch
\[{{c1::f^{(0)} = f, \quad f^{(1)} = f', \quad f^{(2)} = f'', \quad f^{(n+1)} = (f^{(n)})' }} \]Falls \(f^{(n)}\) existiert, nennt man \(f\) \(n\)-fach differenzierbar.
\[{{c1::f^{(0)} = f, \quad f^{(1)} = f', \quad f^{(2)} = f'', \quad f^{(n+1)} = (f^{(n)})' }} \]Falls \(f^{(n)}\) existiert, nennt man \(f\) \(n\)-fach differenzierbar.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Iterativ definiert man die <i>höheren Ableitungen</i> einer Funktion \(f : D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) für \(n \in \mathbb{N}_0\) durch<br>\[{{c1::f^{(0)} = f, \quad f^{(1)} = f', \quad f^{(2)} = f'', \quad f^{(n+1)} = (f^{(n)})' }} \]Falls \(f^{(n)}\) existiert, nennt man \(f\) {{c2::\(n\)-fach differenzierbar}}. |
Note 52: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
Vxa09h!1$Z
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Note did not exist
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Front
Aus einer Funktion \(f : \operatorname{dom}(f) \to \mathbb{R}\), \(x \mapsto y = f(x)\) erhält man mittels des Konzepts der Ableitung die Ableitungsfunktion
\[ {{c1::a \mapsto f'(a) = \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=a} }} \]
\[ {{c1::a \mapsto f'(a) = \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=a} }} \]
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Aus einer Funktion \(f : \operatorname{dom}(f) \to \mathbb{R}\), \(x \mapsto y = f(x)\) erhält man mittels des Konzepts der Ableitung die Ableitungsfunktion
\[ {{c1::a \mapsto f'(a) = \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=a} }} \]
\[ {{c1::a \mapsto f'(a) = \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=a} }} \]
Definitionsbereich: alle \(a \in \operatorname{dom}(f)\), an denen \(f\) differenzierbar ist.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Aus einer Funktion \(f : \operatorname{dom}(f) \to \mathbb{R}\), \(x \mapsto y = f(x)\) erhält man mittels des Konzepts der Ableitung die <i>Ableitungsfunktion</i><br>\[ {{c1::a \mapsto f'(a) = \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=a} }} \] | |
| Extra | Definitionsbereich: alle \(a \in \operatorname{dom}(f)\), an denen \(f\) differenzierbar ist. |
Note 53: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
Y2>@.=iTdN
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Front
Der Logarithmus \(\log : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}\) ist bijektiv, streng monoton wachsend und stetig.
Funktionalgleichungen:
Funktionalgleichungen:
- \(\log(1) = 0\)
- \(\log(x^{-1}) = -\log(x) \) für alle \(x \in \mathbb{R}^+\)
- \(\log(xy) = \log(x) + \log(y) \) für alle \(x, y \in \mathbb{R}^+\)
Back
Der Logarithmus \(\log : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}\) ist bijektiv, streng monoton wachsend und stetig.
Funktionalgleichungen:
Funktionalgleichungen:
- \(\log(1) = 0\)
- \(\log(x^{-1}) = -\log(x) \) für alle \(x \in \mathbb{R}^+\)
- \(\log(xy) = \log(x) + \log(y) \) für alle \(x, y \in \mathbb{R}^+\)
Diese Eigenschaften sind unmittelbare Folgen der Funktionalgleichungen von \(\exp\), da \(\log\) deren Inverse ist.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Der Logarithmus \(\log : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}\) ist {{c1::bijektiv}}, {{c2::streng monoton wachsend}} und {{c3::stetig}}.<br><br>Funktionalgleichungen:<ul><li>\(\log(1) = {{c4::0}}\)</li><li>\(\log(x^{-1}) = {{c5::-\log(x) }}\) für alle \(x \in \mathbb{R}^+\)</li><li>\(\log(xy) = {{c6::\log(x) + \log(y) }}\) für alle \(x, y \in \mathbb{R}^+\)</li></ul> | |
| Extra | Diese Eigenschaften sind unmittelbare Folgen der Funktionalgleichungen von \(\exp\), da \(\log\) deren Inverse ist. |
Note 54: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID:
added
Note Type: Horvath Classic
GUID:
[0R6O$^*p]
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Front
Was ist die charakteristische Eigenschaft einer linearen Funktion bezüglich ihrer Änderungsrate?
Back
Was ist die charakteristische Eigenschaft einer linearen Funktion bezüglich ihrer Änderungsrate?
Die Änderungsrate (Verhältnis der Differenz im Wertebereich zur Differenz im Definitionsbereich) ist konstant:
\[ \frac{f(x+y) - f(x)}{(x+y) - x} = \frac{my}{y} = m \]für eine lineare Funktion \(f(x) = mx + q\). Der Wert dieser Konstante ist gerade die Steigung \(m\).
\[ \frac{f(x+y) - f(x)}{(x+y) - x} = \frac{my}{y} = m \]für eine lineare Funktion \(f(x) = mx + q\). Der Wert dieser Konstante ist gerade die Steigung \(m\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Front | Was ist die charakteristische Eigenschaft einer linearen Funktion bezüglich ihrer Änderungsrate? | |
| Back | Die <i>Änderungsrate</i> (Verhältnis der Differenz im Wertebereich zur Differenz im Definitionsbereich) ist <b>konstant</b>:<br>\[ \frac{f(x+y) - f(x)}{(x+y) - x} = \frac{my}{y} = m \]für eine lineare Funktion \(f(x) = mx + q\). Der Wert dieser Konstante ist gerade die Steigung \(m\). |
Note 55: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
_>B_:GDZBd
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Die Exponentialfunktion \(\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+\) ist gegeben durch \[ \exp(x) = e^x = {{c1::\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n}} \]
Back
Die Exponentialfunktion \(\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+\) ist gegeben durch \[ \exp(x) = e^x = {{c1::\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n}} \]
Alternative Darstellung als Reihe: \(\exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\) (siehe Standardreihen).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Die <i>Exponentialfunktion</i> \(\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+\) ist gegeben durch \[ \exp(x) = e^x = {{c1::\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n}} \] | |
| Extra | Alternative Darstellung als Reihe: \(\exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\) (siehe Standardreihen). |
Note 56: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
_[=C:#7mvT
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Front
Regel von Bernoulli-l'Hospital (Version 3, bei \(\infty\)): Sei \(R > 0\) und \(f, g : (R, \infty) \to \mathbb{R}\) differenzierbar mit \(g(x) \neq 0\) und \(g'(x) \neq 0\). Falls
\[ {{c1::\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} g(x) = 0 }} \quad \text{oder} \quad {{c1::\lim_{x \to \infty} |f(x)| = \lim_{x \to \infty} |g(x)| = \infty}} \]und \(L = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\) existiert, dann ist {{c2::\(\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = L\)}}.
\[ {{c1::\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} g(x) = 0 }} \quad \text{oder} \quad {{c1::\lim_{x \to \infty} |f(x)| = \lim_{x \to \infty} |g(x)| = \infty}} \]und \(L = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\) existiert, dann ist {{c2::\(\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = L\)}}.
Back
Regel von Bernoulli-l'Hospital (Version 3, bei \(\infty\)): Sei \(R > 0\) und \(f, g : (R, \infty) \to \mathbb{R}\) differenzierbar mit \(g(x) \neq 0\) und \(g'(x) \neq 0\). Falls
\[ {{c1::\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} g(x) = 0 }} \quad \text{oder} \quad {{c1::\lim_{x \to \infty} |f(x)| = \lim_{x \to \infty} |g(x)| = \infty}} \]und \(L = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\) existiert, dann ist {{c2::\(\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = L\)}}.
\[ {{c1::\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} g(x) = 0 }} \quad \text{oder} \quad {{c1::\lim_{x \to \infty} |f(x)| = \lim_{x \to \infty} |g(x)| = \infty}} \]und \(L = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\) existiert, dann ist {{c2::\(\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = L\)}}.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | <b>Regel von Bernoulli-l'Hospital</b> (Version 3, bei \(\infty\)): Sei \(R > 0\) und \(f, g : (R, \infty) \to \mathbb{R}\) differenzierbar mit \(g(x) \neq 0\) und \(g'(x) \neq 0\). Falls<br>\[ {{c1::\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} g(x) = 0 }} \quad \text{oder} \quad {{c1::\lim_{x \to \infty} |f(x)| = \lim_{x \to \infty} |g(x)| = \infty}} \]und \(L = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\) existiert, dann ist {{c2::\(\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = L\)}}. |
Note 57: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
_`R_]9P+k8
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Front
Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen:
- \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) sind periodisch.
- Der Tangens hat für \(\omega = \pm \frac{(2n+1)\pi}{2}\), \(n \in \mathbb{N}\), eine vertikale Asymptote.
- \(\sin\) ist eine ungerade Funktion: \(\sin(-x) = -\sin(x)\).
- \(\cos\) ist eine gerade Funktion: \(\cos(-x) = \cos(x)\).
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Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen:
- \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) sind periodisch.
- Der Tangens hat für \(\omega = \pm \frac{(2n+1)\pi}{2}\), \(n \in \mathbb{N}\), eine vertikale Asymptote.
- \(\sin\) ist eine ungerade Funktion: \(\sin(-x) = -\sin(x)\).
- \(\cos\) ist eine gerade Funktion: \(\cos(-x) = \cos(x)\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen:<br><ul><li>\(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) sind {{c1::periodisch}}.</li><li>Der Tangens hat für \(\omega = \pm \frac{(2n+1)\pi}{2}\), \(n \in \mathbb{N}\), eine {{c2::vertikale Asymptote}}.</li><li>\(\sin\) ist eine {{c3::ungerade}} Funktion: \(\sin(-x) = -\sin(x)\).</li><li>\(\cos\) ist eine {{c4::gerade}} Funktion: \(\cos(-x) = \cos(x)\).</li></ul> |
Note 58: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
`L*YZ.0Rr,
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Front
Quotientenregel: Seien \(f, g : D \to \mathbb{R}\) differenzierbar an \(x_0\) mit \(g(x_0) \neq 0\). Dann ist auch \(\tfrac{f}{g}\) an \(x_0\) differenzierbar und es gilt
\[ \left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) = {{c1::\frac{f'(x_0)\, g(x_0) - f(x_0)\, g'(x_0)}{g(x_0)^2} }} \]
\[ \left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) = {{c1::\frac{f'(x_0)\, g(x_0) - f(x_0)\, g'(x_0)}{g(x_0)^2} }} \]
Back
Quotientenregel: Seien \(f, g : D \to \mathbb{R}\) differenzierbar an \(x_0\) mit \(g(x_0) \neq 0\). Dann ist auch \(\tfrac{f}{g}\) an \(x_0\) differenzierbar und es gilt
\[ \left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) = {{c1::\frac{f'(x_0)\, g(x_0) - f(x_0)\, g'(x_0)}{g(x_0)^2} }} \]
\[ \left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) = {{c1::\frac{f'(x_0)\, g(x_0) - f(x_0)\, g'(x_0)}{g(x_0)^2} }} \]
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | <b>Quotientenregel:</b> Seien \(f, g : D \to \mathbb{R}\) differenzierbar an \(x_0\) mit \(g(x_0) \neq 0\). Dann ist auch \(\tfrac{f}{g}\) an \(x_0\) differenzierbar und es gilt<br>\[ \left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) = {{c1::\frac{f'(x_0)\, g(x_0) - f(x_0)\, g'(x_0)}{g(x_0)^2} }} \] |
Note 59: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
`dsq[u%I0}
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Note did not exist
New Note
Front
Seien \(f, g : D \to \mathbb{R}\) beide an der Stelle \(x_0\) \(n\)-fach differenzierbar. Dann ist auch \(f + g\) an \(x_0\) \(n\)-fach differenzierbar, und es gilt
\[ (f + g)^{(n)}(x_0) = {{c1::f^{(n)}(x_0) + g^{(n)}(x_0)}} \]
\[ (f + g)^{(n)}(x_0) = {{c1::f^{(n)}(x_0) + g^{(n)}(x_0)}} \]
Back
Seien \(f, g : D \to \mathbb{R}\) beide an der Stelle \(x_0\) \(n\)-fach differenzierbar. Dann ist auch \(f + g\) an \(x_0\) \(n\)-fach differenzierbar, und es gilt
\[ (f + g)^{(n)}(x_0) = {{c1::f^{(n)}(x_0) + g^{(n)}(x_0)}} \]
\[ (f + g)^{(n)}(x_0) = {{c1::f^{(n)}(x_0) + g^{(n)}(x_0)}} \]
Die Ableitung ist also linear bezüglich der Summe.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Seien \(f, g : D \to \mathbb{R}\) beide an der Stelle \(x_0\) \(n\)-fach differenzierbar. Dann ist auch \(f + g\) an \(x_0\) \(n\)-fach differenzierbar, und es gilt<br>\[ (f + g)^{(n)}(x_0) = {{c1::f^{(n)}(x_0) + g^{(n)}(x_0)}} \] | |
| Extra | Die Ableitung ist also linear bezüglich der Summe. |
Note 60: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
a[692ze%.r
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Note did not exist
New Note
Front
Eine Funktion der Form \[ y = f(x) = k \cdot x^p \]mit \(k, p \in \mathbb{R}\) heisst Potenzfunktion.
Back
Eine Funktion der Form \[ y = f(x) = k \cdot x^p \]mit \(k, p \in \mathbb{R}\) heisst Potenzfunktion.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Eine Funktion der Form \[ y = f(x) = {{c1::k \cdot x^p}} \]mit \(k, p \in \mathbb{R}\) heisst <i>Potenzfunktion</i>. |
Note 61: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
bwW=T!Fl)8
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Note did not exist
New Note
Front
Falls zwischen den Grössen \(y\) und \(x\) eine Beziehung der Form \(y = a \cdot x\) (mit \(a \in \mathbb{R}\) konstant) gilt, so heisst \(y\) (direkt) proportional zu \(x\). Die Konstante \(a\) nennt man Proportionalitätskonstante.
Back
Falls zwischen den Grössen \(y\) und \(x\) eine Beziehung der Form \(y = a \cdot x\) (mit \(a \in \mathbb{R}\) konstant) gilt, so heisst \(y\) (direkt) proportional zu \(x\). Die Konstante \(a\) nennt man Proportionalitätskonstante.
Direkte Proportionalität ist der Spezialfall einer linearen Funktion mit \(q = 0\), also einer Geraden durch den Ursprung.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Falls zwischen den Grössen \(y\) und \(x\) eine Beziehung der Form \(y = a \cdot x\) (mit \(a \in \mathbb{R}\) konstant) gilt, so heisst \(y\) {{c1::(direkt) proportional}} zu \(x\). Die Konstante \(a\) nennt man {{c2::Proportionalitätskonstante}}. | |
| Extra | Direkte Proportionalität ist der Spezialfall einer linearen Funktion mit \(q = 0\), also einer Geraden durch den Ursprung. |
Note 62: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
d`:*hpWRF9
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Note did not exist
New Note
Front
Sei \(f: \mathbb{D}(f) \to \mathbb{R}\) mit \(\mathbb{D}(f) \neq \emptyset\).
- \(f\) heisst nach unten beschränkt, falls \(M \in \mathbb{R}\) existiert mit {{c1::\(f(x) \geq M\) \(\forall x \in \mathbb{D}(f)\)}}.
- \(f\) heisst beschränkt, falls \(M \in \mathbb{R}\) existiert mit {{c2::\(|f(x)| \leq M\) \(\forall x \in \mathbb{D}(f)\)}}.
Back
Sei \(f: \mathbb{D}(f) \to \mathbb{R}\) mit \(\mathbb{D}(f) \neq \emptyset\).
- \(f\) heisst nach unten beschränkt, falls \(M \in \mathbb{R}\) existiert mit {{c1::\(f(x) \geq M\) \(\forall x \in \mathbb{D}(f)\)}}.
- \(f\) heisst beschränkt, falls \(M \in \mathbb{R}\) existiert mit {{c2::\(|f(x)| \leq M\) \(\forall x \in \mathbb{D}(f)\)}}.
Äquivalent: \(f\) ist beschränkt gdw. \(f\) ist sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Sei \(f: \mathbb{D}(f) \to \mathbb{R}\) mit \(\mathbb{D}(f) \neq \emptyset\).<br><br><ul><li>\(f\) heisst <i>nach unten beschränkt</i>, falls \(M \in \mathbb{R}\) existiert mit {{c1::\(f(x) \geq M\) \(\forall x \in \mathbb{D}(f)\)}}.</li><li>\(f\) heisst <i>beschränkt</i>, falls \(M \in \mathbb{R}\) existiert mit {{c2::\(|f(x)| \leq M\) \(\forall x \in \mathbb{D}(f)\)}}.</li></ul> | |
| Extra | Äquivalent: \(f\) ist beschränkt gdw. \(f\) ist <i>sowohl</i> nach oben <i>als auch</i> nach unten beschränkt. |
Note 63: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
f[z),^w;;M
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Note did not exist
New Note
Front
Sei \(f : D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x_0 \in D\) eine lokale Extremalstelle, an der \(f\) differenzierbar ist, und sei \(x_0\) sowohl Häufungspunkt von \(D \cap (x_0, \infty)\) als auch von \(D \cap (-\infty, x_0)\). Dann gilt \(f'(x_0) = 0\).
Back
Sei \(f : D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x_0 \in D\) eine lokale Extremalstelle, an der \(f\) differenzierbar ist, und sei \(x_0\) sowohl Häufungspunkt von \(D \cap (x_0, \infty)\) als auch von \(D \cap (-\infty, x_0)\). Dann gilt \(f'(x_0) = 0\).
Notwendige Bedingung für innere Extremalstellen. Die Voraussetzung an die Häufungspunkte stellt sicher, dass \(x_0\) ein innerer Punkt ist (kein Randpunkt des Definitionsbereichs).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Sei \(f : D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x_0 \in D\) eine lokale Extremalstelle, an der \(f\) differenzierbar ist, und sei \(x_0\) sowohl Häufungspunkt von \(D \cap (x_0, \infty)\) als auch von \(D \cap (-\infty, x_0)\). Dann gilt {{c1::\(f'(x_0) = 0\)}}. | |
| Extra | Notwendige Bedingung für innere Extremalstellen. Die Voraussetzung an die Häufungspunkte stellt sicher, dass \(x_0\) ein <i>innerer</i> Punkt ist (kein Randpunkt des Definitionsbereichs). |
Note 64: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
gj0j?GOgU5
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Front
Taylorreihe des Sinus (konvergiert für alle \(x \in \mathbb{R}\)):
\[ \sin(x) = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} }} = x - \tfrac{1}{3!} x^3 + \tfrac{1}{5!} x^5 - \dots \]
\[ \sin(x) = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} }} = x - \tfrac{1}{3!} x^3 + \tfrac{1}{5!} x^5 - \dots \]
Back
Taylorreihe des Sinus (konvergiert für alle \(x \in \mathbb{R}\)):
\[ \sin(x) = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} }} = x - \tfrac{1}{3!} x^3 + \tfrac{1}{5!} x^5 - \dots \]
\[ \sin(x) = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} }} = x - \tfrac{1}{3!} x^3 + \tfrac{1}{5!} x^5 - \dots \]
Nur ungerade Potenzen, weil \(\sin\) eine ungerade Funktion ist. Entwicklungsstelle \(a = 0\) (Maclaurin-Reihe).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Taylorreihe des Sinus (konvergiert für alle \(x \in \mathbb{R}\)):<br>\[ \sin(x) = {{c1::\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} }} = x - \tfrac{1}{3!} x^3 + \tfrac{1}{5!} x^5 - \dots \] | |
| Extra | Nur ungerade Potenzen, weil \(\sin\) eine ungerade Funktion ist. Entwicklungsstelle \(a = 0\) (Maclaurin-Reihe). |
Note 65: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
k}|zTKj.M/
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Mittelwertsatz: Sei \(a < b\) und \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) auf \([a, b]\) stetig und auf \((a, b)\) differenzierbar. Dann existiert ein \(\xi \in (a, b)\) mit
\[ f'(\xi) = {{c3::\frac{f(b) - f(a)}{b - a} }} \]
\[ f'(\xi) = {{c3::\frac{f(b) - f(a)}{b - a} }} \]
Back
Mittelwertsatz: Sei \(a < b\) und \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) auf \([a, b]\) stetig und auf \((a, b)\) differenzierbar. Dann existiert ein \(\xi \in (a, b)\) mit
\[ f'(\xi) = {{c3::\frac{f(b) - f(a)}{b - a} }} \]
\[ f'(\xi) = {{c3::\frac{f(b) - f(a)}{b - a} }} \]
Geometrisch: an mindestens einer Stelle ist die Tangentensteigung gleich der mittleren Steigung (Sekantensteigung) zwischen \((a, f(a))\) und \((b, f(b))\). Verallgemeinert den Satz von Rolle.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | <b>Mittelwertsatz:</b> Sei \(a < b\) und \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) auf \([a, b]\) {{c1::stetig}} und auf \((a, b)\) {{c2::differenzierbar}}. Dann existiert ein \(\xi \in (a, b)\) mit<br>\[ f'(\xi) = {{c3::\frac{f(b) - f(a)}{b - a} }} \] | |
| Extra | Geometrisch: an mindestens einer Stelle ist die Tangentensteigung gleich der mittleren Steigung (Sekantensteigung) zwischen \((a, f(a))\) und \((b, f(b))\). Verallgemeinert den Satz von Rolle. |
Note 66: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
l90~.Fe9@q
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Ableitungen der trigonometrischen Funktionen (im Bogenmass):
- \(\sin'(x) = \cos(x)\)
- \(\cos'(x) = -\sin(x)\)
- \(\tan'(x) = {{c3::\dfrac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)}}\)
Back
Ableitungen der trigonometrischen Funktionen (im Bogenmass):
- \(\sin'(x) = \cos(x)\)
- \(\cos'(x) = -\sin(x)\)
- \(\tan'(x) = {{c3::\dfrac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)}}\)
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Ableitungen der trigonometrischen Funktionen (im Bogenmass):<ul><li>\(\sin'(x) = {{c1::\cos(x)}}\)</li><li>\(\cos'(x) = {{c2::-\sin(x)}}\)</li><li>\(\tan'(x) = {{c3::\dfrac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)}}\)</li></ul> |
Note 67: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
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Note Type: Horvath Cloze
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m^V,=Dr7q]
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Wir betrachten den Übergang \(f(x) \rightarrow g(x) = k \cdot f(x)\):
- \(k > 1\): Graph wird in y-Richtung von der x-Achse weg gestreckt.
- \(0 < k < 1\): Graph wird in y-Richtung zur x-Achse hin gestaucht.
- \(k < 0\): Graph wird zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
Back
Wir betrachten den Übergang \(f(x) \rightarrow g(x) = k \cdot f(x)\):
- \(k > 1\): Graph wird in y-Richtung von der x-Achse weg gestreckt.
- \(0 < k < 1\): Graph wird in y-Richtung zur x-Achse hin gestaucht.
- \(k < 0\): Graph wird zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
Die multiplikative Konstante wirkt auf den Funktionswert, also auf die y-Achse.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Wir betrachten den Übergang \(f(x) \rightarrow g(x) = k \cdot f(x)\):<ul><li>\(k > 1\): Graph wird in y-Richtung {{c1::von der x-Achse weg gestreckt}}.</li><li>\(0 < k < 1\): Graph wird in y-Richtung {{c2::zur x-Achse hin gestaucht}}.</li><li>\(k < 0\): Graph wird zusätzlich {{c3::an der x-Achse gespiegelt}}.</li></ul> | |
| Extra | Die multiplikative Konstante wirkt auf den <i>Funktionswert</i>, also auf die y-Achse. |
Note 68: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
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Note Type: Horvath Cloze
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q%3-PVa4/D
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Eine Funktion \(f : X \to Y\) heisst bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist.
Back
Eine Funktion \(f : X \to Y\) heisst bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist.
Genau bijektive Funktionen besitzen eine Inverse \(f^{-1}\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Eine Funktion \(f : X \to Y\) heisst <i>bijektiv</i>, falls {{c1::sie injektiv und surjektiv ist}}. | |
| Extra | Genau bijektive Funktionen besitzen eine Inverse \(f^{-1}\). |
Note 69: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
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Note Type: Horvath Cloze
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s52vqQ`60=
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Sei \(\omega\) ein Winkel im Einheitskreis. Das Bogenmass \(\omega_{BM}\) ist definiert als die Länge \(l\) des Bogens, den \(\omega\) aus der Kreislinie ausschneidet.
Umrechnungsformel:\[ l = \omega_{BM} = {{c2::\frac{\omega_{GM} }{360} \cdot 2\pi}} \]
Umrechnungsformel:\[ l = \omega_{BM} = {{c2::\frac{\omega_{GM} }{360} \cdot 2\pi}} \]
Back
Sei \(\omega\) ein Winkel im Einheitskreis. Das Bogenmass \(\omega_{BM}\) ist definiert als die Länge \(l\) des Bogens, den \(\omega\) aus der Kreislinie ausschneidet.
Umrechnungsformel:\[ l = \omega_{BM} = {{c2::\frac{\omega_{GM} }{360} \cdot 2\pi}} \]
Umrechnungsformel:\[ l = \omega_{BM} = {{c2::\frac{\omega_{GM} }{360} \cdot 2\pi}} \]
Beim Einzeichnen im Uhrzeigersinn (von \(P = (1,0)\) ausgehend) wird ein zusätzliches Minuszeichen verwendet. So lassen sich Winkel als Drehungen auffassen.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Sei \(\omega\) ein Winkel im Einheitskreis. Das <i>Bogenmass</i> \(\omega_{BM}\) ist definiert als {{c1::die Länge \(l\) des Bogens, den \(\omega\) aus der Kreislinie ausschneidet}}.<br><br>Umrechnungsformel:\[ l = \omega_{BM} = {{c2::\frac{\omega_{GM} }{360} \cdot 2\pi}} \] | |
| Extra | Beim Einzeichnen im Uhrzeigersinn (von \(P = (1,0)\) ausgehend) wird ein zusätzliches Minuszeichen verwendet. So lassen sich Winkel als Drehungen auffassen. |
Note 70: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
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Note Type: Horvath Cloze
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vxE[0k#$#I
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Eine Sinusschwingung hat die allgemeine Form \[ f(t) = A \sin(B(t + h)) + C \quad \text{oder} \quad f(t) = A \cos(B(t + h)) + C \]Dabei sind:
- \(|A|\) die Amplitude
- \(|B|^{-1} \cdot 2\pi\) die Periode
- \(|h|\) die Phasenverschiebung
- \(|C|\) der Mittelwert
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Eine Sinusschwingung hat die allgemeine Form \[ f(t) = A \sin(B(t + h)) + C \quad \text{oder} \quad f(t) = A \cos(B(t + h)) + C \]Dabei sind:
- \(|A|\) die Amplitude
- \(|B|^{-1} \cdot 2\pi\) die Periode
- \(|h|\) die Phasenverschiebung
- \(|C|\) der Mittelwert
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Eine <i>Sinusschwingung</i> hat die allgemeine Form \[ f(t) = A \sin(B(t + h)) + C \quad \text{oder} \quad f(t) = A \cos(B(t + h)) + C \]Dabei sind:<ul><li>\(|A|\) die {{c1::Amplitude}}</li><li>\(|B|^{-1} \cdot 2\pi\) die {{c2::Periode}}</li><li>\(|h|\) die {{c3::Phasenverschiebung}}</li><li>\(|C|\) der {{c4::Mittelwert}}</li></ul> |
Note 71: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
wBFf&tZo`0
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Ableitung der Umkehrfunktion: Sei \(f : D \to E\) stetig und bijektiv mit stetiger Umkehrfunktion \(f^{-1}\). Sei \(f\) an \(x_0\) differenzierbar mit \(f'(x_0) \neq 0\). Dann ist \(f^{-1}\) an \(y_0 = f(x_0)\) differenzierbar und es gilt
\[ \left(f^{-1}\right)'(y_0) = {{c1::\frac{1}{f'(x_0)} }} \]
\[ \left(f^{-1}\right)'(y_0) = {{c1::\frac{1}{f'(x_0)} }} \]
Back
Ableitung der Umkehrfunktion: Sei \(f : D \to E\) stetig und bijektiv mit stetiger Umkehrfunktion \(f^{-1}\). Sei \(f\) an \(x_0\) differenzierbar mit \(f'(x_0) \neq 0\). Dann ist \(f^{-1}\) an \(y_0 = f(x_0)\) differenzierbar und es gilt
\[ \left(f^{-1}\right)'(y_0) = {{c1::\frac{1}{f'(x_0)} }} \]
\[ \left(f^{-1}\right)'(y_0) = {{c1::\frac{1}{f'(x_0)} }} \]
Voraussetzung \(f'(x_0) \neq 0\) ist wesentlich: an horizontalen Tangenten von \(f\) hat \(f^{-1}\) eine vertikale Tangente und ist nicht differenzierbar.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | <b>Ableitung der Umkehrfunktion:</b> Sei \(f : D \to E\) stetig und bijektiv mit stetiger Umkehrfunktion \(f^{-1}\). Sei \(f\) an \(x_0\) differenzierbar mit \(f'(x_0) \neq 0\). Dann ist \(f^{-1}\) an \(y_0 = f(x_0)\) differenzierbar und es gilt<br>\[ \left(f^{-1}\right)'(y_0) = {{c1::\frac{1}{f'(x_0)} }} \] | |
| Extra | Voraussetzung \(f'(x_0) \neq 0\) ist wesentlich: an horizontalen Tangenten von \(f\) hat \(f^{-1}\) eine vertikale Tangente und ist nicht differenzierbar. |
Note 72: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
xbZ#83Rtjh
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Sei \(I \subset \mathbb{R}\) ein Intervall und \(f : I \to \mathbb{R}\) zweifach differenzierbar. Dann ist \(f\) auf \(I\) genau dann konvex, wenn auf \(I\) gilt \(f''(x) \geq 0\).
Back
Sei \(I \subset \mathbb{R}\) ein Intervall und \(f : I \to \mathbb{R}\) zweifach differenzierbar. Dann ist \(f\) auf \(I\) genau dann konvex, wenn auf \(I\) gilt \(f''(x) \geq 0\).
Praktisches Konvexitätskriterium über die zweite Ableitung. Analog: \(f\) konkav \(\iff f'' \leq 0\). Ändert \(f''\) das Vorzeichen, liegt ein Wendepunkt vor.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Sei \(I \subset \mathbb{R}\) ein Intervall und \(f : I \to \mathbb{R}\) zweifach differenzierbar. Dann ist \(f\) auf \(I\) genau dann {{c1::konvex}}, wenn auf \(I\) gilt {{c2::\(f''(x) \geq 0\)}}. | |
| Extra | Praktisches Konvexitätskriterium über die zweite Ableitung. Analog: \(f\) konkav \(\iff f'' \leq 0\). Ändert \(f''\) das Vorzeichen, liegt ein <i>Wendepunkt</i> vor. |
Note 73: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
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added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
yvs^brBq>O
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Front
Bedeutung der Ableitung \(f'(a)\):
- momentane Änderungsrate von \(f\) an der Stelle \(a\)
- Steigung der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \((a, f(a))\)
- Vorzeichen: zeigt Zunahme (\(>0\)) bzw. Abnahme (\(<0\))
Back
Bedeutung der Ableitung \(f'(a)\):
- momentane Änderungsrate von \(f\) an der Stelle \(a\)
- Steigung der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \((a, f(a))\)
- Vorzeichen: zeigt Zunahme (\(>0\)) bzw. Abnahme (\(<0\))
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Bedeutung der Ableitung \(f'(a)\):<ul><li>{{c1::momentane Änderungsrate}} von \(f\) an der Stelle \(a\)</li><li>{{c2::Steigung der Tangente}} an den Graphen von \(f\) im Punkt \((a, f(a))\)</li><li>{{c3::Vorzeichen}}: zeigt Zunahme (\(>0\)) bzw. Abnahme (\(<0\))</li></ul> |
Note 74: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
{3o)y
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Front
Sei \(I \subset \mathbb{R}\) ein Intervall, \(f : I \to \mathbb{R}\), und \(x_0\) eine lokale Extremalstelle von \(f\). Dann ist mindestens eine der folgenden Aussagen wahr:
- \(x_0\) ist ein Endpunkt des Intervalls \(I\)
- \(f\) ist an \(x_0\) nicht differenzierbar
- \(f\) ist an \(x_0\) differenzierbar und es gilt \(f'(x_0) = 0\)
Back
Sei \(I \subset \mathbb{R}\) ein Intervall, \(f : I \to \mathbb{R}\), und \(x_0\) eine lokale Extremalstelle von \(f\). Dann ist mindestens eine der folgenden Aussagen wahr:
- \(x_0\) ist ein Endpunkt des Intervalls \(I\)
- \(f\) ist an \(x_0\) nicht differenzierbar
- \(f\) ist an \(x_0\) differenzierbar und es gilt \(f'(x_0) = 0\)
Bei Extremwertaufgaben muss man also alle drei Typen von Kandidaten separat prüfen: Randpunkte, Nicht-Differenzierbarkeitsstellen und kritische Punkte.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Sei \(I \subset \mathbb{R}\) ein Intervall, \(f : I \to \mathbb{R}\), und \(x_0\) eine lokale Extremalstelle von \(f\). Dann ist mindestens eine der folgenden Aussagen wahr:<ol><li>{{c1::\(x_0\) ist ein Endpunkt des Intervalls \(I\)}}</li><li>{{c2::\(f\) ist an \(x_0\) nicht differenzierbar}}</li><li>{{c3::\(f\) ist an \(x_0\) differenzierbar und es gilt \(f'(x_0) = 0\)}}</li></ol> | |
| Extra | Bei Extremwertaufgaben muss man also <b>alle drei Typen von Kandidaten</b> separat prüfen: Randpunkte, Nicht-Differenzierbarkeitsstellen und kritische Punkte. |
Note 75: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
|-(N/ah3mm
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Front
Eine Funktion der Form \(y = f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}\), wobei \(p(x)\) und \(q(x)\) Polynome sind, heisst rationale Funktion.
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Eine Funktion der Form \(y = f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}\), wobei \(p(x)\) und \(q(x)\) Polynome sind, heisst rationale Funktion.
Definitionsbereich: alle \(x \in \mathbb{R}\) mit \(q(x) \neq 0\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Eine Funktion der Form \(y = f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}\), wobei \(p(x)\) und \(q(x)\) {{c1::Polynome}} sind, heisst {{c2::rationale Funktion}}. | |
| Extra | Definitionsbereich: alle \(x \in \mathbb{R}\) mit \(q(x) \neq 0\). |
Note 76: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID:
added
Note Type: Horvath Classic
GUID:
}diCMW|Aq$
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Front
Wann besitzt eine Funktion eine Umkehrfunktion (geometrisches Kriterium)?
Back
Wann besitzt eine Funktion eine Umkehrfunktion (geometrisches Kriterium)?
Genau dann, wenn ihr Graph von jeder Parallele zur x-Achse höchstens einmal geschnitten wird.
(Dies ist die geometrische Übersetzung von Injektivität.)
(Dies ist die geometrische Übersetzung von Injektivität.)
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Front | Wann besitzt eine Funktion eine Umkehrfunktion (geometrisches Kriterium)? | |
| Back | Genau dann, wenn ihr Graph von <b>jeder Parallele zur x-Achse höchstens einmal</b> geschnitten wird.<br><br>(Dies ist die geometrische Übersetzung von Injektivität.) |