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Note 1: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: !5|iID:vqM

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Before

Front

Eine Potenzreihe $\sum_{k=0}^\infty c_k (x-a)^k$ besitzt einen Konvergenzradius $R$:

$|x - a| < R$: konvergiert absolut
$|x - a| > R$: divergiert
$|x - a| = R$: kommt auf den Einzelfall an

Back

Eine Potenzreihe $\sum_{k=0}^\infty c_k (x-a)^k$ besitzt einen Konvergenzradius $R$:

$|x - a| < R$: konvergiert absolut
$|x - a| > R$: divergiert
$|x - a| = R$: kommt auf den Einzelfall an

After

Front

Eine Potenzreihe $\sum_{k=0}^\infty c_k (x-a)^k$ besitzt einen Konvergenzradius $R$:

$|x - a| < R$: konvergiert absolut
$|x - a| > R$: divergiert
$|x - a| = R$: kommt auf den Einzelfall an

Back

Eine Potenzreihe $\sum_{k=0}^\infty c_k (x-a)^k$ besitzt einen Konvergenzradius $R$:

$|x - a| < R$: konvergiert absolut
$|x - a| > R$: divergiert
$|x - a| = R$: kommt auf den Einzelfall an

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Eine Potenzreihe $\sum_{k=0}^\infty c_k (x-a)^k$ besitzt einen <b>Konvergenzradius</b> $R$:<br><ul><li>$\|x - a\| < R$: {{c1::konvergiert absolut}}</li><li>$\|x - a\| > R$: {{c1::divergiert}}</li><li>$\|x - a\| = R$: {{c1::kommt auf den Einzelfall an}}</li></ul>	Eine Potenzreihe $\sum_{k=0}^\infty c_k (x-a)^k$ besitzt einen <b>Konvergenzradius</b> $R$:<br><ul><li>{{c2::$\|x - a\| < R$}}: {{c1::konvergiert absolut}}</li><li>{{c2::$\|x - a\| > R$}}: {{c1::divergiert}}</li><li>{{c2::$\|x - a\| = R$}}: {{c1::kommt auf den Einzelfall an}}</li></ul>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe

Note 2: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: +!U{GV-1:X

modified

Before

Front

Eine Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ ist definiert als die Folge der Partialsummen $S_n$, wobei: \[S_n = {{c1::\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n}}\]

Back

Eine Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ ist definiert als die Folge der Partialsummen $S_n$, wobei: \[S_n = {{c1::\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n}}\]

Eine Reihe ist ein Symbol für $\lim_{n\to\infty} S_n$ — keine gewöhnliche Summe.

After

Front

Eine Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ ist definiert als die Folge der Partialsummen $S_n$, wobei: \[S_n = {{c2::\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n}}\]

Back

Eine Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ ist definiert als die Folge der Partialsummen $S_n$, wobei: \[S_n = {{c2::\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n}}\]

Eine Reihe ist ein Symbol für $\lim_{n\to\infty} S_n$ — keine gewöhnliche Summe.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Eine <b>Reihe</b> $\sum_{k=1}^\infty a_k$ ist definiert als die Folge der {{c1::Partialsummen $S_n$}}, wobei: \[S_n = {{c1::\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n}}\]	Eine <b>Reihe</b> $\sum_{k=1}^\infty a_k$ ist definiert als die Folge der {{c1::Partialsummen $S_n$}}, wobei: \[S_n = {{c2::\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n}}\]

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen

Note 3: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: ,$5trcvO/g

modified

Before

Front

Unbestimme formen

Back

Unbestimme formen

Die Form $\infty - \infty$ ist unbestimmt.

$a_n = n+1,\; b_n = n$: $a_n - b_n = 1 \to 1$
$a_n = 2n,\; b_n = n$: $a_n - b_n = n \to \infty$
$a_n = n,\; b_n = n + \sqrt{n}$: $a_n - b_n \to -\infty$

Grenzwertarithmetik gilt nur bei endlichen Grenzwerten!

After

Front

Form	Umformung	Methode
{{c1::$\dfrac{0}{0}$}}	—	L'Hôpital, kürzen, Taylor
{{c2::$\dfrac{\infty}{\infty}$}}	—	L'Hôpital, führende Terme
$0 \cdot \infty$	{{c3::$\dfrac{0}{1/\infty} = \dfrac{0}{0}$ oder $\dfrac{\infty}{1/0} = \dfrac{\infty}{\infty}$}}	Umschreiben → L'Hôpital
$\infty - \infty$	gemeinsamer Nenner, Konjugat, ausklammern	{{c4::→ $\dfrac{0}{0}$ oder $\dfrac{\infty}{\infty}$}}
$0^0$	{{c5::$e^{0 \cdot \ln 0} = e^{0 \cdot (-\infty)}$}}	Logarithmieren → $0 \cdot \infty$
$\infty^0$	{{c6::$e^{0 \cdot \ln \infty} = e^{0 \cdot \infty}$}}	Logarithmieren → $0 \cdot \infty$
$1^\infty$	{{c7::$e^{\infty \cdot \ln 1} = e^{\infty \cdot 0}$}}	Logarithmieren → $0 \cdot \infty$

Back

Form	Umformung	Methode
{{c1::$\dfrac{0}{0}$}}	—	L'Hôpital, kürzen, Taylor
{{c2::$\dfrac{\infty}{\infty}$}}	—	L'Hôpital, führende Terme
$0 \cdot \infty$	{{c3::$\dfrac{0}{1/\infty} = \dfrac{0}{0}$ oder $\dfrac{\infty}{1/0} = \dfrac{\infty}{\infty}$}}	Umschreiben → L'Hôpital
$\infty - \infty$	gemeinsamer Nenner, Konjugat, ausklammern	{{c4::→ $\dfrac{0}{0}$ oder $\dfrac{\infty}{\infty}$}}
$0^0$	{{c5::$e^{0 \cdot \ln 0} = e^{0 \cdot (-\infty)}$}}	Logarithmieren → $0 \cdot \infty$
$\infty^0$	{{c6::$e^{0 \cdot \ln \infty} = e^{0 \cdot \infty}$}}	Logarithmieren → $0 \cdot \infty$
$1^\infty$	{{c7::$e^{\infty \cdot \ln 1} = e^{\infty \cdot 0}$}}	Logarithmieren → $0 \cdot \infty$

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	~~Unbestimme formen~~	<table style="border-collapse:collapse;width:100%;font-size:0.95em;"> <thead> <tr style="background:#2d2d2d;color:#fff;"> <th style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;">Form</th> <th style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;">Umformung</th> <th style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;">Methode</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;text-align:center;">{{c1::$\dfrac{0}{0}$}}</td> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;">{{c1:: —}}</td> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;">{{c1::L'Hôpital, kürzen, Taylor}}</td> </tr> <tr style="background:#1a1a1a;"> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;text-align:center;">{{c2::$\dfrac{\infty}{\infty}$}}</td> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;">{{c2::—}}</td> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;">{{c2::L'Hôpital, führende Terme}}</td> </tr> <tr> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;text-align:center;">{{c3::$0 \cdot \infty$}}</td> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;">{{c3::$\dfrac{0}{1/\infty} = \dfrac{0}{0}$  oder  $\dfrac{\infty}{1/0} = \dfrac{\infty}{\infty}$}}</td> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;">{{c3::Umschreiben → L'Hôpital}}</td> </tr> <tr style="background:#1a1a1a;"> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;text-align:center;">{{c4::$\infty - \infty$}}</td> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;">{{c4::gemeinsamer Nenner, Konjugat, ausklammern}}</td> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;">{{c4::→ $\dfrac{0}{0}$ oder $\dfrac{\infty}{\infty}$}}</td> </tr> <tr> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;text-align:center;">{{c5::$0^0$}}</td> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;">{{c5::$e^{0 \cdot \ln 0} = e^{0 \cdot (-\infty)}$}}</td> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;">{{c5::Logarithmieren → $0 \cdot \infty$}}</td> </tr> <tr style="background:#1a1a1a;"> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;text-align:center;">{{c6::$\infty^0$}}</td> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;">{{c6::$e^{0 \cdot \ln \infty} = e^{0 \cdot \infty}$}}</td> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;">{{c6::Logarithmieren → $0 \cdot \infty$}}</td> </tr> <tr> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;text-align:center;">{{c7::$1^\infty$}}</td> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;">{{c7::$e^{\infty \cdot \ln 1} = e^{\infty \cdot 0}$}}</td> <td style="padding:8px 12px;border:1px solid #555;">{{c7::Logarithmieren → $0 \cdot \infty$}}</td> </tr> </tbody> </table>
Extra	Die Form $\infty - \infty$ ist <b>unbestimmt</b>.<br><ul><li>$a_n = n+1,\; b_n = n$: $a_n - b_n = 1 \to 1$</li><li>$a_n = 2n,\; b_n = n$: $a_n - b_n = n \to \infty$</li><li>$a_n = n,\; b_n = n + \sqrt{n}$: $a_n - b_n \to -\infty$</li></ul>Grenzwertarithmetik gilt <b>nur bei endlichen Grenzwerten</b>!

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::2._Properties

Note 4: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: 1cHWc3lNeG

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Before

Front

Eine divergente Folge kann trotzdem konvergente Teilfolgen besitzen.

Beispiel: $a_n = (-1)^n$ divergiert, aber $a_{2n} = 1$ und $a_{2n+1} = -1$ konvergieren.

Umkehrung: Eine Folge konvergiert gegen $L$ genau dann, wenn jede Teilfolge gegen $L$ konvergiert.

Back

Eine divergente Folge kann trotzdem konvergente Teilfolgen besitzen.

Beispiel: $a_n = (-1)^n$ divergiert, aber $a_{2n} = 1$ und $a_{2n+1} = -1$ konvergieren.

Umkehrung: Eine Folge konvergiert gegen $L$ genau dann, wenn jede Teilfolge gegen $L$ konvergiert.

After

Front

Eine divergente Folge kann trotzdem konvergente Teilfolgen besitzen.

Back

Eine divergente Folge kann trotzdem konvergente Teilfolgen besitzen.

Beispiel: $a_n = (-1)^n$ divergiert, aber $a_{2n} = 1$ und $a_{2n+1} = -1$ konvergieren.

Umkehrung: Eine Folge konvergiert gegen $L$ genau dann, wenn jede Teilfolge gegen $L$ konvergiert.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Eine <b>divergente</b> Folge kann trotzdem ~~{{c1::~~konvergente Teilfolgen}} besitzen.<br><br><b>Beispiel:</b> $a_n = (-1)^n$ divergiert, aber $a_{2n} = {{c2::1}}$ und $a_{2n+1} = {{c3::-1}}$ konvergieren.<br><br><b>Umkehrung:</b> Eine Folge konvergiert gegen $L$ genau dann, wenn {{c4::jede Teilfolge gegen $L$ konvergiert}}.	Eine <b>divergente</b> Folge kann {{c1::trotzdem konvergente Teilfolgen besitzen::konvergenz}}.
Extra		<b>Beispiel:</b> $a_n = (-1)^n$ divergiert, aber $a_{2n} = 1$ und $a_{2n+1} = -1$ konvergieren.<br><br><b>Umkehrung:</b> Eine Folge konvergiert gegen $L$ genau dann, wenn jede Teilfolge gegen $L$ konvergiert.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::2._Properties

Note 5: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: :{+=c#C^*:

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Before

Front

Quotient- und Wurzelkriterium versagen ($\rho = 1$) bei Reihen vom Typ p-Reihen $\sum 1/n^s$.

In diesem Fall: Verdichtungssatz oder Grenzwertkriterium verwenden.

Back

Quotient- und Wurzelkriterium versagen ($\rho = 1$) bei Reihen vom Typ p-Reihen $\sum 1/n^s$.

In diesem Fall: Verdichtungssatz oder Grenzwertkriterium verwenden.

After

Front

Quotient- und Wurzelkriterium versagen ($\rho = 1$) bei Reihen vom Typ p-Reihen $\sum 1/n^s$.

Back

Quotient- und Wurzelkriterium versagen ($\rho = 1$) bei Reihen vom Typ p-Reihen $\sum 1/n^s$.

In diesem Fall: Verdichtungssatz oder Grenzwertkriterium verwenden.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Quotient- und Wurzelkriterium versagen ($\rho = 1$) bei Reihen vom Typ {{c1::p-Reihen $\sum 1/n^s$}}.~~<br><br>In diesem Fall: {{c2::Verdichtungssatz}} oder {{c3::Grenzwertkriterium}} verwenden.~~	Quotient- und Wurzelkriterium versagen ($\rho = 1$) bei Reihen vom Typ {{c1::p-Reihen $\sum 1/n^s$}}.
Extra		In diesem Fall: Verdichtungssatz oder Grenzwertkriterium verwenden.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 6: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: ==Fn-80|4a

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Before

Front

Wurzelkriterium: Sei $\rho = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}$. Dann:

$\rho < 1$ $\implies$ $\sum a_n$ konvergiert absolut
$\rho > 1$ $\implies$ $\sum a_n$ divergiert
$\rho = 1$ $\implies$ keine Aussage möglich

Proof Included

Back

Wurzelkriterium: Sei $\rho = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}$. Dann:

$\rho < 1$ $\implies$ $\sum a_n$ konvergiert absolut
$\rho > 1$ $\implies$ $\sum a_n$ divergiert
$\rho = 1$ $\implies$ keine Aussage möglich

Proof Included

Wenn Quotientenkriterium versagt ($\rho=1$), versagt auch das Wurzelkriterium — aber nicht umgekehrt.

Proof:

Convergence $L < 1$
1. $\sum a_n \geq 0$, $\displaystyle L = \limsup_{n\to\infty} \left| {a_n}^{1/n} \right| < 1$.
2. Choose $q$ with $L < q < 1$. Since $\limsup \left| {a_n}^{1/n} \right| = L$, there exists $N$ such that for all $n \geq N: \left| {a_n}^{1/n} \right| \leq$ $q \implies \left| a_n \right| \leq q^n$
3. So $\sum_{n=N}^{\infty} \left| a_n \right| \leq$ $\sum_{n=N}^{\infty} q^n < \infty$ (geometric series, $q < 1$).
4. Hence $\sum \left| a_n \right|$ converges. (Majorantenkriterium)
Divergence $L > 1$
1. $\sum a_n \geq 0$, $\displaystyle L = \limsup_{n\to\infty} \left| {a_n}^{1/n} \right|$ $> 1$.
2. Since $\limsup \left| {a_n}^{1/n} \right| > 1$, there exist infinitely many $n$ such that: $\left| {a_n}^{1/n} \right| >$ $1 \implies |a_n| > 1$
3. So $|a_n| \not\to 0$, hence $\sum a_n$ diverges.

After

Front

Wurzelkriterium: Sei $\rho = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}$. Dann:

$\rho < 1$ $\implies$ $\sum a_n$ konvergiert absolut
$\rho > 1$ $\implies$ $\sum a_n$ divergiert
$\rho = 1$ $\implies$ keine Aussage möglich

Proof Included

Back

Wurzelkriterium: Sei $\rho = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}$. Dann:

$\rho < 1$ $\implies$ $\sum a_n$ konvergiert absolut
$\rho > 1$ $\implies$ $\sum a_n$ divergiert
$\rho = 1$ $\implies$ keine Aussage möglich

Proof Included

Wenn Quotientenkriterium versagt ($\rho=1$), versagt auch das Wurzelkriterium — aber nicht umgekehrt.

Proof:

Convergence $L < 1$
1. $\sum a_n \geq 0$, $\displaystyle L = \limsup_{n\to\infty} \left| {a_n}^{1/n} \right| < 1$.
2. Choose $q$ with $L < q < 1$. Since $\limsup \left| {a_n}^{1/n} \right| = L$, there exists $N$ such that for all $n \geq N: \left| {a_n}^{1/n} \right| \leq$ $q \implies \left| a_n \right| \leq q^n$
3. So $\sum_{n=N}^{\infty} \left| a_n \right| \leq$ $\sum_{n=N}^{\infty} q^n < \infty$ (geometric series, $q < 1$).
4. Hence $\sum \left| a_n \right|$ converges. (Majorantenkriterium)
Divergence $L > 1$
1. $\sum a_n \geq 0$, $\displaystyle L = \limsup_{n\to\infty} \left| {a_n}^{1/n} \right|$ $> 1$.
2. Since $\limsup \left| {a_n}^{1/n} \right| > 1$, there exist infinitely many $n$ such that: $\left| {a_n}^{1/n} \right| >$ $1 \implies |a_n| > 1$
3. So $|a_n| \not\to 0$, hence $\sum a_n$ diverges.Convergence

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Extra	Wenn Quotientenkriterium versagt ($\rho=1$), versagt auch das Wurzelkriterium — aber <b>nicht umgekehrt</b>.<br><div><div><br></div></div><div><div><strong>Proof:</strong> </div><ol> <li> ~~<div></div></li><li><div>Convergence $<span style="white-space: pre;">L < 1$</span></div~~> <ol> <li>$\sum a_n \geq 0$, $\displaystyle L = \limsup_{n\to\infty} \left\| {a_n}^{1/n} \right\| < 1$.</li> <li>Choose $q$ with $L < q < 1$. Since $\limsup \left\| {a_n}^{1/n} \right\| = L$, there exists $N$ such that for all $n \geq N: \left\| {a_n}^{1/n} \right\| \leq$ $q \implies \left\| a_n \right\| \leq q^n$</li> <li>So $\sum_{n=N}^{\infty} \left\| a_n \right\| \leq$ $\sum_{n=N}^{\infty} q^n < \infty$ (geometric series, $q < 1$).</li> <li>Hence $\sum \left\| a_n \right\|$ converges. (Majorantenkriterium)</li> </ol> </li> <li> <div>Divergence $L > 1$</div> <ol> <li>$\sum a_n \geq 0$, $\displaystyle L = \limsup_{n\to\infty} \left\| {a_n}^{1/n} \right\|$ $> 1$.</li> <li>Since $\limsup \left\| {a_n}^{1/n} \right\| > 1$, there exist infinitely many $n$ such that: $\left\| {a_n}^{1/n} \right\| >$ $1 \implies \|a_n\| > 1$</li> <li>So $\|a_n\| \not\to 0$, hence $\sum a_n$ diverges.</li></ol></li></ol></div>	Wenn Quotientenkriterium versagt ($\rho=1$), versagt auch das Wurzelkriterium — aber <b>nicht umgekehrt</b>.<br><div><div><br></div></div><div><div><strong>Proof:</strong> </div><ol> <li>Convergence $L < 1$</li><li> <ol> <li>$\sum a_n \geq 0$, $\displaystyle L = \limsup_{n\to\infty} \left\| {a_n}^{1/n} \right\| < 1$.</li> <li>Choose $q$ with $L < q < 1$. Since $\limsup \left\| {a_n}^{1/n} \right\| = L$, there exists $N$ such that for all $n \geq N: \left\| {a_n}^{1/n} \right\| \leq$ $q \implies \left\| a_n \right\| \leq q^n$</li> <li>So $\sum_{n=N}^{\infty} \left\| a_n \right\| \leq$ $\sum_{n=N}^{\infty} q^n < \infty$ (geometric series, $q < 1$).</li> <li>Hence $\sum \left\| a_n \right\|$ converges. (Majorantenkriterium)</li> </ol> </li> <li> <div>Divergence $L > 1$</div> <ol> <li>$\sum a_n \geq 0$, $\displaystyle L = \limsup_{n\to\infty} \left\| {a_n}^{1/n} \right\|$ $> 1$.</li> <li>Since $\limsup \left\| {a_n}^{1/n} \right\| > 1$, there exist infinitely many $n$ such that: $\left\| {a_n}^{1/n} \right\| >$ $1 \implies \|a_n\| > 1$</li> <li>So $\|a_n\| \not\to 0$, hence $\sum a_n$ diverges.Convergence </li></ol></li></ol></div>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 7: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: =wRp[:z20n

modified

Before

Front

Riemannscher Umordnungssatz (bedingt konvergente Reihen)

Back

Riemannscher Umordnungssatz (bedingt konvergente Reihen)

Sei $\sum a_n$ bedingt konvergent und $L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$.

Dann gibt es eine Bijektion $\phi$ so dass:
\[\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)} = L\]Merke: Bedingt konvergente Reihen können durch Umordnung jeden Grenzwert annehmen!

After

Front

Riemannscher Umordnungssatz (bedingt konvergente Reihen): Sei $\sum a_n$ {{c1::bedingt konvergent und $L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$}}.

Dann {{c2::gibt es eine Bijektion $\phi$ so dass:
\[\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)} = L\]}}

Back

Riemannscher Umordnungssatz (bedingt konvergente Reihen): Sei $\sum a_n$ {{c1::bedingt konvergent und $L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$}}.

Dann {{c2::gibt es eine Bijektion $\phi$ so dass:
\[\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)} = L\]}}

Merke: Bedingt konvergente Reihen können durch Umordnung jeden Grenzwert annehmen!

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Riemannscher Umordnungssatz (bedingt konvergente Reihen)	<b>Riemannscher</b> Umordnungssatz (bedingt konvergente Reihen): Sei $\sum a_n$ {{c1::<b>bedingt konvergent</b> und $L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$}}.<br><br>Dann {{c2::gibt es eine Bijektion $\phi$ so dass:<br>\[\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)} = L\]}}
Extra	~~Sei $\sum a_n$ <b>bedingt konvergent</b> und $L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$.<br><br>Dann gibt es eine Bijektion $\phi$ so dass:<br>\[\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)} = L\]~~<b>Merke:</b> Bedingt konvergente Reihen können durch Umordnung <i>jeden</i> Grenzwert annehmen!	<b>Merke:</b> Bedingt konvergente Reihen können durch Umordnung <i>jeden</i> Grenzwert annehmen!

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::4._Umordnung

Note 8: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: @#Owv2&S1x

modified

Before

Front

Beim Leibniz-Kriterium gilt die Fehlerabschätzung:
\[|S - S_n| \leq a_{n+1}\]
D.h. der Fehler ist höchstens so groß wie der erste weggelassene Term.

Back

Beim Leibniz-Kriterium gilt die Fehlerabschätzung:
\[|S - S_n| \leq a_{n+1}\]
D.h. der Fehler ist höchstens so groß wie der erste weggelassene Term.

Nützlich zur numerischen Approximation alternierender Reihen.

After

Front

Beim Leibniz-Kriterium gilt die Fehlerabschätzung:
\[|S - S_n| \leq {{c1::a_{n+1} }}\]
D.h. der Fehler ist höchstens so groß wie der erste weggelassene Term.

Back

Beim Leibniz-Kriterium gilt die Fehlerabschätzung:
\[|S - S_n| \leq {{c1::a_{n+1} }}\]
D.h. der Fehler ist höchstens so groß wie der erste weggelassene Term.

Nützlich zur numerischen Approximation alternierender Reihen.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Beim Leibniz-Kriterium gilt die Fehlerabschätzung:<br>\[\|S - S_n\| \leq {{c1::a_{n+1}}}\]<br>D.h. der Fehler ist höchstens so groß wie {{c2::der erste weggelassene Term}}.	Beim Leibniz-Kriterium gilt die Fehlerabschätzung:<br>\[\|S - S_n\| \leq {{c1::a_{n+1} }}\]<br>D.h. der Fehler ist höchstens so groß wie {{c1::der erste weggelassene Term}}.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 9: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: @U-YmkA@*:

modified

Before

Front

Cauchy-Verdichtungssatz: Sei $(a_n)$ monoton fallend, $a_n \geq 0$:
\[\sum_{n=0}^\infty a_n \text{ konvergiert} \iff {{c1::\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \text{ konvergiert}}}\]Proof Included

Back

Cauchy-Verdichtungssatz: Sei $(a_n)$ monoton fallend, $a_n \geq 0$:
\[\sum_{n=0}^\infty a_n \text{ konvergiert} \iff {{c1::\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \text{ konvergiert}}}\]Proof Included

Anwendung: $\sum 1/n^s$ für $s > 1$ konvergiert: $\sum 2^n \cdot 2^{-ns} = \sum 2^{n(1-s)}$ geometrisch mit $q = 2^{1-s} < 1$.

Proof

Weil a_n monoton fällt gilt $2^n a_{2^n} \ge a_{2^k + 1} + a_{2^k + 2} + \dots + a_{2^{k + 1} - 1}$.
Wir benutzen das Majorantenkriterium mit\[\begin{align} \sum^n_{k = 0} 2^k a_{2^k} &\ge \sum_{k = 0}^n (a_{2^k + 1} + a_{2^k + 2} + \dots + a_{2^{k + 1} - 1}) = \sum^{2^n + 1}_{j = 1} a_j \\ &\ge \sum_{k = 0}^n 2^k a_{2^{k+1}} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n + 1} 2^k a_{2^k} \end{align}\]
Konvergiert $\sum a_n$ konvergiert auch $(s_n)$ die Folge der Partialsummen und damit auch die Folge der Partialsummen $(s_{2^{n + 1} })$. Damit konvergiert auch die Folge der Partialsummen $(S_{n + 1})$, $S_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{n + 1} 2^k a_{2^k}$.
Und dann konvergiert auch $\sum^\infty 2^k a_{2^k}$ nach dem Majorantenkriterium.

After

Front

Cauchy-Verdichtungssatz: Sei $(a_n)$ monoton fallend, $a_n \geq 0$:
\[\sum_{n=0}^\infty a_n \text{ conv.} \iff {{c1::\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \text{ conv.} }}\]Proof Included

Back

Cauchy-Verdichtungssatz: Sei $(a_n)$ monoton fallend, $a_n \geq 0$:
\[\sum_{n=0}^\infty a_n \text{ conv.} \iff {{c1::\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \text{ conv.} }}\]Proof Included

Anwendung: $\sum 1/n^s$ für $s > 1$ konvergiert: $\sum 2^n \cdot 2^{-ns} = \sum 2^{n(1-s)}$ geometrisch mit $q = 2^{1-s} < 1$.

Proof

Weil a_n monoton fällt gilt $2^n a_{2^n} \ge a_{2^k + 1} + a_{2^k + 2} + \dots + a_{2^{k + 1} - 1}$.
Wir benutzen das Majorantenkriterium mit\[\begin{align} \sum^n_{k = 0} 2^k a_{2^k} &\ge \sum_{k = 0}^n (a_{2^k + 1} + a_{2^k + 2} + \dots + a_{2^{k + 1} - 1}) \\ &= \sum^{2^n + 1}_{j = 1} a_j \\ &\ge \sum_{k = 0}^n 2^k a_{2^{k+1}} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n + 1} 2^k a_{2^k} \end{align}\]
Konvergiert $\sum a_n$ konvergiert auch $(s_n)$ die Folge der Partialsummen und damit auch die Folge der Partialsummen $(s_{2^{n + 1} })$. Damit konvergiert auch die Folge der Partialsummen $(S_{n + 1})$, $S_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{n + 1} 2^k a_{2^k}$.
Und dann konvergiert auch $\sum^\infty 2^k a_{2^k}$ nach dem Majorantenkriterium.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	<b>Cauchy-Verdichtungssatz</b>: Sei $(a_n)$ <b>monoton fallend</b>, $a_n \geq 0$:<br>\[\sum_{n=0}^\infty a_n \text{ konv~~ergiert~~} \iff {{c1::\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \text{ konv~~ergiert}~~}}\]<i>Proof Included</i>	<b>Cauchy-Verdichtungssatz</b>: Sei $(a_n)$ <b>monoton fallend</b>, $a_n \geq 0$:<br>\[\sum_{n=0}^\infty a_n \text{ conv.} \iff {{c1::\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \text{ conv.} }}\]<i>Proof Included</i>
Extra	Anwendung: $\sum 1/n^s$ für $s > 1$ konvergiert: $\sum 2^n \cdot 2^{-ns} = \sum 2^{n(1-s)}$ geometrisch mit $q = 2^{1-s} < 1$.<br><br><div><strong>Proof</strong> </div> <ul> <li>Weil a_n monoton fällt gilt $2^n a_{2^n} \ge a_{2^k + 1} + a_{2^k + 2} + \dots + a_{2^{k + 1} - 1}$.</li> <li>Wir benutzen das Majorantenkriterium mit\[\begin{align} \sum^n_{k = 0} 2^k a_{2^k} &\ge \sum_{k = 0}^n (a_{2^k + 1} + a_{2^k + 2} + \dots + a_{2^{k + 1} - 1}) = \sum^{2^n + 1}_{j = 1} a_j \\ &\ge \sum_{k = 0}^n 2^k a_{2^{k+1}} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n + 1} 2^k a_{2^k} \end{align}\]</li> <li>Konvergiert $\sum a_n$ konvergiert auch $(s_n)$ die Folge der Partialsummen und damit auch die Folge der Partialsummen $(s_{2^{n + 1} })$. Damit konvergiert auch die Folge der Partialsummen $(S_{n + 1})$, $S_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{n + 1} 2^k a_{2^k}$.</li> <li>Und dann konvergiert auch $\sum^\infty 2^k a_{2^k}$ nach dem Majorantenkriterium.</li></ul>	Anwendung: $\sum 1/n^s$ für $s > 1$ konvergiert: $\sum 2^n \cdot 2^{-ns} = \sum 2^{n(1-s)}$ geometrisch mit $q = 2^{1-s} < 1$.<br><br><div><strong>Proof</strong> </div> <ul> <li>Weil a_n monoton fällt gilt $2^n a_{2^n} \ge a_{2^k + 1} + a_{2^k + 2} + \dots + a_{2^{k + 1} - 1}$.</li> <li>Wir benutzen das Majorantenkriterium mit\[\begin{align} \sum^n_{k = 0} 2^k a_{2^k} &\ge \sum_{k = 0}^n (a_{2^k + 1} + a_{2^k + 2} + \dots + a_{2^{k + 1} - 1}) \\ &= \sum^{2^n + 1}_{j = 1} a_j \\ &\ge \sum_{k = 0}^n 2^k a_{2^{k+1}} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n + 1} 2^k a_{2^k} \end{align}\]</li> <li>Konvergiert $\sum a_n$ konvergiert auch $(s_n)$ die Folge der Partialsummen und damit auch die Folge der Partialsummen $(s_{2^{n + 1} })$. Damit konvergiert auch die Folge der Partialsummen $(S_{n + 1})$, $S_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{n + 1} 2^k a_{2^k}$.</li> <li>Und dann konvergiert auch $\sum^\infty 2^k a_{2^k}$ nach dem Majorantenkriterium.</li></ul>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 10: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: J@bX7xcg0D

modified

Before

Front

Absolut konvergente Reihen:\[ | \sum_{n = 0}^\infty a_n | \le \sum_{n = 0}^\infty |a_n| \]

Back

Absolut konvergente Reihen:\[ | \sum_{n = 0}^\infty a_n | \le \sum_{n = 0}^\infty |a_n| \]

(verallgemeinerte Dreiecksungleichung)

After

Front

Absolut konvergente Reihen:\[ | \sum_{n = 0}^\infty a_n | {{c1::\le \sum_{n = 0}^\infty |a_n| }}\]

Back

Absolut konvergente Reihen:\[ | \sum_{n = 0}^\infty a_n | {{c1::\le \sum_{n = 0}^\infty |a_n| }}\]

(verallgemeinerte Dreiecksungleichung)

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Absolut konvergente Reihen:\[ \| \sum_{n = 0}^\infty a_n \| {{c1::\le}} \sum_{n = 0}^\infty \|a_n\| \]<br>	Absolut konvergente Reihen:\[ \| \sum_{n = 0}^\infty a_n \| {{c1::\le \sum_{n = 0}^\infty \|a_n\| }}\]<br>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen

Note 11: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: KYS^r9uI5z

modified

Before

Front

Leibniz-Kriterium (alternierende Reihen)

Proof Sketch included

Back

Leibniz-Kriterium (alternierende Reihen)

Proof Sketch included

Sei $(a_n)$ monoton fallend, $a_n \geq 0$, $\lim a_n = 0$.

Dann konvergiert $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n$.

Fehlerabschätzung: $|S - S_n| \leq a_{n+1}$

Beachte: Liefert i.A. nur bedingte Konvergenz, nicht absolute.

Proof Sketch:

Die Folge der geraden Partialsummen $S_{2n}$ ist monoton wachsend und beschränkt, konvergiert also gegen $L_1$
Die Folge der ungeraden Partialsummen $S_{2n + 1}$ ist monoton fallend und beschränkt, konvergiert also gegen $L_2$
Da aber gilt $S_{2n - 1} - S_{2n} = a_{2n} \rightarrow_\infty = 0 \text{gilt} L_1 - L_2 = 0$ und so konvergieren beide gegen den selben Grenzwert.

After

Front

Leibniz-Kriterium (alternierende Reihen)

Sei $(a_n)$ .
Dann konvergiert ${{c1:: \displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n }}$.

Proof Sketch included

Back

Leibniz-Kriterium (alternierende Reihen)

Sei $(a_n)$ .
Dann konvergiert ${{c1:: \displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n }}$.

Proof Sketch included

Beachte: Liefert i.A. nur bedingte Konvergenz, nicht absolute.

Proof Sketch:

Die Folge der geraden Partialsummen $S_{2n}$ ist monoton wachsend und beschränkt, konvergiert also gegen $L_1$
Die Folge der ungeraden Partialsummen $S_{2n + 1}$ ist monoton fallend und beschränkt, konvergiert also gegen $L_2$
Da aber gilt $S_{2n - 1} - S_{2n} = a_{2n} \rightarrow_\infty = 0 \text{gilt} L_1 - L_2 = 0$ und so konvergieren beide gegen den selben Grenzwert.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front	Leibniz-Kriterium (alternierende Reihen)<br><br><i>Proof Sketch included</i>	Leibniz-Kriterium (alternierende Reihen)<br><br>Sei $(a_n)$ {{c2::<b>monoton fallend</b>, $a_n \geq 0$, $\lim a_n = 0$}}.<br>Dann konvergiert ${{c1:: \displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n }}$.<br><br><i>Proof Sketch included</i>
Back	Sei $(a_n)$ <b>monoton fallend</b>, $a_n \geq 0$, $\lim a_n = 0$.<br><br>Dann konvergiert $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n$.<br><br>Fehlerabschätzung: $\|S - S_n\| \leq a_{n+1}$<br><br><b>Beachte:</b> Liefert i.A. nur <i>bedingte</i> Konvergenz, nicht absolute.<br><br><div><strong>Proof Sketch:</strong></div> <ol> <li>Die Folge der geraden Partialsummen $S_{2n}$ ist monoton wachsend und beschränkt, konvergiert also gegen $L_1$</li> <li>Die Folge der ungeraden Partialsummen $S_{2n + 1}$ ist monoton fallend und beschränkt, konvergiert also gegen $L_2$</li> <li>Da aber gilt $S_{2n - 1} - S_{2n} = a_{2n} \rightarrow_\infty = 0 \text{gilt} L_1 - L_2 = 0$ und so konvergieren beide gegen den selben Grenzwert.</li></ol>	<b>Beachte:</b> Liefert i.A. nur <i>bedingte</i> Konvergenz, nicht absolute.<br><br><div><strong>Proof Sketch:</strong></div> <ol> <li>Die Folge der geraden Partialsummen $S_{2n}$ ist monoton wachsend und beschränkt, konvergiert also gegen $L_1$</li> <li>Die Folge der ungeraden Partialsummen $S_{2n + 1}$ ist monoton fallend und beschränkt, konvergiert also gegen $L_2$</li> <li>Da aber gilt $S_{2n - 1} - S_{2n} = a_{2n} \rightarrow_\infty = 0 \text{gilt} L_1 - L_2 = 0$ und so konvergieren beide gegen den selben Grenzwert.</li></ol>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 12: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: Kxv]M:Ve}-

modified

Before

Front

Formel von Hadamard: Sei $\rho = {{c4:: \limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n} }}$. Dann:
\[R = \begin{cases} 0 & \rho = \infty \\ \rho^{-1} & 0 < \rho < \infty \\ \infty & \rho = 0 \end{cases}\]

Back

Formel von Hadamard: Sei $\rho = {{c4:: \limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n} }}$. Dann:
\[R = \begin{cases} 0 & \rho = \infty \\ \rho^{-1} & 0 < \rho < \infty \\ \infty & \rho = 0 \end{cases}\]

Hadamard = Wurzelkriterium angewendet auf $a_k = c_k z^k$.

After

Front

Formel von Hadamard: Sei $\rho = {{c1:: \limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n} }}$. Dann:
\[R = {{c1:: \begin{cases} 0 & \rho = \infty \\ \rho^{-1} & 0 < \rho < \infty \\ \infty & \rho = 0 \end{cases} }}\]

Back

Formel von Hadamard: Sei $\rho = {{c1:: \limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n} }}$. Dann:
\[R = {{c1:: \begin{cases} 0 & \rho = \infty \\ \rho^{-1} & 0 < \rho < \infty \\ \infty & \rho = 0 \end{cases} }}\]

Proof (Die Hadamard-Formel ist einfach das Wurzelkriterium umgestellt für |z|)

Potenzreihe $\sum c_k z^k = \sum a_k$ für $a_k = c_k z^k$
Wurzelkriterium: $|a_k|^{1/k} = |(c_k)^{1/k}| \ |z|$ - $\limsup |(c_k)^{1/k}| \ |z| = |z| \limsup |(c_k)^{1/k}| < 1$
$\implies |z| < \frac{1}{\limsup |c_k|^{1/k}}$ Konvergiert also genau wenn $|z| < \rho$ also innerhalb des Kreises mit Radius $\rho$.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	<b>Formel von Hadamard</b>: Sei $\rho = {{c4:: \limsup_{n\to\infty} \|c_n\|^{1/n} }}$. Dann:<br>\[R = \begin{cases} ~~{{c1::0}}~~ & \rho = \infty \\ ~~{{c2::~~\rho^{-1}}} & 0 < \rho < \infty \\ ~~{{c3::~~\infty}} & \rho = 0 \end{cases}\]	<b>Formel von Hadamard</b>: Sei $\rho = {{c1:: \limsup_{n\to\infty} \|c_n\|^{1/n} }}$. Dann:<br>\[R = {{c1:: \begin{cases} 0 & \rho = \infty \\ \rho^{-1} & 0 < \rho < \infty \\ \infty & \rho = 0 \end{cases} }}\]
Extra	~~Hadamard = Wurzelkriterium angewendet auf $a_k = c_k z^k$.~~	<b>Proof</b> (Die Hadamard-Formel ist einfach das Wurzelkriterium umgestellt für \|z\|)<br><ul><li>Potenzreihe $\sum c_k z^k = \sum a_k$ für $a_k = c_k z^k$</li><li>Wurzelkriterium: $\|a_k\|^{1/k} = \|(c_k)^{1/k}\| \ \|z\|$ - $\limsup \|(c_k)^{1/k}\| \ \|z\| = \|z\| \limsup \|(c_k)^{1/k}\| < 1$</li><li>$\implies \|z\| < \frac{1}{\limsup \|c_k\|^{1/k}}$ Konvergiert also genau wenn $\|z\| < \rho$ also innerhalb des Kreises mit Radius $\rho$.</li></ul>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe

Note 13: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: MsO@*ohS2C

modified

Before

Front

$\sum a_n$ divergiert sicher, wenn {{c1::$\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$}} (d.h. $(a_n)$ ist keine Nullfolge).

Beachte: $\lim a_n = 0$ ist notwendig für Konvergenz, aber nicht hinreichend.

Back

$\sum a_n$ divergiert sicher, wenn {{c1::$\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$}} (d.h. $(a_n)$ ist keine Nullfolge).

Beachte: $\lim a_n = 0$ ist notwendig für Konvergenz, aber nicht hinreichend.

After

Front

$\sum a_n$ divergiert sicher, wenn {{c1::$\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ (d.h. $(a_n)$ ist keine Nullfolge)}}.

Back

$\sum a_n$ divergiert sicher, wenn {{c1::$\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ (d.h. $(a_n)$ ist keine Nullfolge)}}.

Beachte: $\lim a_n = 0$ ist notwendig für Konvergenz, aber nicht hinreichend.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	$\sum a_n$ divergiert <b>sicher</b>, wenn {{c1::$\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$}} (d.h. $(a_n)$ ist keine Nullfolge).<br>~~<br><b>Beachte:</b> $\lim a_n = 0$ ist {{c2::notwendig}} für Konvergenz, aber <b>nicht hinreichend</b>.~~	$\sum a_n$ divergiert <b>sicher</b>, wenn {{c1::$\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ (d.h. $(a_n)$ ist keine Nullfolge)}}.<br>
Extra		<b>Beachte:</b> $\lim a_n = 0$ ist notwendig für Konvergenz, aber <b>nicht hinreichend</b>.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 14: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: OVw=KsU!rA

modified

Before

Front

Die harmonische Reihe ${{c1:: \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} }}$ divergiert.

Back

Die harmonische Reihe ${{c1:: \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} }}$ divergiert.

Beweis: $\frac{1}{3}+\frac{1}{4} > \frac{1}{2}$, $\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8} > \frac{1}{2}$, usw.

After

Front

Die harmonische Reihe ${{c1:: \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} }}$ divergiert.

Back

Die harmonische Reihe ${{c1:: \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} }}$ divergiert.

Beweis: $\frac{1}{3}+\frac{1}{4} > \frac{1}{2}$, $\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8} > \frac{1}{2}$, usw. Pakete mit $> 1/2$ bilden, dann mit $> 1$ etc...

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Die harmonische Reihe ${{c1:: \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} }}$ {{c1::divergiert}}.	Die harmonische Reihe ${{c1:: \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} }}$ {{c1::divergiert::Konvergenz?}}.
Extra	Beweis: $\frac{1}{3}+\frac{1}{4} > \frac{1}{2}$, $\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8} > \frac{1}{2}$, usw.	Beweis: $\frac{1}{3}+\frac{1}{4} > \frac{1}{2}$, $\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8} > \frac{1}{2}$, usw. Pakete mit $> 1/2$ bilden, dann mit $> 1$ etc...

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen

Note 15: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: a(2w#VKag=

modified

Before

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Grenzwertkriterium (Limitenvergleich)

Back

Grenzwertkriterium (Limitenvergleich)

Seien $a_n, b_n > 0$. Dann:

$\lim \frac{a_n}{b_n} = g$ mit $0 < g < \infty$ $\implies$ $\sum a_n$ und $\sum b_n$ haben dasselbe Konvergenzverhalten
$\lim \frac{a_n}{b_n} = 0$ und $\sum b_n$ konvergiert $\implies$ $\sum a_n$ konvergiert
$\lim \frac{a_n}{b_n} = \infty$ und $\sum b_n$ divergiert $\implies$ $\sum a_n$ divergiert

Beispiel: $\sum \frac{1}{n^2+3n}$: Vergleich mit $1/n^2$, Grenzwert $= 1$ → konvergiert.

Proof Sketch

Ist $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = g$ mit $0 < g < \infty$
So gilt $\frac{a_n}{b_n} \leq g + \varepsilon$ und daher $a_n \leq (g + \varepsilon) \, b_n$ für ein geeignetes $\varepsilon > 0$ und alle genügend großen $n$.
Nach dem Majorantenkriterium folgt aus der Konvergenz von $\sum b_n$ die Konvergenz von $\sum a_n$.

Example $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 3n}$ Wähle die Vergleichsreihe $b_n = \frac{1}{n^2}$. Dann:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 3n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{3}{n}} = 1\] Da $g = 1$ (also $0 < g < \infty$) und $\sum \frac{1}{n^2}$ als konvergente p-Reihe ($p = 2 > 1$) bekannt ist, konvergiert auch $\sum \frac{1}{n^2 + 3n}$ nach dem Grenzwertkriterium.

After

Front

Grenzwertkriterium (Limitenvergleich): Seien $a_n, b_n > 0$. Dann:

{{c1::$\lim \frac{a_n}{b_n} = g$ mit $0 < g < \infty$}} $\implies$ $\sum a_n$ und $\sum b_n$ haben dasselbe Konvergenzverhalten
{{c2::$\lim \frac{a_n}{b_n} = 0$ und $\sum b_n$ konvergiert}} $\implies$ $\sum a_n$ konvergiert
{{c3::$\lim \frac{a_n}{b_n} = \infty$ und $\sum b_n$ divergiert }}$\implies$ $\sum a_n$ divergiert

Back

Grenzwertkriterium (Limitenvergleich): Seien $a_n, b_n > 0$. Dann:

{{c1::$\lim \frac{a_n}{b_n} = g$ mit $0 < g < \infty$}} $\implies$ $\sum a_n$ und $\sum b_n$ haben dasselbe Konvergenzverhalten
{{c2::$\lim \frac{a_n}{b_n} = 0$ und $\sum b_n$ konvergiert}} $\implies$ $\sum a_n$ konvergiert
{{c3::$\lim \frac{a_n}{b_n} = \infty$ und $\sum b_n$ divergiert }}$\implies$ $\sum a_n$ divergiert

Beispiel: $\sum \frac{1}{n^2+3n}$: Vergleich mit $1/n^2$, Grenzwert $= 1$ → konvergiert.

Proof Sketch

Ist $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = g$ mit $0 < g < \infty$
So gilt $\frac{a_n}{b_n} \leq g + \varepsilon$ und daher $a_n \leq (g + \varepsilon) \, b_n$ für ein geeignetes $\varepsilon > 0$ und alle genügend großen $n$.
Nach dem Majorantenkriterium folgt aus der Konvergenz von $\sum b_n$ die Konvergenz von $\sum a_n$.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Grenzwertkriterium (Limitenvergleich)	Grenzwertkriterium (Limitenvergleich): Seien $a_n, b_n > 0$. Dann:<br><ol><li>{{c1::$\lim \frac{a_n}{b_n} = g$ mit $0 < g < \infty$}} $\implies$ $\sum a_n$ und $\sum b_n$ haben <b>dasselbe</b> Konvergenzverhalten</li><li>{{c2::$\lim \frac{a_n}{b_n} = 0$ und $\sum b_n$ konvergiert}} $\implies$ $\sum a_n$ konvergiert</li><li>{{c3::$\lim \frac{a_n}{b_n} = \infty$ und $\sum b_n$ divergiert }}$\implies$ $\sum a_n$ divergiert</li></ol>
Extra	Seien $a_n, b_n > 0$. Dann:<br><ol><li>$\lim \frac{a_n}{b_n} = g$ mit $0 < g < \infty$ $\implies$ $\sum a_n$ und $\sum b_n$ haben <b>dasselbe</b> Konvergenzverhalten</li><li>$\lim \frac{a_n}{b_n} = 0$ und $\sum b_n$ konvergiert $\implies$ $\sum a_n$ konvergiert</li><li>$\lim \frac{a_n}{b_n} = \infty$ und $\sum b_n$ divergiert $\implies$ $\sum a_n$ divergiert</li></ol><b>Beispiel:</b> $\sum \frac{1}{n^2+3n}$: Vergleich mit $1/n^2$, Grenzwert $= 1$ → konvergiert.<br><br><div><div><strong>Proof Sketch</strong></div> <ul> <li>Ist $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = g$ mit $0 < g < \infty$</li> <li>So gilt $\frac{a_n}{b_n} \leq g + \varepsilon$ und daher $a_n \leq (g + \varepsilon) \, b_n$ für ein geeignetes $\varepsilon > 0$ und alle genügend großen $n$. </li> <li>Nach dem <em>Majorantenkriterium</em> folgt aus der Konvergenz von $\sum b_n$ die Konvergenz von $\sum a_n$.</li> </ul> <div><strong>Example</strong> $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 3n}$ Wähle die Vergleichsreihe $b_n = \frac{1}{n^2}$. Dann:<br> \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 3n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{3}{n}} = 1\] Da $g = 1$ (also $0 < g < \infty$) und $\sum \frac{1}{n^2}$ als konvergente p-Reihe ($p = 2 > 1$) bekannt ist, konvergiert auch $\sum \frac{1}{n^2 + 3n}$ nach dem Grenzwertkriterium.</div></div>	<b>Beispiel:</b> $\sum \frac{1}{n^2+3n}$: Vergleich mit $1/n^2$, Grenzwert $= 1$ → konvergiert.<br><br><div><div><strong>Proof Sketch</strong></div> <ul> <li>Ist $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = g$ mit $0 < g < \infty$</li> <li>So gilt $\frac{a_n}{b_n} \leq g + \varepsilon$ und daher $a_n \leq (g + \varepsilon) \, b_n$ für ein geeignetes $\varepsilon > 0$ und alle genügend großen $n$. </li> <li>Nach dem <em>Majorantenkriterium</em> folgt aus der Konvergenz von $\sum b_n$ die Konvergenz von $\sum a_n$.</li></ul></div>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 16: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: a96Uw3jLN`

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Before

Front

Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen (Dirichlet)

Back

Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen (Dirichlet)

Sei $\sum a_n$ absolut konvergent und $\phi: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ eine Bijektion.

Dann konvergiert $\sum a_{\phi(n)}$ ebenfalls absolut und:
\[\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)}\]Merke: Bei absolut konvergenten Reihen darf man frei umordnen.

After

Front

Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen (Dirichlet): Sei $\sum a_n$ {{c1:absolut konvergent und $\phi: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ eine Bijektion}}.

Dann {{c2::konvergiert $\sum a_{\phi(n)}$ ebenfalls absolut und:
\[\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)}\]}}

Back

Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen (Dirichlet): Sei $\sum a_n$ {{c1:absolut konvergent und $\phi: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ eine Bijektion}}.

Dann {{c2::konvergiert $\sum a_{\phi(n)}$ ebenfalls absolut und:
\[\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)}\]}}

Merke: Bei absolut konvergenten Reihen darf man frei umordnen.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen (Dirichlet)	Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen (<b>Dirichlet</b>): Sei $\sum a_n$ {{c1:<b>absolut konvergent</b> und $\phi: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ eine Bijektion}}.<br><br>Dann {{c2::konvergiert $\sum a_{\phi(n)}$ ebenfalls <b>absolut</b> und:<br>\[\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)}\]}}<br>
Extra	Sei $\sum a_n$ <b>absolut konvergent</b> und $\phi: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ eine Bijektion.<br><br>Dann konvergiert $\sum a_{\phi(n)}$ ebenfalls <b>absolut</b> und:<br>\[\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)}\]<b>Merke:</b> Bei absolut konvergenten Reihen darf man frei umordnen.	<b>Merke:</b> Bei absolut konvergenten Reihen darf man frei umordnen.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::4._Umordnung

Note 17: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: f|yr~E%TB^

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New Note

Front

Die Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$, $a_k = b_k - b_{k-1}$ konvergiert gdw. {{c1::$\lim_{n\to\infty} b_n$ existiert}}.

Back

Die Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$, $a_k = b_k - b_{k-1}$ konvergiert gdw. {{c1::$\lim_{n\to\infty} b_n$ existiert}}.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Die Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$, $a_k = b_k - b_{k-1}$ konvergiert gdw. {{c1::$\lim_{n\to\infty} b_n$ existiert}}.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen

Note 18: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: g2t@/gu5sl

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Before

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Teleskopreihe: Sei $a_k = b_k - b_{k-1}$. Dann:
\[\sum_{k=1}^n a_k = b_n - b_0\]
Die Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergiert gdw. {{c2::$\lim_{n\to\infty} b_n$ existiert}}.

Back

Teleskopreihe: Sei $a_k = b_k - b_{k-1}$. Dann:
\[\sum_{k=1}^n a_k = b_n - b_0\]
Die Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergiert gdw. {{c2::$\lim_{n\to\infty} b_n$ existiert}}.

Beispiel: $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1$

After

Front

Teleskopreihe: Sei $a_k = b_k - b_{k-1}$. Dann:
\[\sum_{k=1}^n a_k = b_n - b_0\]

Back

Teleskopreihe: Sei $a_k = b_k - b_{k-1}$. Dann:
\[\sum_{k=1}^n a_k = b_n - b_0\]

Beispiel: $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1$

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Teleskopreihe: Sei $a_k = b_k - b_{k-1}$. Dann:<br>\[\sum_{k=1}^n a_k = {{c1::b_n - b_0}}\]<br>~~Die Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergiert gdw. {{c2::$\lim_{n\to\infty} b_n$ existiert}}.~~	Teleskopreihe: Sei $a_k = b_k - b_{k-1}$. Dann:<br>\[\sum_{k=1}^n a_k = {{c1::b_n - b_0}}\]<br>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen

Note 19: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: sC&G$-vhbU

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Before

Front

Bei einer Potenzreihe $\sum c_k (x - a)^k$ mit Konvergenzradius $R$ konvergiert die Reihe für alle $x$ mit:
\[|x - a| < R\]
Achtung: $R$ misst Abstand vom Entwicklungspunkt $a$, nicht vom Ursprung.

Back

Bei einer Potenzreihe $\sum c_k (x - a)^k$ mit Konvergenzradius $R$ konvergiert die Reihe für alle $x$ mit:
\[|x - a| < R\]
Achtung: $R$ misst Abstand vom Entwicklungspunkt $a$, nicht vom Ursprung.

Beispiel: $\sum c_k (x-3)^k$ mit $R=2$ konvergiert für $x \in (1, 5)$.

After

Front

Bei einer Potenzreihe $\sum c_k (x - a)^k$ mit Konvergenzradius $R$ konvergiert die Reihe für alle $x$ mit:
\[|x - a| < R\]

Back

Bei einer Potenzreihe $\sum c_k (x - a)^k$ mit Konvergenzradius $R$ konvergiert die Reihe für alle $x$ mit:
\[|x - a| < R\]

Achtung: $R$ misst Abstand vom Entwicklungspunkt $a$, nicht vom Ursprung.

Beispiel: $\sum c_k (x-3)^k$ mit $R=2$ konvergiert für $x \in (1, 5)$.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Bei einer Potenzreihe $\sum c_k (x - a)^k$ mit Konvergenzradius $R$ konvergiert die Reihe für alle $x$ mit:<br>\[{{c1::\|x - a\| < R}}\]<br>~~<b>Achtung:</b> $R$ misst {{c2::Abstand vom Entwicklungspunkt $a$, nicht vom Ursprung}}.<br>~~	Bei einer Potenzreihe $\sum c_k (x - a)^k$ mit Konvergenzradius $R$ konvergiert die Reihe für alle $x$ mit:<br>\[{{c1::\|x - a\| < R}}\]<br>
Extra	<b>Beispiel:</b> $\sum c_k (x-3)^k$ mit $R=2$ konvergiert für $x \in (1, 5)$.	<b>Achtung:</b> $R$ misst Abstand vom <b>Entwicklungspunkt</b> $a$, nicht vom Ursprung.<br><br><b>Beispiel:</b> $\sum c_k (x-3)^k$ mit $R=2$ konvergiert für $x \in (1, 5)$.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe

Note 20: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: sRcr3UsY+a

modified

Before

Front

Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beachte: Die Umkehrung gilt nicht — eine beschränkte Folge muss nicht konvergieren (z.B. $(-1)^n$).

Back

Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beachte: Die Umkehrung gilt nicht — eine beschränkte Folge muss nicht konvergieren (z.B. $(-1)^n$).

After

Front

Jede konvergente Folge ist beschränkt (Weierstrass).

Back

Jede konvergente Folge ist beschränkt (Weierstrass).

Beachte: Die Umkehrung gilt nicht — eine beschränkte Folge muss nicht konvergieren (z.B. $(-1)^n$).

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Jede <b>konvergente</b> Folge ist {{c1::beschränkt~~}}.<br><br><b>Beachte:</b> Die Umkehrung gilt {{c2::nicht}} — eine beschränkte Folge muss nicht konvergieren (z.B. $(-1)^n$)~~.	Jede <b>konvergente</b> Folge ist {{c1::beschränkt (Weierstrass)}}.
Extra		<b>Beachte:</b> Die Umkehrung gilt nicht — eine beschränkte Folge muss nicht konvergieren (z.B. $(-1)^n$).

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::2._Properties

Note 21: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: ssLcC6IoOk

modified

Before

Front

Das Majoranten-/Minorantenkriterium gilt nur, wenn beide Folgen nicht-negativ sind: $0 \leq a_n \leq b_n$.

Für alternierende Reihen ist es nicht direkt anwendbar — erst Absolutkonvergenz mit $\sum |a_n|$ zeigen, dann folgt Konvergenz.

Back

Das Majoranten-/Minorantenkriterium gilt nur, wenn beide Folgen nicht-negativ sind: $0 \leq a_n \leq b_n$.

Für alternierende Reihen ist es nicht direkt anwendbar — erst Absolutkonvergenz mit $\sum |a_n|$ zeigen, dann folgt Konvergenz.

Häufiger Fehler: Vergleich von $(-1)^n/n$ mit $1/n$ über Majorante. Das scheitert, da $(-1)^n/n \not\geq 0$.

After

Front

Das Majoranten-/Minorantenkriterium gilt nur, wenn beide Folgen nicht-negativ sind: $0 \leq a_n \leq b_n$.

Back

Das Majoranten-/Minorantenkriterium gilt nur, wenn beide Folgen nicht-negativ sind: $0 \leq a_n \leq b_n$.

Für alternierende Reihen ist es nicht direkt anwendbar, erst Absolutkonvergenz mit $\sum |a_n|$ zeigen, dann folgt Konvergenz.

Häufiger Fehler: Vergleich von $(-1)^n/n$ mit $1/n$ über Majorante. Das scheitert, da $(-1)^n/n \not\geq 0$.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Das Majoranten-/Minorantenkriterium gilt nur, wenn {{c1::beide Folgen nicht-negativ sind: $0 \leq a_n \leq b_n$}}.~~<br><br>Für <b>alternierende</b> Reihen ist es {{c2::nicht direkt anwendbar}} — erst Absolutkonvergenz mit $\sum \|a_n\|$ zeigen, dann folgt Konvergenz.~~	Das Majoranten-/Minorantenkriterium gilt nur, wenn {{c1::beide Folgen nicht-negativ sind: $0 \leq a_n \leq b_n$}}.
Extra	Häufiger Fehler: Vergleich von $(-1)^n/n$ mit $1/n$ über Majorante. Das scheitert, da $(-1)^n/n \not\geq 0$.	Für <b>alternierende</b> Reihen ist es nicht direkt anwendbar, erst Absolutkonvergenz mit $\sum \|a_n\|$ zeigen, dann folgt Konvergenz.<br><br><b>Häufiger Fehler:</b> Vergleich von $(-1)^n/n$ mit $1/n$ über Majorante. Das scheitert, da $(-1)^n/n \not\geq 0$.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 22: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: w)NK`}V9nz

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Before

Front

Falls $\sum a_n$ konvergiert, dann gilt zwingend: $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$.

Umkehrung: $\lim a_n = 0$ impliziert NICHT Konvergenz von $\sum a_n$.

Back

Falls $\sum a_n$ konvergiert, dann gilt zwingend: $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$.

Umkehrung: $\lim a_n = 0$ impliziert NICHT Konvergenz von $\sum a_n$.

Gegenbeispiel: harmonische Reihe $\sum 1/n$

After

Front

Falls $\sum a_n$ konvergiert, dann gilt zwingend: $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$.

Back

Falls $\sum a_n$ konvergiert, dann gilt zwingend: $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$.

Gegenbeispiel: harmonische Reihe $\sum 1/n$

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Falls $\sum a_n$ konvergiert, dann gilt zwingend: $\lim_{n\to\infty} a_n = {{c1::0}}$.~~<br><br><b>Umkehrung:</b> $\lim a_n = 0$ {{c2::impliziert NICHT}} Konvergenz von $\sum a_n$.~~	Falls $\sum a_n$ konvergiert, dann gilt zwingend: $\lim_{n\to\infty} a_n = {{c1::0}}$.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 23: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: z>(#?Mm:.A

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Before

Front

Wenn $\sum^\infty a_n$ konvergent ist gilt:
\[ \sum_{n = 0}^\infty a_n = {{c1::\sum_{n = 0}^{N - 1} + \sum_{n = N}^\infty a_n:: \text{split} }}\]

Back

Wenn $\sum^\infty a_n$ konvergent ist gilt:
\[ \sum_{n = 0}^\infty a_n = {{c1::\sum_{n = 0}^{N - 1} + \sum_{n = N}^\infty a_n:: \text{split} }}\]

After

Front

Wenn $\sum^\infty a_n$ konvergent ist gilt:
\[ \sum_{n = 0}^\infty a_n = {{c1::\sum_{n = 0}^{N - 1} + \sum_{n = N}^\infty a_n:: \text{split sum} }}\]

Back

Wenn $\sum^\infty a_n$ konvergent ist gilt:
\[ \sum_{n = 0}^\infty a_n = {{c1::\sum_{n = 0}^{N - 1} + \sum_{n = N}^\infty a_n:: \text{split sum} }}\]

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Wenn $\sum^\infty a_n$ konvergent ist gilt:<br>\[ \sum_{n = 0}^\infty a_n = {{c1::\sum_{n = 0}^{N - 1} + \sum_{n = N}^\infty a_n:: \text{split} }}\]	Wenn $\sum^\infty a_n$ konvergent ist gilt:<br>\[ \sum_{n = 0}^\infty a_n = {{c1::\sum_{n = 0}^{N - 1} + \sum_{n = N}^\infty a_n:: \text{split sum} }}\]

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen

Note 24: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: {].oPsIfG|

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Before

Front

Exponentialreihe:\[\exp(z) = {{c2:: \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} }}\]
Diese Reihe konvergiert {{c1::absolut für alle $z \in \mathbb{C}$}} (Konvergenzradius $R = \infty$).

Back

Exponentialreihe:\[\exp(z) = {{c2:: \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} }}\]
Diese Reihe konvergiert {{c1::absolut für alle $z \in \mathbb{C}$}} (Konvergenzradius $R = \infty$).

After

Front

Exponentialreihe:\[\exp(z) = {{c1:: \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} }}\]
Diese Reihe konvergiert {{c1::absolut für alle $z \in \mathbb{C}$}} (Konvergenzradius $R = \infty$).

Back

Exponentialreihe:\[\exp(z) = {{c1:: \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} }}\]
Diese Reihe konvergiert {{c1::absolut für alle $z \in \mathbb{C}$}} (Konvergenzradius $R = \infty$).

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Exponentialreihe:\[\exp(z) = {{c2:: \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} }}\]<br>Diese Reihe konvergiert {{c1::absolut für alle $z \in \mathbb{C}$}} (Konvergenzradius $R = \infty$).	Exponentialreihe:\[\exp(z) = {{c1:: \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} }}\]<br>Diese Reihe konvergiert {{c1::absolut für alle $z \in \mathbb{C}$}} (Konvergenzradius $R = \infty$).

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen

Note 25: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: }3LSktDYts

modified

Before

Front

Die Riemansche-Zeta Funktion Reihe $\displaystyle\zeta(s) = {{c1:: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} }}$ konvergiert für s > 1 und divergiert für s $\leq 1$.

Back

Die Riemansche-Zeta Funktion Reihe $\displaystyle\zeta(s) = {{c1:: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} }}$ konvergiert für s > 1 und divergiert für s $\leq 1$.

Oft als Referenzreihe im Vergleichssatz nützlich (wenn Wurzel/Quotient versagen).

After

Front

Die Riemansche-Zeta Funktion Reihe $\displaystyle\zeta(s) = {{c1:: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} }}$ konvergiert für s > 1 und divergiert für s $\leq 1$.

Back

Die Riemansche-Zeta Funktion Reihe $\displaystyle\zeta(s) = {{c1:: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} }}$ konvergiert für s > 1 und divergiert für s $\leq 1$.

Oft als Referenzreihe im Vergleichssatz nützlich (wenn Wurzel/Quotient versagen).

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Die Riemansche-Zeta Funktion Reihe $\displaystyle\zeta(s) = {{c1:: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} }}$ konvergiert für {{c1::s > 1}} und divergiert für {{c2::s $\leq 1$}}.	Die Riemansche-Zeta Funktion Reihe $\displaystyle\zeta(s) = {{c1:: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} }}$ konvergiert für {{c1::s > 1}} und divergiert für {{c1::s $\leq 1$}}.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen

Note 26: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: }3V6.(tcBx

modified

Before

Front

Die Konvergenz einer Reihe hängt nicht von den ersten $N$ Termen ab. Der Wert der Reihe hängt jedoch schon davon ab.

Back

Die Konvergenz einer Reihe hängt nicht von den ersten $N$ Termen ab. Der Wert der Reihe hängt jedoch schon davon ab.

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^{N-1} a_n + \sum_{n=N}^\infty a_n$

After

Front

Die Konvergenz einer Reihe hängt nicht von den ersten $N$ Termen ab.
Der Wert der Reihe hängt jedoch schon davon ab.

Back

Die Konvergenz einer Reihe hängt nicht von den ersten $N$ Termen ab.
Der Wert der Reihe hängt jedoch schon davon ab.

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^{N-1} a_n + \sum_{n=N}^\infty a_n$

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Die {{c1::<b>Konvergenz</b>}} einer Reihe hängt nicht von den ersten $N$ Termen ab. Der {{c1::<b>Wert</b>}} der Reihe hängt jedoch schon davon ab.	<ul><li>Die {{c1::<b>Konvergenz</b>}} einer Reihe {{c2::hängt nicht von den ersten $N$ Termen ab}}.</li><li>Der {{c1::<b>Wert</b>}} der Reihe {{c2::hängt jedoch schon davon ab}}.</li></ul>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen

Form	Umformung	Methode
{{c1::\(\dfrac{0}{0}\)}}	—	L'Hôpital, kürzen, Taylor
{{c2::\(\dfrac{\infty}{\infty}\)}}	—	L'Hôpital, führende Terme
\(0 \cdot \infty\)	{{c3::\(\dfrac{0}{1/\infty} = \dfrac{0}{0}\) oder \(\dfrac{\infty}{1/0} = \dfrac{\infty}{\infty}\)}}	Umschreiben → L'Hôpital
\(\infty - \infty\)	gemeinsamer Nenner, Konjugat, ausklammern	{{c4::→ \(\dfrac{0}{0}\) oder \(\dfrac{\infty}{\infty}\)}}
\(0^0\)	{{c5::\(e^{0 \cdot \ln 0} = e^{0 \cdot (-\infty)}\)}}	Logarithmieren → \(0 \cdot \infty\)
\(\infty^0\)	{{c6::\(e^{0 \cdot \ln \infty} = e^{0 \cdot \infty}\)}}	Logarithmieren → \(0 \cdot \infty\)
\(1^\infty\)	{{c7::\(e^{\infty \cdot \ln 1} = e^{\infty \cdot 0}\)}}	Logarithmieren → \(0 \cdot \infty\)

Form	Umformung	Methode
{{c1::\(\dfrac{0}{0}\)}}	—	L'Hôpital, kürzen, Taylor
{{c2::\(\dfrac{\infty}{\infty}\)}}	—	L'Hôpital, führende Terme
\(0 \cdot \infty\)	{{c3::\(\dfrac{0}{1/\infty} = \dfrac{0}{0}\) oder \(\dfrac{\infty}{1/0} = \dfrac{\infty}{\infty}\)}}	Umschreiben → L'Hôpital
\(\infty - \infty\)	gemeinsamer Nenner, Konjugat, ausklammern	{{c4::→ \(\dfrac{0}{0}\) oder \(\dfrac{\infty}{\infty}\)}}
\(0^0\)	{{c5::\(e^{0 \cdot \ln 0} = e^{0 \cdot (-\infty)}\)}}	Logarithmieren → \(0 \cdot \infty\)
\(\infty^0\)	{{c6::\(e^{0 \cdot \ln \infty} = e^{0 \cdot \infty}\)}}	Logarithmieren → \(0 \cdot \infty\)
\(1^\infty\)	{{c7::\(e^{\infty \cdot \ln 1} = e^{\infty \cdot 0}\)}}	Logarithmieren → \(0 \cdot \infty\)

Field	Before	After
Text	<b>Cauchy-Verdichtungssatz</b>: Sei \((a_n)\) <b>monoton fallend</b>, \(a_n \geq 0\):<br>\[\sum_{n=0}^\infty a_n \text{ konv~~ergiert~~} \iff {{c1::\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \text{ konv~~ergiert}~~}}\]<i>Proof Included</i>	<b>Cauchy-Verdichtungssatz</b>: Sei \((a_n)\) <b>monoton fallend</b>, \(a_n \geq 0\):<br>\[\sum_{n=0}^\infty a_n \text{ conv.} \iff {{c1::\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \text{ conv.} }}\]<i>Proof Included</i>
Extra	Anwendung: \(\sum 1/n^s\) für \(s > 1\) konvergiert: \(\sum 2^n \cdot 2^{-ns} = \sum 2^{n(1-s)}\) geometrisch mit \(q = 2^{1-s} < 1\).<br><br><div><strong>Proof</strong> </div> <ul> <li>Weil a_n monoton fällt gilt \(2^n a_{2^n} \ge a_{2^k + 1} + a_{2^k + 2} + \dots + a_{2^{k + 1} - 1}\).</li> <li>Wir benutzen das Majorantenkriterium mit\[\begin{align} \sum^n_{k = 0} 2^k a_{2^k} &\ge \sum_{k = 0}^n (a_{2^k + 1} + a_{2^k + 2} + \dots + a_{2^{k + 1} - 1}) = \sum^{2^n + 1}_{j = 1} a_j \\ &\ge \sum_{k = 0}^n 2^k a_{2^{k+1}} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n + 1} 2^k a_{2^k} \end{align}\]</li> <li>Konvergiert \(\sum a_n\) konvergiert auch \((s_n)\) die Folge der Partialsummen und damit auch die Folge der Partialsummen \((s_{2^{n + 1} })\). Damit konvergiert auch die Folge der Partialsummen \((S_{n + 1})\), \(S_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{n + 1} 2^k a_{2^k}\).</li> <li>Und dann konvergiert auch \(\sum^\infty 2^k a_{2^k}\) nach dem Majorantenkriterium.</li></ul>	Anwendung: \(\sum 1/n^s\) für \(s > 1\) konvergiert: \(\sum 2^n \cdot 2^{-ns} = \sum 2^{n(1-s)}\) geometrisch mit \(q = 2^{1-s} < 1\).<br><br><div><strong>Proof</strong> </div> <ul> <li>Weil a_n monoton fällt gilt \(2^n a_{2^n} \ge a_{2^k + 1} + a_{2^k + 2} + \dots + a_{2^{k + 1} - 1}\).</li> <li>Wir benutzen das Majorantenkriterium mit\[\begin{align} \sum^n_{k = 0} 2^k a_{2^k} &\ge \sum_{k = 0}^n (a_{2^k + 1} + a_{2^k + 2} + \dots + a_{2^{k + 1} - 1}) \\ &= \sum^{2^n + 1}_{j = 1} a_j \\ &\ge \sum_{k = 0}^n 2^k a_{2^{k+1}} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n + 1} 2^k a_{2^k} \end{align}\]</li> <li>Konvergiert \(\sum a_n\) konvergiert auch \((s_n)\) die Folge der Partialsummen und damit auch die Folge der Partialsummen \((s_{2^{n + 1} })\). Damit konvergiert auch die Folge der Partialsummen \((S_{n + 1})\), \(S_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{n + 1} 2^k a_{2^k}\).</li> <li>Und dann konvergiert auch \(\sum^\infty 2^k a_{2^k}\) nach dem Majorantenkriterium.</li></ul>

Field	Before	After
Text	<b>Formel von Hadamard</b>: Sei \(\rho = {{c4:: \limsup_{n\to\infty} \|c_n\|^{1/n} }}\). Dann:<br>\[R = \begin{cases} ~~{{c1::0}}~~ & \rho = \infty \\ ~~{{c2::~~\rho^{-1}}} & 0 < \rho < \infty \\ ~~{{c3::~~\infty}} & \rho = 0 \end{cases}\]	<b>Formel von Hadamard</b>: Sei \(\rho = {{c1:: \limsup_{n\to\infty} \|c_n\|^{1/n} }}\). Dann:<br>\[R = {{c1:: \begin{cases} 0 & \rho = \infty \\ \rho^{-1} & 0 < \rho < \infty \\ \infty & \rho = 0 \end{cases} }}\]
Extra	~~Hadamard = Wurzelkriterium angewendet auf \(a_k = c_k z^k\).~~	<b>Proof</b> (Die Hadamard-Formel ist einfach das Wurzelkriterium umgestellt für \|z\|)<br><ul><li>Potenzreihe \(\sum c_k z^k = \sum a_k\) für \(a_k = c_k z^k\)</li><li>Wurzelkriterium: \(\|a_k\|^{1/k} = \|(c_k)^{1/k}\| \ \|z\|\) - \(\limsup \|(c_k)^{1/k}\| \ \|z\| = \|z\| \limsup \|(c_k)^{1/k}\| < 1\)</li><li>\(\implies \|z\| < \frac{1}{\limsup \|c_k\|^{1/k}}\) Konvergiert also genau wenn \(\|z\| < \rho\) also innerhalb des Kreises mit Radius \(\rho\).</li></ul>

Field	Before	After
Text	\(\sum a_n\) divergiert <b>sicher</b>, wenn {{c1::\(\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0\)}} (d.h. \((a_n)\) ist keine Nullfolge).<br>~~<br><b>Beachte:</b> \(\lim a_n = 0\) ist {{c2::notwendig}} für Konvergenz, aber <b>nicht hinreichend</b>.~~	\(\sum a_n\) divergiert <b>sicher</b>, wenn {{c1::\(\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0\) (d.h. \((a_n)\) ist keine Nullfolge)}}.<br>
Extra		<b>Beachte:</b> \(\lim a_n = 0\) ist notwendig für Konvergenz, aber <b>nicht hinreichend</b>.

Field	Before	After
Text	Die harmonische Reihe \({{c1:: \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} }}\) {{c1::divergiert}}.	Die harmonische Reihe \({{c1:: \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} }}\) {{c1::divergiert::Konvergenz?}}.
Extra	Beweis: \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4} > \frac{1}{2}\), \(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8} > \frac{1}{2}\), usw.	Beweis: \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4} > \frac{1}{2}\), \(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8} > \frac{1}{2}\), usw. Pakete mit \(> 1/2\) bilden, dann mit \(> 1\) etc...

Field	Before	After
Text	Bei einer Potenzreihe \(\sum c_k (x - a)^k\) mit Konvergenzradius \(R\) konvergiert die Reihe für alle \(x\) mit:<br>\[{{c1::\|x - a\| < R}}\]<br>~~<b>Achtung:</b> \(R\) misst {{c2::Abstand vom Entwicklungspunkt \(a\), nicht vom Ursprung}}.<br>~~	Bei einer Potenzreihe \(\sum c_k (x - a)^k\) mit Konvergenzradius \(R\) konvergiert die Reihe für alle \(x\) mit:<br>\[{{c1::\|x - a\| < R}}\]<br>
Extra	<b>Beispiel:</b> \(\sum c_k (x-3)^k\) mit \(R=2\) konvergiert für \(x \in (1, 5)\).	<b>Achtung:</b> \(R\) misst Abstand vom <b>Entwicklungspunkt</b> \(a\), nicht vom Ursprung.<br><br><b>Beispiel:</b> \(\sum c_k (x-3)^k\) mit \(R=2\) konvergiert für \(x \in (1, 5)\).