Anki Deck Changes

Commit: 3f522abe - add varianz

Author: obrhubr <obrhubr+noreply@noreply.com>

Date: 2026-03-29T13:32:20+02:00

Changes: 46 note(s) changed (6 added, 40 modified, 0 deleted)

ℹ️ Cosmetic Changes Hidden: 23 note(s) had formatting-only changes and are not shown below • 1 HTML formatting changes

Note 1: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Cloze
GUID: 1V$+8N)nVy
modified

Before

Front

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen
Die Indikator-Zufallsvariable (Bernoulli-Variable) für Ereignis \(A\) ist:
\[X_A(\omega) := {{c1:: \begin{cases} 1 & \omega \in A \\ 0 & \omega \notin A \end{cases} }}\]

Back

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen
Die Indikator-Zufallsvariable (Bernoulli-Variable) für Ereignis \(A\) ist:
\[X_A(\omega) := {{c1:: \begin{cases} 1 & \omega \in A \\ 0 & \omega \notin A \end{cases} }}\]
Es gilt: \(\mathbb{E}[X_A] = \).

Beweis: \(\mathbb{E}[X_A] = 1 \cdot \Pr[A] + 0 \cdot \Pr[A^c] = \Pr[A]\).

After

Front

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::1._Definitionen
Die Indikator-Zufallsvariable (Bernoulli-Variable) für Ereignis \(A\) ist:
\[X_A(\omega) := {{c1:: \begin{cases} 1 & \omega \in A \\ 0 & \omega \notin A \end{cases} }}\]

Back

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::1._Definitionen
Die Indikator-Zufallsvariable (Bernoulli-Variable) für Ereignis \(A\) ist:
\[X_A(\omega) := {{c1:: \begin{cases} 1 & \omega \in A \\ 0 & \omega \notin A \end{cases} }}\]
Es gilt: \(\mathbb{E}[X_A] = \Pr[A]\).

Beweis: \(\mathbb{E}[X_A] = 1 \cdot \Pr[A] + 0 \cdot \Pr[A^c] = \Pr[A]\).
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Die {{c1::Indikator-Zufallsvariable (Bernoulli-Variable)}} für Ereignis \(A\) ist:<br>\[X_A(\omega) := {{c1:: \begin{cases} 1 &amp; \omega \in A \\ 0 &amp; \omega \notin A \end{cases} }}\] Die {{c1::Indikator-Zufallsvariable (Bernoulli-Variable)}} für Ereignis \(A\) ist:<br>\[X_A(\omega) := {{c1:: \begin{cases} 1 &amp; \omega \in A \\ 0 &amp; \omega \notin A \end{cases} }}\]<br>
Extra Es gilt:&nbsp;\(\mathbb{E}[X_A] = {{c3::\Pr[A]}}\).<br><br>Beweis: \(\mathbb{E}[X_A] = 1 \cdot \Pr[A] + 0 \cdot \Pr[A^c] = \Pr[A]\). Es gilt:&nbsp;\(\mathbb{E}[X_A] = \Pr[A]\).<br><br>Beweis: \(\mathbb{E}[X_A] = 1 \cdot \Pr[A] + 0 \cdot \Pr[A^c] = \Pr[A]\).
Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::1._Definitionen

Note 2: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Cloze
GUID: A-7$#*Ia_p
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::2._Bedingte_Wahrscheinlichkeiten
Seien \(A\) und \(B\) Ereignisse mit \(\Pr[B] > 0\).

Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(\Pr[A|B]\) von \(A\) gegeben \(B\) ist definiert durch: \[\Pr[A|B] := {{c1::\frac{\Pr[A \cap B]}{\Pr[B]} }}\]

Back

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::2._Bedingte_Wahrscheinlichkeiten
Seien \(A\) und \(B\) Ereignisse mit \(\Pr[B] > 0\).

Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(\Pr[A|B]\) von \(A\) gegeben \(B\) ist definiert durch: \[\Pr[A|B] := {{c1::\frac{\Pr[A \cap B]}{\Pr[B]} }}\]

After

Front

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::2._Bedingte_Wahrscheinlichkeiten
Seien \(A\) und \(B\) Ereignisse mit \(\Pr[B] > 0\).

Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(\Pr[A|B]\) von \(A\) gegeben \(B\) ist definiert durch \[\Pr[A|B] := {{c1::\frac{\Pr[A \cap B]}{\Pr[B]} }}\]

Back

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::2._Bedingte_Wahrscheinlichkeiten
Seien \(A\) und \(B\) Ereignisse mit \(\Pr[B] > 0\).

Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(\Pr[A|B]\) von \(A\) gegeben \(B\) ist definiert durch \[\Pr[A|B] := {{c1::\frac{\Pr[A \cap B]}{\Pr[B]} }}\]
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Seien \(A\) und \(B\) Ereignisse mit \(\Pr[B] &gt; 0\). <br><br> Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(\Pr[A|B]\) von \(A\) gegeben \(B\) ist definiert durch:&nbsp;\[\Pr[A|B] := {{c1::\frac{\Pr[A \cap B]}{\Pr[B]} }}\] Seien \(A\) und \(B\) Ereignisse mit \(\Pr[B] &gt; 0\). <br><br> Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(\Pr[A|B]\) von \(A\) gegeben \(B\) ist definiert durch \[\Pr[A|B] := {{c1::\frac{\Pr[A \cap B]}{\Pr[B]} }}\]
Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::2._Bedingte_Wahrscheinlichkeiten

Note 3: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Cloze
GUID: B1cEOSgE
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::6._Matchings::1._Algorithmen
BFS für augmentierende Pfade in bipartiten Graphen \(G = (A \uplus B, E)\):
  1. \(L_0 := \) unüberdeckte Knoten aus \(A\)
  2. Für ungerades \(i\): \(L_i := \) {{c2::unbesuchte Nachbarn von \(L_{i-1}\) via Kanten in \(E \setminus M\)}}
  3. Für gerades \(i\): \(L_i := \) {{c2::unbesuchte Nachbarn von \(L_{i-1}\) via Kanten in \(M\)}}
  4. Terminierung: Sobald \(L_i\) einen unüberdeckten Knoten enthält → Pfad per Backtracking.

Back

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::6._Matchings::1._Algorithmen
BFS für augmentierende Pfade in bipartiten Graphen \(G = (A \uplus B, E)\):
  1. \(L_0 := \) unüberdeckte Knoten aus \(A\)
  2. Für ungerades \(i\): \(L_i := \) {{c2::unbesuchte Nachbarn von \(L_{i-1}\) via Kanten in \(E \setminus M\)}}
  3. Für gerades \(i\): \(L_i := \) {{c2::unbesuchte Nachbarn von \(L_{i-1}\) via Kanten in \(M\)}}
  4. Terminierung: Sobald \(L_i\) einen unüberdeckten Knoten enthält → Pfad per Backtracking.
Laufzeit: \(O(|V| + |E|)\) für einen augmentierenden Pfad.

After

Front

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::6._Matchings::1._Algorithmen
BFS für augmentierende Pfade in bipartiten Graphen \(G = (A \uplus B, E)\):
  1. \(L_0 := \)unüberdeckte Knoten aus \(A\)
  2. Für ungerades \(i\): \(L_i := \){{c2::unbesuchte Nachbarn von \(L_{i-1}\) via Kanten in \(E \setminus M\)}}
  3. Für gerades \(i\): \(L_i := \){{c3::unbesuchte Nachbarn von \(L_{i-1}\) via Kanten in \(M\)}}
  4. Terminierung: sobald \(L_i\) einen unüberdeckten Knoten enthält → Pfad per Backtracking.

Back

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::6._Matchings::1._Algorithmen
BFS für augmentierende Pfade in bipartiten Graphen \(G = (A \uplus B, E)\):
  1. \(L_0 := \)unüberdeckte Knoten aus \(A\)
  2. Für ungerades \(i\): \(L_i := \){{c2::unbesuchte Nachbarn von \(L_{i-1}\) via Kanten in \(E \setminus M\)}}
  3. Für gerades \(i\): \(L_i := \){{c3::unbesuchte Nachbarn von \(L_{i-1}\) via Kanten in \(M\)}}
  4. Terminierung: sobald \(L_i\) einen unüberdeckten Knoten enthält → Pfad per Backtracking.
Laufzeit: \(O(|V| + |E|)\) für einen augmentierenden Pfad.
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text BFS für augmentierende Pfade in bipartiten Graphen \(G = (A \uplus B, E)\):<br><ol><li>\(L_0 := \)&nbsp;{{c1::unüberdeckte Knoten aus \(A\)}}</li><li>Für ungerades \(i\): \(L_i := \)&nbsp;{{c2::unbesuchte Nachbarn von \(L_{i-1}\) via Kanten in \(E \setminus M\)}}</li><li>Für gerades \(i\): \(L_i := \)&nbsp;{{c2::unbesuchte Nachbarn von \(L_{i-1}\) via Kanten in \(M\)}}</li><li>Terminierung: {{c4::Sobald \(L_i\) einen unüberdeckten Knoten enthält}} → Pfad per Backtracking.</li></ol> BFS für augmentierende Pfade in bipartiten Graphen \(G = (A \uplus B, E)\):<br><ol><li>\(L_0 := \){{c1::unüberdeckte Knoten aus \(A\)}}</li><li>Für ungerades \(i\): \(L_i := \){{c2::unbesuchte Nachbarn von \(L_{i-1}\) via Kanten in \(E \setminus M\)}}</li><li>Für gerades \(i\): \(L_i := \){{c3::unbesuchte Nachbarn von \(L_{i-1}\) via Kanten in \(M\)}}</li><li>Terminierung: {{c4::sobald \(L_i\) einen unüberdeckten Knoten enthält}} → Pfad per Backtracking.</li></ol>
Tags: ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::6._Matchings::1._Algorithmen

Note 4: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Cloze
GUID: F-BHv{onMh
modified

Before

Front

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Die Anzahl der Anordnungen von \(n\) Objekten, von denen
\(n_1\) vom Typ 1, …, \(n_r\) vom Typ \(r\) sind (\(n_1 + \cdots + n_r = n\)), ist:
\[{{c1::\frac{n!}{n_1!\, n_2!\, \cdots\, n_r!} }} = \binom{n}{n_1, n_2, \ldots, n_r}\]

Back

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Die Anzahl der Anordnungen von \(n\) Objekten, von denen
\(n_1\) vom Typ 1, …, \(n_r\) vom Typ \(r\) sind (\(n_1 + \cdots + n_r = n\)), ist:
\[{{c1::\frac{n!}{n_1!\, n_2!\, \cdots\, n_r!} }} = \binom{n}{n_1, n_2, \ldots, n_r}\]
(Multinomialkoeffizient)

Speziell für \(r=2\): \(\frac{n!}{k!\,(n-k)!} = \binom{n}{k}\).

Beispiel:
Anordnungen von „MISSISSIPPI“: \(\frac{11!}{1!\cdot 4!\cdot 4!\cdot 2!} = 34{,}650\).

After

Front

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Die Anzahl der Anordnungen von \(n\) Objekten, von denen
\(n_1\) vom Typ 1, …, \(n_r\) vom Typ \(r\) sind (\(n_1 + \cdots + n_r = n\)), ist:
\[{{c1::\frac{n!}{n_1!\, n_2!\, \cdots\, n_r!} }} = \binom{n}{n_1, n_2, \ldots, n_r}\]
(Multinomialkoeffizient)

Back

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Die Anzahl der Anordnungen von \(n\) Objekten, von denen
\(n_1\) vom Typ 1, …, \(n_r\) vom Typ \(r\) sind (\(n_1 + \cdots + n_r = n\)), ist:
\[{{c1::\frac{n!}{n_1!\, n_2!\, \cdots\, n_r!} }} = \binom{n}{n_1, n_2, \ldots, n_r}\]
(Multinomialkoeffizient)
Speziell für \(r=2\): \(\frac{n!}{k!\,(n-k)!} = \binom{n}{k}\).
Beispiel: Anordnungen von „MISSISSIPPI“: \(\frac{11!}{1!\cdot 4!\cdot 4!\cdot 2!} = 34{,}650\).
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Die Anzahl der Anordnungen von \(n\) Objekten, von denen<br>\(n_1\) vom Typ 1, …, \(n_r\) vom Typ \(r\) sind (\(n_1 + \cdots + n_r = n\)), ist:<br>\[{{c1::\frac{n!}{n_1!\, n_2!\, \cdots\, n_r!} }} = \binom{n}{n_1, n_2, \ldots, n_r}\] Die Anzahl der Anordnungen von \(n\) Objekten, von denen<br>\(n_1\) vom Typ 1, …, \(n_r\) vom Typ \(r\) sind (\(n_1 + \cdots + n_r = n\)), ist:<br>\[{{c1::\frac{n!}{n_1!\, n_2!\, \cdots\, n_r!} }} = \binom{n}{n_1, n_2, \ldots, n_r}\]<br>(Multinomialkoeffizient)
Extra (Multinomialkoeffizient)<br><br>Speziell für \(r=2\): \(\frac{n!}{k!\,(n-k)!} = \binom{n}{k}\).<br><br>Beispiel: <br>Anordnungen von „MISSISSIPPI“: \(\frac{11!}{1!\cdot 4!\cdot 4!\cdot 2!} = 34{,}650\). Speziell für \(r=2\): \(\frac{n!}{k!\,(n-k)!} = \binom{n}{k}\).<br>Beispiel: Anordnungen von „MISSISSIPPI“: \(\frac{11!}{1!\cdot 4!\cdot 4!\cdot 2!} = 34{,}650\).
Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik basic

Note 5: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Cloze
GUID: H#LoquJg]}
modified

Before

Front

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Für den Binomialkoeffizienten gilt:
\[\binom{n}{k} = {{c1::\binom{n}{n-k} :: \text{Symmetrie} }}\]

Back

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Für den Binomialkoeffizienten gilt:
\[\binom{n}{k} = {{c1::\binom{n}{n-k} :: \text{Symmetrie} }}\]

After

Front

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Für den Binomialkoeffizienten gilt:
\(\binom{n}{k} = {{c1::\binom{n}{n-k} :: symmetrie }}\)

Back

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Für den Binomialkoeffizienten gilt:
\(\binom{n}{k} = {{c1::\binom{n}{n-k} :: symmetrie }}\)
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Für den Binomialkoeffizienten gilt:<br>\[\binom{n}{k} = {{c1::\binom{n}{n-k} :: \text{Symmetrie} }}\] Für den Binomialkoeffizienten gilt:<br>\(\binom{n}{k} = {{c1::\binom{n}{n-k} :: symmetrie }}\)
Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik basic

Note 6: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Cloze
GUID: JF0l2bCbMG
modified

Before

Front

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Die Anzahl der Möglichkeiten, \(k\) Objekte aus \(n\) Sorten mit Zurücklegen zu wählen (Reihenfolge egal) (Multiset) ist:
\[{{c2::\binom{n + k - 1}{k} }} = {{c1::\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!} }} \]

Back

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Die Anzahl der Möglichkeiten, \(k\) Objekte aus \(n\) Sorten mit Zurücklegen zu wählen (Reihenfolge egal) (Multiset) ist:
\[{{c2::\binom{n + k - 1}{k} }} = {{c1::\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!} }} \]
Auch bekannt als „Sterne und Striche“ (Stars and Bars).

Beispiel:
Wie viele Möglichkeiten, 3 Kugeln aus {rot, blau, grün} mit Zurücklegen zu ziehen?
\(\binom{3+3-1}{3} = \binom{5}{3} = 10\).

After

Front

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Die Anzahl der Möglichkeiten, \(k\) Objekte aus \(n\) Sorten
mit Zurücklegen zu wählen (Reihenfolge egal) (Multiset) ist:
\[{{c2::\binom{n + k - 1}{k} }} = {{c1::\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!} }} \]

Back

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Die Anzahl der Möglichkeiten, \(k\) Objekte aus \(n\) Sorten
mit Zurücklegen zu wählen (Reihenfolge egal) (Multiset) ist:
\[{{c2::\binom{n + k - 1}{k} }} = {{c1::\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!} }} \]
Auch bekannt als „Sterne und Striche“ (Stars and Bars).
Beispiel: Wie viele Möglichkeiten, 3 Kugeln aus {rot, blau, grün} mit Zurüclegen zu ziehen?
\(\binom{3+3-1}{3} = \binom{5}{3} = 10\).
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Die Anzahl der Möglichkeiten, \(k\) Objekte aus \(n\) Sorten&nbsp;<strong>mit Zurücklegen</strong> zu wählen (Reihenfolge egal) (Multiset) ist:<br>\[{{c2::\binom{n + k - 1}{k} }} = {{c1::\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!} }} \] Die Anzahl der Möglichkeiten, \(k\) Objekte aus \(n\) Sorten<br><strong>mit Zurücklegen</strong> zu wählen (Reihenfolge egal) (Multiset) ist:<br>\[{{c2::\binom{n + k - 1}{k} }} = {{c1::\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!} }} \]
Extra Auch bekannt als „Sterne und Striche“ (Stars and Bars).<br><br>Beispiel: <br>Wie viele Möglichkeiten, 3 Kugeln aus {rot, blau, grün} mit Zurücklegen zu ziehen?<br>\(\binom{3+3-1}{3} = \binom{5}{3} = 10\). Auch bekannt als „Sterne und Striche“ (Stars and Bars).<br>Beispiel: Wie viele Möglichkeiten, 3 Kugeln aus {rot, blau, grün} mit Zurüclegen zu ziehen?<br>\(\binom{3+3-1}{3} = \binom{5}{3} = 10\).
Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik basic

Note 7: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Cloze
GUID: Omm>l65{[`
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen
\(\forall k \geq 3, \; \forall r \geq 1\): Es gibt Graphen, die keinen Kreis mit Länge \(> k\) haben, aber dafür chromatische Zahl \(\geq r\).

Back

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen
\(\forall k \geq 3, \; \forall r \geq 1\): Es gibt Graphen, die keinen Kreis mit Länge \(> k\) haben, aber dafür chromatische Zahl \(\geq r\).
Lokal sieht der Graph aus wie ein Baum (alle Knoten, die man von einem \(v\) aus in \(k/2\) Schritten erreichen kann).

After

Front

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen
\(\forall k \in \mathbb{N},\ \forall r \in \mathbb{N}\): Es gibt Graphen ohne einen Kreis mit Länge \(\leq k\), aber mit chromatischer Zahl \(\geq r\).

Back

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen
\(\forall k \in \mathbb{N},\ \forall r \in \mathbb{N}\): Es gibt Graphen ohne einen Kreis mit Länge \(\leq k\), aber mit chromatischer Zahl \(\geq r\).
Lokal sieht der Graph aus wie ein Baum (alle Knoten, die man von einem \(v\) aus in \(k/2\) Schritten erreichen kann).

Field-by-field Comparison
Field Before After
Text \(\forall k \geq 3, \; \forall r \geq 1\): Es gibt Graphen, die keinen Kreis mit Länge \(&gt; k\)&nbsp;haben, aber dafür {{c1::chromatische Zahl \(\geq r\)}}. \(\forall k \in \mathbb{N},\ \forall r \in \mathbb{N}\): Es gibt Graphen ohne einen Kreis mit Länge \(\leq k\), aber mit {{c1::chromatischer Zahl \(\geq r\)}}.
Tags: ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen

Note 8: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Cloze
GUID: htE!5%59G$
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::2._Bedingte_Wahrscheinlichkeiten
Seien \(A_1, \ldots, A_n\) Ereignisse.

Falls \(\Pr[A_1 \cap \cdots \cap A_n] > 0\), so gilt: \[\begin{align} \Pr[A_1 \cap \cdots \cap A_n] =& {{c1::\Pr[A_1] \cdot \Pr[A_2|A_1] \\ &\cdot \Pr[A_3|A_1 \cap A_2] \cdots \\ &\Pr[A_n|A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}]}} \end{align}\]

Back

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::2._Bedingte_Wahrscheinlichkeiten
Seien \(A_1, \ldots, A_n\) Ereignisse.

Falls \(\Pr[A_1 \cap \cdots \cap A_n] > 0\), so gilt: \[\begin{align} \Pr[A_1 \cap \cdots \cap A_n] =& {{c1::\Pr[A_1] \cdot \Pr[A_2|A_1] \\ &\cdot \Pr[A_3|A_1 \cap A_2] \cdots \\ &\Pr[A_n|A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}]}} \end{align}\]
Multiplikationssatz

Proof: Expand each conditional probability by definition:
\[ \Pr[A_1]\cdot\frac{\Pr[A_1\cap A_2]}{\Pr[A_1]}\cdot\frac{\Pr[A_1\cap A_2\cap A_3]}{\Pr[A_1\cap A_2]}\cdots\frac{\Pr[A_1\cap\cdots\cap A_n]}{\Pr[A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}]}. \]
All intermediate terms cancel (telescoping product), leaving \(\Pr[A_1\cap\cdots\cap A_n]\). \(\square\)

Note: All conditional probabilities are well-defined because \(\Pr[A_1]\ge\Pr[A_1\cap A_2]\ge\cdots>0\). Multiplikationssatz

Beispiel: Geburtstagsproblem
Betrachte einen Raum mit \(m\) Personen.
Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben?

After

Front

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::2._Bedingte_Wahrscheinlichkeiten
Multiplikationssatz: Seien \(A_1, \ldots, A_n\) Ereignisse.

Falls \(\Pr[A_1 \cap \cdots \cap A_n] > 0\), so gilt: \[\begin{align} \Pr[A_1 \cap \cdots \cap A_n] =& {{c1::\Pr[A_1] \cdot \Pr[A_2|A_1] \\ &\cdot \Pr[A_3|A_1 \cap A_2] \cdots \\ &\Pr[A_n|A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}]}} \end{align}\]

Back

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::2._Bedingte_Wahrscheinlichkeiten
Multiplikationssatz: Seien \(A_1, \ldots, A_n\) Ereignisse.

Falls \(\Pr[A_1 \cap \cdots \cap A_n] > 0\), so gilt: \[\begin{align} \Pr[A_1 \cap \cdots \cap A_n] =& {{c1::\Pr[A_1] \cdot \Pr[A_2|A_1] \\ &\cdot \Pr[A_3|A_1 \cap A_2] \cdots \\ &\Pr[A_n|A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}]}} \end{align}\]
Proof: Expand each conditional probability by definition:
\[ \Pr[A_1]\cdot\frac{\Pr[A_1\cap A_2]}{\Pr[A_1]}\cdot\frac{\Pr[A_1\cap A_2\cap A_3]}{\Pr[A_1\cap A_2]}\cdots\frac{\Pr[A_1\cap\cdots\cap A_n]}{\Pr[A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}]}. \]
All intermediate terms cancel (telescoping product), leaving \(\Pr[A_1\cap\cdots\cap A_n]\). \(\square\)

Note: All conditional probabilities are well-defined because \(\Pr[A_1]\ge\Pr[A_1\cap A_2]\ge\cdots>0\). Multiplikationssatz

Beispiel: Geburtstagsproblem
Betrachte einen Raum mit \(m\) Personen.
Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben?
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Seien \(A_1, \ldots, A_n\) Ereignisse. <br><br> Falls \(\Pr[A_1 \cap \cdots \cap A_n] &gt; 0\), so gilt:&nbsp;\[\begin{align} \Pr[A_1 \cap \cdots \cap A_n] =&amp; {{c1::\Pr[A_1] \cdot \Pr[A_2|A_1] \\ &amp;\cdot \Pr[A_3|A_1 \cap A_2] \cdots \\ &amp;\Pr[A_n|A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}]}} \end{align}\] <b>Multiplikationssatz:&nbsp;</b>Seien \(A_1, \ldots, A_n\) Ereignisse. <br><br> Falls \(\Pr[A_1 \cap \cdots \cap A_n] &gt; 0\), so gilt:&nbsp;\[\begin{align} \Pr[A_1 \cap \cdots \cap A_n] =&amp; {{c1::\Pr[A_1] \cdot \Pr[A_2|A_1] \\ &amp;\cdot \Pr[A_3|A_1 \cap A_2] \cdots \\ &amp;\Pr[A_n|A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}]}} \end{align}\]
Extra <b>Multiplikationssatz</b><strong><br><br>Proof:</strong> Expand each conditional probability by definition:<br>\[ \Pr[A_1]\cdot\frac{\Pr[A_1\cap A_2]}{\Pr[A_1]}\cdot\frac{\Pr[A_1\cap A_2\cap A_3]}{\Pr[A_1\cap A_2]}\cdots\frac{\Pr[A_1\cap\cdots\cap A_n]}{\Pr[A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}]}. \]<br>All intermediate terms cancel (telescoping product), leaving \(\Pr[A_1\cap\cdots\cap A_n]\). \(\square\)<br><br>Note: All conditional probabilities are well-defined because \(\Pr[A_1]\ge\Pr[A_1\cap A_2]\ge\cdots&gt;0\). Multiplikationssatz<br><br><b>Beispiel: Geburtstagsproblem</b><br>Betrachte einen Raum mit&nbsp;\(m\)&nbsp;Personen.<br>Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben? <strong>Proof:</strong> Expand each conditional probability by definition:<br>\[ \Pr[A_1]\cdot\frac{\Pr[A_1\cap A_2]}{\Pr[A_1]}\cdot\frac{\Pr[A_1\cap A_2\cap A_3]}{\Pr[A_1\cap A_2]}\cdots\frac{\Pr[A_1\cap\cdots\cap A_n]}{\Pr[A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}]}. \]<br>All intermediate terms cancel (telescoping product), leaving \(\Pr[A_1\cap\cdots\cap A_n]\). \(\square\)<br><br>Note: All conditional probabilities are well-defined because \(\Pr[A_1]\ge\Pr[A_1\cap A_2]\ge\cdots&gt;0\). Multiplikationssatz<br><br><b>Beispiel: Geburtstagsproblem</b><br>Betrachte einen Raum mit&nbsp;\(m\)&nbsp;Personen.<br>Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben?
Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::2._Bedingte_Wahrscheinlichkeiten

Note 9: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: +w)j=/t,NA
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe
Was gilt am Rand des Konvergenzkreises \(|x - a| = R\) einer Potenzreihe?

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe
Was gilt am Rand des Konvergenzkreises \(|x - a| = R\) einer Potenzreihe?
Keine allgemeine Aussage — kommt auf den Einzelfall an:
  • \(\sum \frac{x^n}{n}\): divergiert für \(x = 1\), konvergiert für \(x = -1\) (Leibniz)
  • \(\sum \frac{x^n}{n^2}\): konvergiert für alle \(|x| = 1\) (absolut)
  • \(\sum x^n\): divergiert für alle \(|x| = 1\)

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe
Was gilt auf dem Rand des Konvergenzkreises \(|x - a| = R\) einer Potenzreihe?

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe
Was gilt auf dem Rand des Konvergenzkreises \(|x - a| = R\) einer Potenzreihe?
Keine allgemeine Aussage — kommt auf den Einzelfall an:
  • \(\sum \frac{x^n}{n}\): divergiert für \(x = 1\), konvergiert für \(x = -1\) (Leibniz)
  • \(\sum \frac{x^n}{n^2}\): konvergiert für alle \(|x| = 1\) (absolut)
  • \(\sum x^n\): divergiert für alle \(|x| = 1\)
Field-by-field Comparison
Field Before After
Front Was gilt am Rand des Konvergenzkreises \(|x - a| = R\) einer Potenzreihe? Was gilt auf dem Rand des Konvergenzkreises \(|x - a| = R\) einer Potenzreihe?
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe

Note 10: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: 1cHWc3lNeG
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::2._Properties
Eine divergente Folge kann trotzdem konvergente Teilfolgen besitzen.

Back

ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::2._Properties
Eine divergente Folge kann trotzdem konvergente Teilfolgen besitzen.
Beispiel: 
\(a_n = (-1)^n\) divergiert, aber \(a_{2n} = 1\) und \(a_{2n+1} = -1\) konvergieren.

Umkehrung: 
Eine Folge konvergiert gegen \(L\) genau dann, wenn jede Teilfolge gegen \(L\) konvergiert.

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::2._Properties
Eine divergente Folge kann trotzdem konvergente Teilfolgen besitzen.

Back

ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::2._Properties
Eine divergente Folge kann trotzdem konvergente Teilfolgen besitzen.
Beispiel: \(a_n = (-1)^n\) divergiert, aber \(a_{2n} = 1\) und \(a_{2n+1} = -1\) konvergieren.

Umkehrung: Eine Folge konvergiert gegen \(L\) genau dann, wenn jede Teilfolge gegen \(L\) konvergiert.
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Eine <b>divergente</b> Folge kann trotzdem {{c1::konvergente Teilfolgen besitzen}}. Eine <b>divergente</b> Folge kann {{c1::trotzdem konvergente Teilfolgen besitzen::konvergenz}}.
Extra <b>Beispiel:</b>&nbsp;<br>\(a_n = (-1)^n\)&nbsp;divergiert, aber&nbsp;\(a_{2n} = 1\)&nbsp;und&nbsp;\(a_{2n+1} = -1\)&nbsp;konvergieren.<br><br><b>Umkehrung:</b>&nbsp;<br>Eine Folge konvergiert gegen&nbsp;\(L\)&nbsp;genau dann, wenn jede Teilfolge gegen&nbsp;\(L\)&nbsp;konvergiert. <b>Beispiel:</b>&nbsp;\(a_n = (-1)^n\)&nbsp;divergiert, aber&nbsp;\(a_{2n} = 1\)&nbsp;und&nbsp;\(a_{2n+1} = -1\)&nbsp;konvergieren.<br><br><b>Umkehrung:</b>&nbsp;Eine Folge konvergiert gegen&nbsp;\(L\)&nbsp;genau dann, wenn jede Teilfolge gegen&nbsp;\(L\)&nbsp;konvergiert.
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::2._Properties

Note 11: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: 2cxt#6?hKc
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::1._Ordnung
Wie lautet die Cauchy-Schwarz Ungleichung im euklidischen Raum?

Back

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::1._Ordnung
Wie lautet die Cauchy-Schwarz Ungleichung im euklidischen Raum?
Für alle \(x, y \in \mathbb{R}^n\) gilt:\[|x \cdot y| \leq \|x\| \cdot \|y\|\]

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::1._Ordnung
Cauchy-Schwarz Ungleichung (Euklidischer Raum)

Back

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::1._Ordnung
Cauchy-Schwarz Ungleichung (Euklidischer Raum)
Für alle \(x, y \in \mathbb{R}^n\) gilt:\[|x \cdot y| \leq \|x\| \cdot \|y\|\]
Field-by-field Comparison
Field Before After
Front Wie lautet die Cauchy-Schwarz Ungleichung im euklidischen Raum? Cauchy-Schwarz Ungleichung (Euklidischer Raum)
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::1._Ordnung

Note 12: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: 8dtyguix2F
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen
\(\sum_{k=1}^\infty a_k\) konvergiert, falls die Partialsummenfolge \((S_n)\) gegen einen endlichen Grenzwert \(L < \infty\) konvergiert.

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen
\(\sum_{k=1}^\infty a_k\) konvergiert, falls die Partialsummenfolge \((S_n)\) gegen einen endlichen Grenzwert \(L < \infty\) konvergiert.
In diesem Fall: \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k := \lim_{n\to\infty} S_n = L\)

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen
\(\sum_{k=1}^\infty a_k\) konvergiert, falls  die Partialsummenfolge \((S_n)\) gegen einenendlichen Grenzwert \(L < \infty\) konvergiert.

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen
\(\sum_{k=1}^\infty a_k\) konvergiert, falls  die Partialsummenfolge \((S_n)\) gegen einenendlichen Grenzwert \(L < \infty\) konvergiert.
In diesem Fall: \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k := \lim_{n\to\infty} S_n = L\)
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text \(\sum_{k=1}^\infty a_k\) <b>konvergiert</b>, falls {{c1::die Partialsummenfolge \((S_n)\) gegen einen endlichen Grenzwert \(L &lt; \infty\)}} konvergiert. \(\sum_{k=1}^\infty a_k\) <b>konvergiert</b>, falls&nbsp;&nbsp;{{c1::die Partialsummenfolge \((S_n)\) gegen einenendlichen Grenzwert \(L &lt; \infty\)}} konvergiert.
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen

Note 13: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: ==Fn-80|4a
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien
Wurzelkriterium:
Sei \(\rho = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}\), dann:
  • \(\rho < 1\) \(\implies\) \(\sum a_n\) konvergiert absolut
  • \(\rho > 1\) \(\implies\) \(\sum a_n\) divergiert
  • \(\rho = 1\) \(\implies\) keine Aussage möglich
Proof Included

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien
Wurzelkriterium:
Sei \(\rho = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}\), dann:
  • \(\rho < 1\) \(\implies\) \(\sum a_n\) konvergiert absolut
  • \(\rho > 1\) \(\implies\) \(\sum a_n\) divergiert
  • \(\rho = 1\) \(\implies\) keine Aussage möglich
Proof Included
Wenn Quotientenkriterium versagt (\(\rho=1\)), versagt auch das Wurzelkriterium — aber nicht umgekehrt.

Proof: 
  1. Convergence \(L < 1\)
    1. \(\sum a_n \geq 0\), \(\displaystyle L = \limsup_{n\to\infty} \left| {a_n}^{1/n} \right| < 1\).
    2. Choose \(q\) with \(L < q < 1\). Since \(\limsup \left| {a_n}^{1/n} \right| = L\), there exists \(N\) such that for all \(n \geq N: \left| {a_n}^{1/n} \right| \leq\) \(q \implies \left| a_n \right| \leq q^n\)
    3. So \(\sum_{n=N}^{\infty} \left| a_n \right| \leq\) \(\sum_{n=N}^{\infty} q^n < \infty\) (geometric series, \(q < 1\)).
    4. Hence \(\sum \left| a_n \right|\) converges. (Majorantenkriterium)
  3. Divergence \(L > 1\)
    1. \(\sum a_n \geq 0\), \(\displaystyle L = \limsup_{n\to\infty} \left| {a_n}^{1/n} \right|\) \(> 1\).
    2. Since \(\limsup \left| {a_n}^{1/n} \right| > 1\), there exist infinitely many \(n\) such that: \(\left| {a_n}^{1/n} \right| >\) \(1 \implies |a_n| > 1\)
    3. So \(|a_n| \not\to 0\), hence \(\sum a_n\) diverges.Convergence 

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien
Wurzelkriterium: Sei \(\rho = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}\). Dann:
  • \(\rho < 1\) \(\implies\) \(\sum a_n\) konvergiert absolut
  • \(\rho > 1\) \(\implies\) \(\sum a_n\) divergiert
  • \(\rho = 1\) \(\implies\) keine Aussage möglich

Proof Included

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien
Wurzelkriterium: Sei \(\rho = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}\). Dann:
  • \(\rho < 1\) \(\implies\) \(\sum a_n\) konvergiert absolut
  • \(\rho > 1\) \(\implies\) \(\sum a_n\) divergiert
  • \(\rho = 1\) \(\implies\) keine Aussage möglich

Proof Included
Wenn Quotientenkriterium versagt (\(\rho=1\)), versagt auch das Wurzelkriterium — aber nicht umgekehrt.

Proof: 
  1. Convergence \(L < 1\)
    1. \(\sum a_n \geq 0\), \(\displaystyle L = \limsup_{n\to\infty} \left| {a_n}^{1/n} \right| < 1\).
    2. Choose \(q\) with \(L < q < 1\). Since \(\limsup \left| {a_n}^{1/n} \right| = L\), there exists \(N\) such that for all \(n \geq N: \left| {a_n}^{1/n} \right| \leq\) \(q \implies \left| a_n \right| \leq q^n\)
    3. So \(\sum_{n=N}^{\infty} \left| a_n \right| \leq\) \(\sum_{n=N}^{\infty} q^n < \infty\) (geometric series, \(q < 1\)).
    4. Hence \(\sum \left| a_n \right|\) converges. (Majorantenkriterium)
  3. Divergence \(L > 1\)
    1. \(\sum a_n \geq 0\), \(\displaystyle L = \limsup_{n\to\infty} \left| {a_n}^{1/n} \right|\) \(> 1\).
    2. Since \(\limsup \left| {a_n}^{1/n} \right| > 1\), there exist infinitely many \(n\) such that: \(\left| {a_n}^{1/n} \right| >\) \(1 \implies |a_n| > 1\)
    3. So \(|a_n| \not\to 0\), hence \(\sum a_n\) diverges.Convergence 
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Wurzelkriterium: <br>Sei \(\rho = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}\), dann:<br><ul><li>\(\rho &lt; 1\)&nbsp;\(\implies\)&nbsp;{{c1::\(\sum a_n\) konvergiert <b>absolut</b>}}</li><li>\(\rho &gt; 1\) \(\implies\)&nbsp;{{c1::\(\sum a_n\) divergiert}}</li><li>\(\rho = 1\) \(\implies\)&nbsp;{{c1::<b>keine Aussage</b> möglich}}<br></li></ul><i>Proof Included</i> Wurzelkriterium: Sei \(\rho = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}\). Dann:<br><ul><li>\(\rho {{c1::&lt; 1}}\) \(\implies\) \(\sum a_n\) konvergiert <b>absolut</b></li><li>\(\rho {{c2::&gt; 1}}\) \(\implies\) \(\sum a_n\) divergiert</li><li>\(\rho {{c3::= 1}}\) \(\implies\) <b>keine Aussage</b> möglich<br><br></li></ul><i>Proof Included</i>
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 14: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: =wRp[:z20n
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::4._Umordnung
Sei \(\sum a_n\) {{c1::bedingt konvergent und \(L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}\)}}.

Dann {{c2::gibt es eine Bijektion \(\phi\) so dass:
\[\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)} = L\]}}

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::4._Umordnung
Sei \(\sum a_n\) {{c1::bedingt konvergent und \(L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}\)}}.

Dann {{c2::gibt es eine Bijektion \(\phi\) so dass:
\[\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)} = L\]}}
(Riemannscher Umordnungssatz für bedingt konvergente Reihen)

Merke: Bedingt konvergente Reihen können durch Umordnung jeden Grenzwert annehmen!

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::4._Umordnung
Riemannscher Umordnungssatz (bedingt konvergente Reihen): Sei \(\sum a_n\) {{c1::bedingt konvergent und \(L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}\)}}.

Dann {{c2::gibt es eine Bijektion \(\phi\) so dass:
\[\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)} = L\]}}

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::4._Umordnung
Riemannscher Umordnungssatz (bedingt konvergente Reihen): Sei \(\sum a_n\) {{c1::bedingt konvergent und \(L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}\)}}.

Dann {{c2::gibt es eine Bijektion \(\phi\) so dass:
\[\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)} = L\]}}
Merke: Bedingt konvergente Reihen können durch Umordnung jeden Grenzwert annehmen!
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Sei&nbsp;\(\sum a_n\)&nbsp;{{c1::<b>bedingt konvergent</b>&nbsp;und&nbsp;\(L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}\)}}.<br><br>Dann {{c2::gibt es eine Bijektion&nbsp;\(\phi\)&nbsp;so dass:<br>\[\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)} = L\]}} <b>Riemannscher</b> Umordnungssatz (bedingt konvergente Reihen): Sei&nbsp;\(\sum a_n\)&nbsp;{{c1::<b>bedingt konvergent</b>&nbsp;und&nbsp;\(L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}\)}}.<br><br>Dann {{c2::gibt es eine Bijektion&nbsp;\(\phi\)&nbsp;so dass:<br>\[\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)} = L\]}}
Extra (Riemannscher&nbsp;Umordnungssatz für bedingt konvergente Reihen)<br><br><b>Merke:</b> Bedingt konvergente Reihen können durch Umordnung <i>jeden</i> Grenzwert annehmen! <b>Merke:</b> Bedingt konvergente Reihen können durch Umordnung <i>jeden</i> Grenzwert annehmen!
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::4._Umordnung

Note 15: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: @#Owv2&S1x
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien
Beim Leibniz-Kriterium gilt die Fehlerabschätzung:
\[|S - S_n| \leq {{c1::a_{n+1} }}\]D.h. der Fehler ist höchstens so gross wie der erste weggelassene Term.

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien
Beim Leibniz-Kriterium gilt die Fehlerabschätzung:
\[|S - S_n| \leq {{c1::a_{n+1} }}\]D.h. der Fehler ist höchstens so gross wie der erste weggelassene Term.
Nützlich zur numerischen Approximation alternierender Reihen.

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien
Beim Leibniz-Kriterium gilt die Fehlerabschätzung:
\[|S - S_n| \leq {{c1::a_{n+1} }}\]
D.h. der Fehler ist höchstens so groß wie der erste weggelassene Term.

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien
Beim Leibniz-Kriterium gilt die Fehlerabschätzung:
\[|S - S_n| \leq {{c1::a_{n+1} }}\]
D.h. der Fehler ist höchstens so groß wie der erste weggelassene Term.
Nützlich zur numerischen Approximation alternierender Reihen.
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Beim Leibniz-Kriterium gilt die Fehlerabschätzung:<br>\[|S - S_n| \leq {{c1::a_{n+1} }}\]D.h. der Fehler ist höchstens so gross wie {{c1::der erste weggelassene Term}}. Beim Leibniz-Kriterium gilt die Fehlerabschätzung:<br>\[|S - S_n| \leq {{c1::a_{n+1} }}\]<br>D.h. der Fehler ist höchstens so groß wie {{c1::der erste weggelassene Term}}.
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 16: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: f&0:W_a*kg
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::3._Eulersche_Formel
\[e^z = e^{a + ib} = {{c1:: e^a \cdot (\cos(b) + i \sin(b)) ::\text{Kartesische Form} }}\]

Back

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::3._Eulersche_Formel
\[e^z = e^{a + ib} = {{c1:: e^a \cdot (\cos(b) + i \sin(b)) ::\text{Kartesische Form} }}\]

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::3._Eulersche_Formel
Addition von komplexen Zahlen in Polarform: \(e^z = e^{a + ib} = e^a \cdot (\cos(b) + i \sin(b)) \)

Back

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::3._Eulersche_Formel
Addition von komplexen Zahlen in Polarform: \(e^z = e^{a + ib} = e^a \cdot (\cos(b) + i \sin(b)) \)
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text \[e^z = e^{a + ib} = {{c1:: e^a \cdot (\cos(b) + i \sin(b)) ::\text{Kartesische Form} }}\] Addition von komplexen Zahlen in Polarform: \(e^z = e^{a + ib} = {{c1:: e^a \cdot (\cos(b) + i \sin(b)) }}\)
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::3._Eulersche_Formel

Note 17: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: k!m:Bg$t#^
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::3._Eulersche_Formel
Eulersche Formel:\[ \sin(t) = {{c1:: \frac{e^{it} - e^{-it} }{2i} :: \text{Exponentialform} }}\]

Back

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::3._Eulersche_Formel
Eulersche Formel:\[ \sin(t) = {{c1:: \frac{e^{it} - e^{-it} }{2i} :: \text{Exponentialform} }}\]

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::3._Eulersche_Formel
Eulersche Formel:\[ \sin(t) = {{c1:: \frac{e^{it} - e^{-it} }{2i} :: Exponentialform }}\]

Back

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::3._Eulersche_Formel
Eulersche Formel:\[ \sin(t) = {{c1:: \frac{e^{it} - e^{-it} }{2i} :: Exponentialform }}\]
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Eulersche Formel:\[ \sin(t) = {{c1:: \frac{e^{it} - e^{-it} }{2i} :: \text{Exponentialform} }}\] Eulersche Formel:\[ \sin(t) = {{c1:: \frac{e^{it} - e^{-it} }{2i} :: Exponentialform }}\]
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::3._Eulersche_Formel

Note 18: ETH::2. Semester::PProg

Deck: ETH::2. Semester::PProg
Note Type: Horvath Cloze
GUID: GDDu8@FRW=
added

Previous

Note did not exist

New Note

Front

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::3._Varianz
Die Grösse {{c1::\(\sigma := \sqrt{\operatorname{Var}[X]}\)}} heisst Standardabweichung von \(X\).

Back

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::3._Varianz
Die Grösse {{c1::\(\sigma := \sqrt{\operatorname{Var}[X]}\)}} heisst Standardabweichung von \(X\).
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Die Grösse {{c1::\(\sigma := \sqrt{\operatorname{Var}[X]}\)}} heisst {{c2::Standardabweichung von \(X\)}}.
Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::3._Varianz

Note 19: ETH::2. Semester::PProg

Deck: ETH::2. Semester::PProg
Note Type: Horvath Cloze
GUID: HmM2`t+Bg|
added

Previous

Note did not exist

New Note

Front

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::3._Varianz
Für Die Varianz gilt \[\mathbb{E}[(X - \mu)^2] = {{c1::\sum_{x \in W_X} (x - \mu)^2 \cdot \Pr[X = x]::summenform}}\]

Back

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::3._Varianz
Für Die Varianz gilt \[\mathbb{E}[(X - \mu)^2] = {{c1::\sum_{x \in W_X} (x - \mu)^2 \cdot \Pr[X = x]::summenform}}\]
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Für Die Varianz gilt&nbsp;\[\mathbb{E}[(X - \mu)^2] = {{c1::\sum_{x \in W_X} (x - \mu)^2 \cdot \Pr[X = x]::summenform}}\]<br>
Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::3._Varianz

Note 20: ETH::2. Semester::PProg

Deck: ETH::2. Semester::PProg
Note Type: Horvath Cloze
GUID: P<77mx`t+b
added

Previous

Note did not exist

New Note

Front

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::3._Varianz
Für eine Zufallsvariable \(X\) mit \(\mu = \mathbb{E}[X]\) definieren wir die Varianz \(\operatorname{Var}[X]\) durch \[\operatorname{Var}[X] := {{c1::\mathbb{E}[(X - \mu)^2]}}\]

Back

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::3._Varianz
Für eine Zufallsvariable \(X\) mit \(\mu = \mathbb{E}[X]\) definieren wir die Varianz \(\operatorname{Var}[X]\) durch \[\operatorname{Var}[X] := {{c1::\mathbb{E}[(X - \mu)^2]}}\]
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Für eine Zufallsvariable \(X\) mit \(\mu = \mathbb{E}[X]\) definieren wir die Varianz&nbsp;\(\operatorname{Var}[X]\) durch&nbsp;\[\operatorname{Var}[X] := {{c1::\mathbb{E}[(X - \mu)^2]}}\]
Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::3._Varianz

Note 21: ETH::2. Semester::PProg

Deck: ETH::2. Semester::PProg
Note Type: Horvath Cloze
GUID: gY|BFj@/!$
added

Previous

Note did not exist

New Note

Front

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::3._Varianz
Für eine beliebige Zufallsvariable \(X\) und \(a, b \in \mathbb{R}\) gilt  \[\operatorname{Var}[a \cdot X + b] = {{c1::a^2 \cdot \operatorname{Var}[X]}}\]Proof Included

Back

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::3._Varianz
Für eine beliebige Zufallsvariable \(X\) und \(a, b \in \mathbb{R}\) gilt  \[\operatorname{Var}[a \cdot X + b] = {{c1::a^2 \cdot \operatorname{Var}[X]}}\]Proof Included
Beweis
  • \(\operatorname{Var}[X + b] = \mathbb{E}[(X + b - \mathbb{E}[X + b])^2]\) \(= \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2]\) \(= \operatorname{Var}[X]\) 
  • Mit Hilfe von \(\text{Var}[X] = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2\) erhalten wir \(\operatorname{Var}[a \cdot X] = \mathbb{E}[(aX)^2] - \mathbb{E}[aX]^2\) \(= a^2 \mathbb{E}[X^2] - (a\mathbb{E}[X])^2 = a^2 \cdot \operatorname{Var}[X]\)
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Für eine beliebige Zufallsvariable \(X\) und \(a, b \in \mathbb{R}\) gilt&nbsp; \[\operatorname{Var}[a \cdot X + b] = {{c1::a^2 \cdot \operatorname{Var}[X]}}\]<i>Proof Included</i>
Extra <b>Beweis</b><br><ul><li>\(\operatorname{Var}[X + b] = \mathbb{E}[(X + b - \mathbb{E}[X + b])^2]\) \(= \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2]\) \(= \operatorname{Var}[X]\)&nbsp;</li><li>Mit Hilfe von \(\text{Var}[X] = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2\) erhalten wir \(\operatorname{Var}[a \cdot X] = \mathbb{E}[(aX)^2] - \mathbb{E}[aX]^2\) \(= a^2 \mathbb{E}[X^2] - (a\mathbb{E}[X])^2 = a^2 \cdot \operatorname{Var}[X]\)</li></ul>
Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::3._Varianz

Note 22: ETH::2. Semester::PProg

Deck: ETH::2. Semester::PProg
Note Type: Horvath Cloze
GUID: tZx1g.NSmW
added

Previous

Note did not exist

New Note

Front

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::3._Varianz
Für eine Zufallsvariable \(X\) nennen wir {{c2::\(\mathbb{E}[X^k]\)}} das \(k\)-te Moment

Back

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::3._Varianz
Für eine Zufallsvariable \(X\) nennen wir {{c2::\(\mathbb{E}[X^k]\)}} das \(k\)-te Moment
Der Erwartungswert ist also das erste Moment.
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Für eine Zufallsvariable \(X\) nennen wir {{c2::\(\mathbb{E}[X^k]\)}} {{c1::das \(k\)-te Moment}}
Extra <div>Der Erwartungswert ist also das <strong>erste Moment</strong>.</div>
Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::3._Varianz

Note 23: ETH::2. Semester::PProg

Deck: ETH::2. Semester::PProg
Note Type: Horvath Cloze
GUID: x2l$m4KAK%
added

Previous

Note did not exist

New Note

Front

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::3._Varianz
Für eine beliebige Zufallsvariable \(X\) gilt \[\operatorname{Var}[X] = {{c1::\mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2::\text{linearitaet} }}\]Proof Included

Back

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::3._Varianz
Für eine beliebige Zufallsvariable \(X\) gilt \[\operatorname{Var}[X] = {{c1::\mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2::\text{linearitaet} }}\]Proof Included
Sei \(\mu := \mathbb{E}[X]\).
  • Nach Definition gilt \(\operatorname{Var}[X] = \mathbb{E}[(X - \mu)^2] = \mathbb{E}[X^2 - 2\mu \cdot X + \mu^2]\) 
  • Aus der Linearität des Erwartungswertes (Satz 2.33) folgt \[\mathbb{E}[X^2 - 2\mu \cdot X + \mu^2] = \mathbb{E}[X^2] - 2\mu \cdot \mathbb{E}[X] + \mu^2\]
  • Damit erhalten wir \[\operatorname{Var}[X] = \mathbb{E}[X^2] - 2\mu \cdot \mathbb{E}[X] + \mu^2 = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2\]
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Für eine beliebige Zufallsvariable \(X\) gilt \[\operatorname{Var}[X] = {{c1::\mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2::\text{linearitaet} }}\]<i>Proof Included</i>
Extra Sei \(\mu := \mathbb{E}[X]\).<br><ul><li>Nach Definition gilt \(\operatorname{Var}[X] = \mathbb{E}[(X - \mu)^2] = \mathbb{E}[X^2 - 2\mu \cdot X + \mu^2]\)&nbsp;</li><li>Aus der Linearität des Erwartungswertes (Satz 2.33) folgt&nbsp;\[\mathbb{E}[X^2 - 2\mu \cdot X + \mu^2] = \mathbb{E}[X^2] - 2\mu \cdot \mathbb{E}[X] + \mu^2\]</li><li>Damit erhalten wir&nbsp;\[\operatorname{Var}[X] = \mathbb{E}[X^2] - 2\mu \cdot \mathbb{E}[X] + \mu^2 = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2\]<br></li></ul>
Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen::3._Varianz
↑ Top