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Note 1: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: is0]!/|g|u

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Beweis: Für alle \(a < b\) in \(\mathbb{R}\) existiert ein \(\mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\)

{{c1:: Wähle nach Archimedischem Prinzip \(n \in \mathbb{N}\) so dass \(\frac{1}{n} < b - a\).}}
{{c2:: \({\frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}}\) diese vielfache überdecken ganz \(\mathbb{R}\) in regelmäßigen Abständen von \(\frac{1}{n}\).}}
{{c3::Wähle kleinstes \(m \in \mathbb{Z}\) mit \(\frac{m}{n} > a\) dann gilt \(\frac{m - 1}{n} \le a\) also \[ \frac{m}{n} = \frac{m - 1}{n} + \frac{1}{n} \le a + \frac{1}{n} < a + (b - 1) = b \]}}
{{c4:: Somit ist \(q = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\).}}

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Beweis: Für alle \(a < b\) in \(\mathbb{R}\) existiert ein \(\mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\)

{{c1:: Wähle nach Archimedischem Prinzip \(n \in \mathbb{N}\) so dass \(\frac{1}{n} < b - a\).}}
{{c2:: \({\frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}}\) diese vielfache überdecken ganz \(\mathbb{R}\) in regelmäßigen Abständen von \(\frac{1}{n}\).}}
{{c3::Wähle kleinstes \(m \in \mathbb{Z}\) mit \(\frac{m}{n} > a\) dann gilt \(\frac{m - 1}{n} \le a\) also \[ \frac{m}{n} = \frac{m - 1}{n} + \frac{1}{n} \le a + \frac{1}{n} < a + (b - 1) = b \]}}
{{c4:: Somit ist \(q = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\).}}

After

Front

Beweis: Für alle \(a < b\) in \(\mathbb{R}\) existiert ein \(\mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\)

{{c1:: Wähle nach Archimedischem Prinzip \(n \in \mathbb{N}\) so dass \(\frac{1}{n} < b - a\).}}
{{c2:: \(\frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}\) diese vielfache überdecken ganz \(\mathbb{R}\) in regelmäßigen Abständen von \(\frac{1}{n}\).}}
{{c3::Wähle kleinstes \(m \in \mathbb{Z}\) mit \(\frac{m}{n} > a\) dann gilt \(\frac{m - 1}{n} \le a\) also \[ \frac{m}{n} = \frac{m - 1}{n} + \frac{1}{n} \le a + \frac{1}{n} < a + (b - 1) = b \]}}
{{c4:: Somit ist \(q = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\).}}

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Beweis: Für alle \(a < b\) in \(\mathbb{R}\) existiert ein \(\mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\)

{{c1:: Wähle nach Archimedischem Prinzip \(n \in \mathbb{N}\) so dass \(\frac{1}{n} < b - a\).}}
{{c2:: \(\frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}\) diese vielfache überdecken ganz \(\mathbb{R}\) in regelmäßigen Abständen von \(\frac{1}{n}\).}}
{{c3::Wähle kleinstes \(m \in \mathbb{Z}\) mit \(\frac{m}{n} > a\) dann gilt \(\frac{m - 1}{n} \le a\) also \[ \frac{m}{n} = \frac{m - 1}{n} + \frac{1}{n} \le a + \frac{1}{n} < a + (b - 1) = b \]}}
{{c4:: Somit ist \(q = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\).}}

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Beweis: Für alle \(a < b\) in \(\mathbb{R}\) existiert ein \(\mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\)<br><ul><li>{{c1:: Wähle nach Archimedischem Prinzip \(n \in \mathbb{N}\) so dass \(\frac{1}{n} < b - a\).}}</li><li>{{c2:: \({\frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}}\) diese vielfache überdecken ganz \(\mathbb{R}\) in regelmäßigen Abständen von \(\frac{1}{n}\).}}</li><li>{{c3::Wähle kleinstes \(m \in \mathbb{Z}\) mit \(\frac{m}{n} > a\) dann gilt \(\frac{m - 1}{n} \le a\) also \[ \frac{m}{n} = \frac{m - 1}{n} + \frac{1}{n} \le a + \frac{1}{n} < a + (b - 1) = b \]}}</li><li>{{c4:: Somit ist \(q = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\).}}</li></ul>	Beweis: Für alle \(a < b\) in \(\mathbb{R}\) existiert ein \(\mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\)<br><ol><li>{{c1:: Wähle nach Archimedischem Prinzip \(n \in \mathbb{N}\) so dass \(\frac{1}{n} < b - a\).}}</li><li>{{c2:: \(\frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}\) diese vielfache überdecken ganz \(\mathbb{R}\) in regelmäßigen Abständen von \(\frac{1}{n}\).}}</li><li>{{c3::Wähle kleinstes \(m \in \mathbb{Z}\) mit \(\frac{m}{n} > a\) dann gilt \(\frac{m - 1}{n} \le a\) also \[ \frac{m}{n} = \frac{m - 1}{n} + \frac{1}{n} \le a + \frac{1}{n} < a + (b - 1) = b \]}}</li><li>{{c4:: Somit ist \(q = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\).}}</li></ol>
Extra	~~<ul><li><br></li></ul>~~

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::2._Infimum_Supremum

Note 2: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: lXTKG=dq,E

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In der Polarform wird \(z = a + ib\) als {{c1:: \(r \cdot e^{i \varphi}\)}} dargestellt wo \(|z| = r \ge 0\) und \(\varphi \in (-\pi, \pi]\) der Polarwinkel \(\arg(z)\) (Argument) ist

Back

In der Polarform wird \(z = a + ib\) als {{c1:: \(r \cdot e^{i \varphi}\)}} dargestellt wo \(|z| = r \ge 0\) und \(\varphi \in (-\pi, \pi]\) der Polarwinkel \(\arg(z)\) (Argument) ist

After

Front

In der Polarform wird \(z = a + ib\) als {{c1:: \(r \cdot e^{i \varphi}\)}} dargestellt wo \(|z| = r \ge 0\) und \(\varphi \in (-\pi, \pi]\) der Polarwinkel \(\arg(z)\) (Argument) ist.

Back

In der Polarform wird \(z = a + ib\) als {{c1:: \(r \cdot e^{i \varphi}\)}} dargestellt wo \(|z| = r \ge 0\) und \(\varphi \in (-\pi, \pi]\) der Polarwinkel \(\arg(z)\) (Argument) ist.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	In der Polarform wird \(z = a + ib\) als {{c1:: \(r \cdot e^{i \varphi}\)}} dargestellt wo {{c1:: \(\|z\| = r \ge 0\) und \(\varphi \in (-\pi, \pi]\) der Polarwinkel \(\arg(z)\) (Argument) ist :: Def. r und ~~angle~~ }}	In der Polarform wird \(z = a + ib\) als {{c1:: \(r \cdot e^{i \varphi}\)}} dargestellt wo {{c1:: \(\|z\| = r \ge 0\) und \(\varphi \in (-\pi, \pi]\) der Polarwinkel \(\arg(z)\) (Argument) ist::Def. r und Winkel}}.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::2._Polarform

Note 3: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: oY{~s0cb5-

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Die nicht-reellen Nullstellen eines Polynoms mit reellen Koeffizienten treten in komplex konjugierten Paaren auf.

Back

Die nicht-reellen Nullstellen eines Polynoms mit reellen Koeffizienten treten in komplex konjugierten Paaren auf.

Beispiel: Heißt, wenn \(3 + i4\) eine Wurzel ist, ist es auch \(3 - i4\)!

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Front

Die nicht-reellen Nullstellen eines Polynoms mit reellen Koeffizienten treten in komplex konjugierten Paaren auf.

Back

Die nicht-reellen Nullstellen eines Polynoms mit reellen Koeffizienten treten in komplex konjugierten Paaren auf.

Beispiel: Heißt, wenn \(3 + i4\) eine Wurzel ist, ist es auch \(3 - i4\)!

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	<div>Die <b>nicht-reellen Nullstellen</b> eines Polynoms mit <b>reellen Koeffizienten </b>treten in {{c1::komplex konjugierten Paaren :: spezielle Eigenschaft}} auf.</div>	<div>Die <b>nicht-reellen Nullstellen</b> eines Polynoms mit <b>reellen Koeffizienten </b>treten in {{c1::komplex konjugierten Paaren::spezielle Eigenschaft}} auf.</div>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::5._Komplexe_Polynome