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Note 1: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: !5|iID:vqM

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Eine Potenzreihe $\sum_{k=0}^\infty c_k (x-a)^k$ besitzt einen Konvergenzradius $R$:

$|x - a| < R$: konvergiert absolut
$|x - a| > R$: divergiert
$|x - a| = R$: kommt auf den Einzelfall an

Back

Eine Potenzreihe $\sum_{k=0}^\infty c_k (x-a)^k$ besitzt einen Konvergenzradius $R$:

$|x - a| < R$: konvergiert absolut
$|x - a| > R$: divergiert
$|x - a| = R$: kommt auf den Einzelfall an

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Eine Potenzreihe $\sum_{k=0}^\infty c_k (x-a)^k$ besitzt einen <b>Konvergenzradius</b> $R$:<br><ul><li>$\|x - a\| {{c1::< R}}$: konvergiert absolut</li><li>$\|x - a\| {{c2::> R}}$: divergiert</li><li>$\|x - a\| = R$: {{c3::kommt auf den Einzelfall an}}</li></ul>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe

Note 2: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: !A0RHXv8a]

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Sind $\sum a_n$ und $\sum b_n$ absolut konvergent, so gilt:
\[\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = {{c1::\sum_{n=0}^\infty c_n}}\]und $\sum c_n$ ist ebenfalls absolut konvergent.

Back

Sind $\sum a_n$ und $\sum b_n$ absolut konvergent, so gilt:
\[\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = {{c1::\sum_{n=0}^\infty c_n}}\]und $\sum c_n$ ist ebenfalls absolut konvergent.

Anwendung: Beweis von $\exp(z + w) = \exp(z) \cdot \exp(w)$.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Sind $\sum a_n$ und $\sum b_n$ <b>absolut konvergent</b>, so gilt:<br>\[\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = {{c1::\sum_{n=0}^\infty c_n}}\]und $\sum c_n$ ist ebenfalls {{c2::absolut konvergent}}.
Extra		Anwendung: Beweis von $\exp(z + w) = \exp(z) \cdot \exp(w)$.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::5._Cauchy_Produkt

Note 3: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: &U(TaBb]=-

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Die geometrische Reihe $\sum_{n=0}^\infty q^n$ konvergiert für |q| < 1 und divergiert für |q| $\geq 1$.

Back

Die geometrische Reihe $\sum_{n=0}^\infty q^n$ konvergiert für |q| < 1 und divergiert für |q| $\geq 1$.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Die geometrische Reihe $\sum_{n=0}^\infty q^n$ konvergiert für {{c1::\|q\| < 1}} und divergiert für {{c2::\|q\| $\geq 1$}}.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen

Note 4: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: *tcqC:{y3I

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Die alternierende harmonische Reihe $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium.

Back

Die alternierende harmonische Reihe $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium.

Sie ist bedingt konvergent (konvergiert, aber nicht absolut).

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Die <b>alternierende harmonische Reihe</b> $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ {{c1::konvergiert}} nach {{c1::dem Leibniz-Kriterium}}.
Extra		Sie ist bedingt konvergent (konvergiert, aber nicht absolut).

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen

Note 5: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: +!U{GV-1:X

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Eine Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ ist definiert als die Folge der Partialsummen $(S_n)$, wobei: \[S_n = {{c1::\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n}}\]

Back

Eine Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ ist definiert als die Folge der Partialsummen $(S_n)$, wobei: \[S_n = {{c1::\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n}}\]

Eine Reihe ist ein Symbol für $\lim_{n\to\infty} S_n$ — keine gewöhnliche Summe.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Eine <b>Reihe</b> $\sum_{k=1}^\infty a_k$ ist definiert als die Folge der {{c1::Partialsummen}} $(S_n)$, wobei: \[S_n = {{c1::\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n}}\]
Extra		Eine Reihe ist ein <b>Symbol</b> für $\lim_{n\to\infty} S_n$ — keine gewöhnliche Summe.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen

Note 6: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: +8Dn`Chi.Z

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Ordne nach Wachstum (langsam → schnell): $\log n$, $n^k$, $a^n$ ($a>1$), $n!$, $n^n$

Back

Ordne nach Wachstum (langsam → schnell): $\log n$, $n^k$, $a^n$ ($a>1$), $n!$, $n^n$

\[\log n \ll n^k \ll a^n \ll n! \ll n^n\]

$\lim \frac{n^k}{a^n} = 0$
$\lim \frac{a^n}{n!} = 0$
$\lim \frac{x^n}{n!} = 0$ für jedes feste $x$

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Ordne nach Wachstum (langsam → schnell): $\log n$, $n^k$, $a^n$ ($a>1$), $n!$, $n^n$
Back		\[\log n \ll n^k \ll a^n \ll n! \ll n^n\]<ul><li>$\lim \frac{n^k}{a^n} = 0$</li><li>$\lim \frac{a^n}{n!} = 0$</li><li>$\lim \frac{x^n}{n!} = 0$ für jedes feste $x$</li></ul>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::0._Referenzfolgen

Note 7: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: +w)j=/t,NA

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Was gilt auf dem Rand des Konvergenzkreises $|x - a| = R$ einer Potenzreihe?

Back

Was gilt auf dem Rand des Konvergenzkreises $|x - a| = R$ einer Potenzreihe?

Keine allgemeine Aussage — kommt auf den Einzelfall an:

$\sum \frac{x^n}{n}$: divergiert für $x = 1$, konvergiert für $x = -1$ (Leibniz)
$\sum \frac{x^n}{n^2}$: konvergiert für alle $|x| = 1$ (absolut)
$\sum x^n$: divergiert für alle $|x| = 1$

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Was gilt auf dem Rand des Konvergenzkreises $\|x - a\| = R$ einer Potenzreihe?
Back		Keine allgemeine Aussage — kommt auf den Einzelfall an:<br><ul><li>$\sum \frac{x^n}{n}$: divergiert für $x = 1$, konvergiert für $x = -1$ (Leibniz)</li><li>$\sum \frac{x^n}{n^2}$: konvergiert für alle $\|x\| = 1$ (absolut)</li><li>$\sum x^n$: divergiert für alle $\|x\| = 1$</li></ul>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe

Note 8: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: ,$5trcvO/g

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Warum darf man $\lim(a_n - b_n) = \lim a_n - \lim b_n$ nicht anwenden, wenn beide Grenzwerte $\infty$ sind?

Back

Warum darf man $\lim(a_n - b_n) = \lim a_n - \lim b_n$ nicht anwenden, wenn beide Grenzwerte $\infty$ sind?

Die Form $\infty - \infty$ ist unbestimmt.

$a_n = n+1,\; b_n = n$: $a_n - b_n = 1 \to 1$
$a_n = 2n,\; b_n = n$: $a_n - b_n = n \to \infty$
$a_n = n,\; b_n = n + \sqrt{n}$: $a_n - b_n \to -\infty$

Grenzwertarithmetik gilt nur bei endlichen Grenzwerten!

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Warum darf man $\lim(a_n - b_n) = \lim a_n - \lim b_n$ nicht anwenden, wenn beide Grenzwerte $\infty$ sind?
Back		Die Form $\infty - \infty$ ist <b>unbestimmt</b>.<br><ul><li>$a_n = n+1,\; b_n = n$: $a_n - b_n = 1 \to 1$</li><li>$a_n = 2n,\; b_n = n$: $a_n - b_n = n \to \infty$</li><li>$a_n = n,\; b_n = n + \sqrt{n}$: $a_n - b_n \to -\infty$</li></ul>Grenzwertarithmetik gilt <b>nur bei endlichen Grenzwerten</b>!

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::2._Properties

Note 9: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: ,z5^ljjVx0

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Quotientenkriterium: Sei $a_n \neq 0$ und $\rho = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$.

$\rho < 1$ $\implies$ absolut konvergent
$\rho > 1$ $\implies$ divergent
$\rho = 1$ $\implies$ keine Aussage (z.B. $1/n$ und $1/n^2$ liefern beide $1$)

Back

Quotientenkriterium: Sei $a_n \neq 0$ und $\rho = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$.

$\rho < 1$ $\implies$ absolut konvergent
$\rho > 1$ $\implies$ divergent
$\rho = 1$ $\implies$ keine Aussage (z.B. $1/n$ und $1/n^2$ liefern beide $1$)

Proof:

$\sum a_n \geq 0$, $\displaystyle L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ $< 1$

Choose $q$ with $L < q < 1$. Since $\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \to L$, there exists $N$ such that for all $n \geq N: \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq q$ $\implies$ $\left|a_{N+k}\right|\leq \left|a_N \right|\cdot q^k$
So $\sum_{k=0}^{\infty} \left| a_{N+k} \right|$ $\leq \left| a_N \right| \sum_{k=0}^{\infty} q^k$$= \frac{\left| a_N \right|}{1-q}$$< \infty$ (geometric series, $q < 1$ ).
Hence $\sum a_n$ converges.

$\sum a_n \geq 0, \displaystyle L$ $= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ $> 1$.
1. Choose $q$ with $1 < q < L$. There exists $N$ such that for all $n \geq N: \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ $\geq q > 1$ $\implies \left| a_{N+k} \right|$ $\geq \left| a_N \right| \cdot q^k \to \infty$
2. So $\left| a_n\right| \not\to 0$, hence $\sum a_n$ diverges.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Quotientenkriterium: Sei $a_n \neq 0$ und $\rho = \lim_{n\to\infty} \left\|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\|$.<br><ul><li>$\rho {{c1::< 1}}$ $\implies$ absolut konvergent</li><li>$\rho {{c2::> 1}}$ $\implies$ divergent</li><li>$\rho {{c3::= 1}}$ $\implies$ keine Aussage (z.B. $1/n$ und $1/n^2$ liefern beide $1$)</li></ul>
Extra		<div><strong>Proof:</strong></div> <ol> <li>$\sum a_n \geq 0$, $\displaystyle L = \lim_{n\to\infty} \left\| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\|$ $< 1$</li><ol><li>Choose $q$ with $L < q < 1$. Since $\left\| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\| \to L$, there exists $N$ such that for all $n \geq N: \left\|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right\| \leq q$ $\implies$ $\left\|a_{N+k}\right\|\leq \left\|a_N \right\|\cdot q^k$</li><li>So $\sum_{k=0}^{\infty} \left\| a_{N+k} \right\|$ $\leq \left\| a_N \right\| \sum_{k=0}^{\infty} q^k$$= \frac{\left\| a_N \right\|}{1-q}$$< \infty$ (geometric series, $q < 1$ ).</li> <li>Hence $\sum a_n$ converges. </li> </ol> <li> <div>$\sum a_n \geq 0, \displaystyle L$   $= \lim_{n\to\infty} \left\| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\|$   $> 1$.</div> <ol> <li>Choose $q$ with $1 < q < L$. There exists $N$ such that for all $n \geq N: \left\| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\|$   $\geq q > 1$    $\implies \left\| a_{N+k} \right\|$ $\geq \left\| a_N \right\| \cdot q^k \to \infty$</li> <li>So $\left\| a_n\right\| \not\to 0$, hence $\sum a_n$ diverges.</li></ol></li></ol>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 10: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: 1cHWc3lNeG

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Eine divergente Folge kann trotzdem konvergente Teilfolgen besitzen.

Beispiel: $a_n = (-1)^n$ divergiert, aber $a_{2n} = 1$ und $a_{2n+1} = -1$ konvergieren.

Umkehrung: Eine Folge konvergiert gegen $L$ genau dann, wenn jede Teilfolge gegen $L$ konvergiert.

Back

Eine divergente Folge kann trotzdem konvergente Teilfolgen besitzen.

Beispiel: $a_n = (-1)^n$ divergiert, aber $a_{2n} = 1$ und $a_{2n+1} = -1$ konvergieren.

Umkehrung: Eine Folge konvergiert gegen $L$ genau dann, wenn jede Teilfolge gegen $L$ konvergiert.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Eine <b>divergente</b> Folge kann trotzdem {{c1::konvergente Teilfolgen}} besitzen.<br><br><b>Beispiel:</b> $a_n = (-1)^n$ divergiert, aber $a_{2n} = {{c2::1}}$ und $a_{2n+1} = {{c3::-1}}$ konvergieren.<br><br><b>Umkehrung:</b> Eine Folge konvergiert gegen $L$ genau dann, wenn {{c4::jede Teilfolge gegen $L$ konvergiert}}.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::2._Properties

Note 11: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: 2cxt#6?hKc

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Cauchy-Schwarz Ungleichung (Euklidischer Raum)

Back

Cauchy-Schwarz Ungleichung (Euklidischer Raum)

Für alle $x, y \in \mathbb{R}^n$ gilt:\[|x \cdot y| \leq \|x\| \cdot \|y\|\]

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Cauchy-Schwarz Ungleichung (Euklidischer Raum)
Back		Für alle $x, y \in \mathbb{R}^n$ gilt:\[\|x \cdot y\| \leq \\|x\\| \cdot \\|y\\|\]

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::1._Ordnung

Note 12: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: 8dtyguix2F

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$\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergiert, falls die Partialsummenfolge $(S_n)$ gegen einenendlichen Grenzwert $L < \infty$ konvergiert.

Back

$\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergiert, falls die Partialsummenfolge $(S_n)$ gegen einenendlichen Grenzwert $L < \infty$ konvergiert.

In diesem Fall: $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k := \lim_{n\to\infty} S_n = L$

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		$\sum_{k=1}^\infty a_k$ <b>konvergiert</b>, falls  {{c1::die Partialsummenfolge $(S_n)$ gegen einenendlichen Grenzwert $L < \infty$}} konvergiert.
Extra		In diesem Fall: $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k := \lim_{n\to\infty} S_n = L$

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen

Note 13: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: 9r2wQ@.hKx

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Unterschied Wurzel- vs. Quotientenkriterium?

Back

Unterschied Wurzel- vs. Quotientenkriterium?

Wurzelkriterium ist stärker: wenn Quotient anwendbar, liefert Wurzel mindestens genauso gutes Ergebnis.

Quotientenkriterium einfacher bei Termen mit $n!$ oder Potenzen.

Beide versagen für $\rho = 1$ (z.B. $p$-Reihen).

Merke: Wenn Quotient versagt ($\rho=1$), versagt auch Wurzel.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Unterschied Wurzel- vs. Quotientenkriterium?
Back		<b>Wurzelkriterium</b> ist <b>stärker</b>: wenn Quotient anwendbar, liefert Wurzel mindestens genauso gutes Ergebnis.<br><br><b>Quotientenkriterium</b> einfacher bei Termen mit $n!$ oder Potenzen.<br><br>Beide versagen für $\rho = 1$ (z.B. $p$-Reihen).<br><br><b>Merke:</b> Wenn Quotient versagt ($\rho=1$), versagt auch Wurzel.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 14: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: 9zAJIzkK^6

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Wie beweist man $\exp(z+w) = \exp(z) \cdot \exp(w)$?

Back

Wie beweist man $\exp(z+w) = \exp(z) \cdot \exp(w)$?

Beide Reihen $\sum z^n/n!$ und $\sum w^n/n!$ sind absolut konvergent.

Das Cauchy-Produkt liefert:
\[c_n = \sum_{k=0}^n \frac{z^{n-k}}{(n-k)!} \cdot \frac{w^k}{k!} = \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} z^{n-k} w^k = \frac{(z+w)^n}{n!}\]
Also $\exp(z)\exp(w) = \sum c_n = \sum \frac{(z+w)^n}{n!} = \exp(z+w)$.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Wie beweist man $\exp(z+w) = \exp(z) \cdot \exp(w)$?
Back		Beide Reihen $\sum z^n/n!$ und $\sum w^n/n!$ sind absolut konvergent.<br><br>Das Cauchy-Produkt liefert:<br>\[c_n = \sum_{k=0}^n \frac{z^{n-k}}{(n-k)!} \cdot \frac{w^k}{k!} = \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} z^{n-k} w^k = \frac{(z+w)^n}{n!}\]<br>Also $\exp(z)\exp(w) = \sum c_n = \sum \frac{(z+w)^n}{n!} = \exp(z+w)$.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::5._Cauchy_Produkt

Note 15: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: :{+=c#C^*:

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Quotient- und Wurzelkriterium versagen ($\rho = 1$) bei Reihen vom Typ p-Reihen $\sum 1/n^s$.

In diesem Fall: Verdichtungssatz oder Grenzwertkriterium verwenden.

Back

Quotient- und Wurzelkriterium versagen ($\rho = 1$) bei Reihen vom Typ p-Reihen $\sum 1/n^s$.

In diesem Fall: Verdichtungssatz oder Grenzwertkriterium verwenden.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Quotient- und Wurzelkriterium versagen ($\rho = 1$) bei Reihen vom Typ {{c1::p-Reihen $\sum 1/n^s$}}.<br><br>In diesem Fall: {{c2::Verdichtungssatz}} oder {{c3::Grenzwertkriterium}} verwenden.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 16: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: ==Fn-80|4a

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Wurzelkriterium: Sei $\rho = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}$. Dann:

$\rho < 1$ $\implies$ $\sum a_n$ konvergiert absolut
$\rho > 1$ $\implies$ $\sum a_n$ divergiert
$\rho = 1$ $\implies$ keine Aussage möglich

Proof Included

Back

Wurzelkriterium: Sei $\rho = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}$. Dann:

$\rho < 1$ $\implies$ $\sum a_n$ konvergiert absolut
$\rho > 1$ $\implies$ $\sum a_n$ divergiert
$\rho = 1$ $\implies$ keine Aussage möglich

Proof Included

Wenn Quotientenkriterium versagt ($\rho=1$), versagt auch das Wurzelkriterium — aber nicht umgekehrt.

Proof:

Convergence $L < 1$
1. $\sum a_n \geq 0$, $\displaystyle L = \limsup_{n\to\infty} \left| {a_n}^{1/n} \right| < 1$.
2. Choose $q$ with $L < q < 1$. Since $\limsup \left| {a_n}^{1/n} \right| = L$, there exists $N$ such that for all $n \geq N: \left| {a_n}^{1/n} \right| \leq$ $q \implies \left| a_n \right| \leq q^n$
3. So $\sum_{n=N}^{\infty} \left| a_n \right| \leq$ $\sum_{n=N}^{\infty} q^n < \infty$ (geometric series, $q < 1$).
4. Hence $\sum \left| a_n \right|$ converges. (Majorantenkriterium)
Divergence $L > 1$
1. $\sum a_n \geq 0$, $\displaystyle L = \limsup_{n\to\infty} \left| {a_n}^{1/n} \right|$ $> 1$.
2. Since $\limsup \left| {a_n}^{1/n} \right| > 1$, there exist infinitely many $n$ such that: $\left| {a_n}^{1/n} \right| >$ $1 \implies |a_n| > 1$
3. So $|a_n| \not\to 0$, hence $\sum a_n$ diverges.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Wurzelkriterium: Sei $\rho = \limsup_{n\to\infty} \|a_n\|^{1/n}$. Dann:<br><ul><li>$\rho {{c1::< 1}}$ $\implies$ $\sum a_n$ konvergiert <b>absolut</b></li><li>$\rho {{c2::> 1}}$ $\implies$ $\sum a_n$ divergiert</li><li>$\rho {{c3::= 1}}$ $\implies$ <b>keine Aussage</b> möglich<br><br></li></ul><i>Proof Included</i>
Extra		Wenn Quotientenkriterium versagt ($\rho=1$), versagt auch das Wurzelkriterium — aber <b>nicht umgekehrt</b>.<br><div><div><br></div></div><div><div><strong>Proof:</strong> </div><ol> <li> <div></div></li><li><div>Convergence $<span style="white-space: pre;">L < 1$</span></div> <ol> <li>$\sum a_n \geq 0$, $\displaystyle L = \limsup_{n\to\infty} \left\| {a_n}^{1/n} \right\| < 1$.</li> <li>Choose $q$ with $L < q < 1$. Since $\limsup \left\| {a_n}^{1/n} \right\| = L$, there exists $N$ such that for all $n \geq N: \left\| {a_n}^{1/n} \right\| \leq$ $q \implies \left\| a_n \right\| \leq q^n$</li> <li>So $\sum_{n=N}^{\infty} \left\| a_n \right\| \leq$ $\sum_{n=N}^{\infty} q^n < \infty$ (geometric series, $q < 1$).</li> <li>Hence $\sum \left\| a_n \right\|$ converges. (Majorantenkriterium)</li> </ol> </li> <li> <div>Divergence $L > 1$</div> <ol> <li>$\sum a_n \geq 0$, $\displaystyle L = \limsup_{n\to\infty} \left\| {a_n}^{1/n} \right\|$ $> 1$.</li> <li>Since $\limsup \left\| {a_n}^{1/n} \right\| > 1$, there exist infinitely many $n$ such that: $\left\| {a_n}^{1/n} \right\| >$ $1 \implies \|a_n\| > 1$</li> <li>So $\|a_n\| \not\to 0$, hence $\sum a_n$ diverges.</li></ol></li></ol></div>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 17: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: =wRp[:z20n

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Riemannscher Umordnungssatz (bedingt konvergente Reihen)

Back

Riemannscher Umordnungssatz (bedingt konvergente Reihen)

Sei $\sum a_n$ bedingt konvergent und $L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$.

Dann gibt es eine Bijektion $\phi$ so dass:
\[\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)} = L\]Merke: Bedingt konvergente Reihen können durch Umordnung jeden Grenzwert annehmen!

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Riemannscher Umordnungssatz (bedingt konvergente Reihen)
Back		Sei $\sum a_n$ <b>bedingt konvergent</b> und $L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$.<br><br>Dann gibt es eine Bijektion $\phi$ so dass:<br>\[\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)} = L\]<b>Merke:</b> Bedingt konvergente Reihen können durch Umordnung <i>jeden</i> Grenzwert annehmen!

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::4._Umordnung

Note 18: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: @#Owv2&S1x

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Beim Leibniz-Kriterium gilt die Fehlerabschätzung:
\[|S - S_n| \leq a_{n+1}\]
D.h. der Fehler ist höchstens so groß wie der erste weggelassene Term.

Back

Beim Leibniz-Kriterium gilt die Fehlerabschätzung:
\[|S - S_n| \leq a_{n+1}\]
D.h. der Fehler ist höchstens so groß wie der erste weggelassene Term.

Nützlich zur numerischen Approximation alternierender Reihen.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Beim Leibniz-Kriterium gilt die Fehlerabschätzung:<br>\[\|S - S_n\| \leq {{c1::a_{n+1}}}\]<br>D.h. der Fehler ist höchstens so groß wie {{c2::der erste weggelassene Term}}.
Extra		Nützlich zur numerischen Approximation alternierender Reihen.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 19: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: @0zVayKX4N

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Kann eine Reihe konvergieren, ohne absolut zu konvergieren?

Back

Kann eine Reihe konvergieren, ohne absolut zu konvergieren?

Ja — bedingte Konvergenz.

Beispiel: $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ konvergiert (Leibniz), aber $\sum \frac{1}{n}$ divergiert.

Konsequenz: Bei bedingt konvergenten Reihen darf man nicht umordnen (Riemann'scher Umordnungssatz).

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Kann eine Reihe konvergieren, ohne absolut zu konvergieren?
Back		Ja — <b>bedingte Konvergenz</b>.<br><br>Beispiel: $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ konvergiert (Leibniz), aber $\sum \frac{1}{n}$ divergiert.<br><br><b>Konsequenz:</b> Bei bedingt konvergenten Reihen darf man <b>nicht</b> umordnen (Riemann'scher Umordnungssatz).

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen

Note 20: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: @U-YmkA@*:

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Cauchy-Verdichtungssatz: Sei $(a_n)$ monoton fallend, $a_n \geq 0$:
\[\sum_{n=0}^\infty a_n \text{ konvergiert} \iff {{c1::\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \text{ konvergiert}}}\]Proof Included

Back

Cauchy-Verdichtungssatz: Sei $(a_n)$ monoton fallend, $a_n \geq 0$:
\[\sum_{n=0}^\infty a_n \text{ konvergiert} \iff {{c1::\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \text{ konvergiert}}}\]Proof Included

Anwendung: $\sum 1/n^s$ für $s > 1$ konvergiert: $\sum 2^n \cdot 2^{-ns} = \sum 2^{n(1-s)}$ geometrisch mit $q = 2^{1-s} < 1$.

Proof

Weil a_n monoton fällt gilt $2^n a_{2^n} \ge a_{2^k + 1} + a_{2^k + 2} + \dots + a_{2^{k + 1} - 1}$.
Wir benutzen das Majorantenkriterium mit\[\begin{align} \sum^n_{k = 0} 2^k a_{2^k} &\ge \sum_{k = 0}^n (a_{2^k + 1} + a_{2^k + 2} + \dots + a_{2^{k + 1} - 1}) = \sum^{2^n + 1}_{j = 1} a_j \\ &\ge \sum_{k = 0}^n 2^k a_{2^{k+1}} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n + 1} 2^k a_{2^k} \end{align}\]
Konvergiert $\sum a_n$ konvergiert auch $(s_n)$ die Folge der Partialsummen und damit auch die Folge der Partialsummen $(s_{2^{n + 1} })$. Damit konvergiert auch die Folge der Partialsummen $(S_{n + 1})$, $S_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{n + 1} 2^k a_{2^k}$.
Und dann konvergiert auch $\sum^\infty 2^k a_{2^k}$ nach dem Majorantenkriterium.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		<b>Cauchy-Verdichtungssatz</b>: Sei $(a_n)$ <b>monoton fallend</b>, $a_n \geq 0$:<br>\[\sum_{n=0}^\infty a_n \text{ konvergiert} \iff {{c1::\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \text{ konvergiert}}}\]<i>Proof Included</i>
Extra		Anwendung: $\sum 1/n^s$ für $s > 1$ konvergiert: $\sum 2^n \cdot 2^{-ns} = \sum 2^{n(1-s)}$ geometrisch mit $q = 2^{1-s} < 1$.<br><br><div><strong>Proof</strong> </div> <ul> <li>Weil a_n monoton fällt gilt $2^n a_{2^n} \ge a_{2^k + 1} + a_{2^k + 2} + \dots + a_{2^{k + 1} - 1}$.</li> <li>Wir benutzen das Majorantenkriterium mit\[\begin{align} \sum^n_{k = 0} 2^k a_{2^k} &\ge \sum_{k = 0}^n (a_{2^k + 1} + a_{2^k + 2} + \dots + a_{2^{k + 1} - 1}) = \sum^{2^n + 1}_{j = 1} a_j \\ &\ge \sum_{k = 0}^n 2^k a_{2^{k+1}} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n + 1} 2^k a_{2^k} \end{align}\]</li> <li>Konvergiert $\sum a_n$ konvergiert auch $(s_n)$ die Folge der Partialsummen und damit auch die Folge der Partialsummen $(s_{2^{n + 1} })$. Damit konvergiert auch die Folge der Partialsummen $(S_{n + 1})$, $S_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{n + 1} 2^k a_{2^k}$.</li> <li>Und dann konvergiert auch $\sum^\infty 2^k a_{2^k}$ nach dem Majorantenkriterium.</li></ul>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 21: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: @svi)?I1n]

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Welches Konvergenzkriterium wähle ich wann?

Back

Welches Konvergenzkriterium wähle ich wann?

Notwendiges Kriterium zuerst: $a_n \to 0$? Falls nein → divergiert sofort.
Geometrisch/direkter Vergleich: Vergleichbar mit $q^n$ oder $1/n^s$?
Quotientenkriterium: Terme mit $n!$, $a^n$ oder einfachen Quotienten?
Wurzelkriterium: Terme der Form $(\cdot)^n$ — mindestens so gut wie Quotient.
Leibniz: Alternierende Reihe mit monoton fallenden $|a_n| \to 0$?
Grenzwertkriterium: Ähnelt asymptotisch einer bekannten Reihe?
Verdichtungssatz: Monoton fallende $a_n$ — wenn Quotient/Wurzel $= 1$?
Cauchy-Kriterium: Theoretischer Vollständigkeitsbeweis.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Welches Konvergenzkriterium wähle ich wann?
Back		<ol><li><b>Notwendiges Kriterium zuerst:</b> $a_n \to 0$? Falls nein → divergiert sofort.</li><li><b>Geometrisch/direkter Vergleich:</b> Vergleichbar mit $q^n$ oder $1/n^s$?</li><li><b>Quotientenkriterium:</b> Terme mit $n!$, $a^n$ oder einfachen Quotienten?</li><li><b>Wurzelkriterium:</b> Terme der Form $(\cdot)^n$ — mindestens so gut wie Quotient.</li><li><b>Leibniz:</b> Alternierende Reihe mit monoton fallenden $\|a_n\| \to 0$?</li><li><b>Grenzwertkriterium:</b> Ähnelt asymptotisch einer bekannten Reihe?</li><li><b>Verdichtungssatz:</b> Monoton fallende $a_n$ — wenn Quotient/Wurzel $= 1$?</li><li><b>Cauchy-Kriterium:</b> Theoretischer Vollständigkeitsbeweis.</li></ol>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 22: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: B$gN}}gsw^

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Cauchy-Kriterium:
$\sum a_n$ konvergiert $\iff$ für jedes $\varepsilon > 0$ $\exists N$ so dass für alle $n > m > N$ gilt:
\[{{c1::\left|\sum_{k=m+1}^n a_k\right| = |S_n - S_m| < \varepsilon}}\]Proof Included

Back

Cauchy-Kriterium:
$\sum a_n$ konvergiert $\iff$ für jedes $\varepsilon > 0$ $\exists N$ so dass für alle $n > m > N$ gilt:
\[{{c1::\left|\sum_{k=m+1}^n a_k\right| = |S_n - S_m| < \varepsilon}}\]Proof Included

Direktes Cauchy-Kriterium auf die Partialsummenfolge.

Man kann $\sum_{k = m+1}^n a_k $ auch als $S_n - S_{m} $ schreiben. Und für die Folge $S_n$ gilt dann der Cauchy Satz. Falls also $\exists N \in \mathbb{N}_0$ sodass $\forall n > m > N gilt |S_n - S_m| < \epsilon$, konvergiert die Folge $S_n$.

Die gilt per Annahme und deswegen konvergiert $S_n$. Da die Folge der Partialsummen konvergiert, konvergiert die Reihe.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Cauchy-Kriterium: <br>$\sum a_n$ konvergiert $\iff$ für jedes $\varepsilon > 0$ $\exists N$ so dass für alle $n > m > N$ gilt:<br>\[{{c1::\left\|\sum_{k=m+1}^n a_k\right\| = \|S_n - S_m\| < \varepsilon}}\]<i>Proof Included</i>
Extra		Direktes Cauchy-Kriterium auf die Partialsummenfolge.<br><br><div>Man kann $\sum_{k = m+1}^n a_k $ auch als $S_n - S_{m} $ schreiben. Und für die Folge $S_n$ gilt dann der Cauchy Satz. Falls also $\exists N \in \mathbb{N}_0$ sodass $\forall n > m > N gilt \|S_n - S_m\| < \epsilon$, konvergiert die Folge $S_n$.</div><div> Die gilt per Annahme und deswegen konvergiert $S_n$. Da die Folge der Partialsummen konvergiert, konvergiert die Reihe.</div>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 23: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: Fltu17Nh%(

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Für die geometrische Reihe $\sum_{n=0}^\infty q^n$ gilt $S_n = {{c1:: \frac{1 - q^{n + 1} }{1 - q} }}$

Back

Für die geometrische Reihe $\sum_{n=0}^\infty q^n$ gilt $S_n = {{c1:: \frac{1 - q^{n + 1} }{1 - q} }}$

\[ \begin{align} qS_n &= q + q^2 + \dots + q^{n + 1} \\ S_n - qS_n &= 1 - q^{n + 1} \\ S_n &= \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} \end{align} \]

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Für die geometrische Reihe $\sum_{n=0}^\infty q^n$ gilt $S_n = {{c1:: \frac{1 - q^{n + 1} }{1 - q} }}$
Extra		\[ \begin{align} qS_n &= q + q^2 + \dots + q^{n + 1} \\ S_n - qS_n &= 1 - q^{n + 1} \\ S_n &= \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} \end{align} \]

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen

Note 24: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: Fsw^30o!oG

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Seien $\sum a_n$ und $\sum b_n$ konvergente Reihen, $C \in \mathbb{R}$. Dann gilt:\[\sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) = {{c1::\sum_{n=0}^\infty a_n + \sum_{n=0}^\infty b_n}}\]\[\sum_{n=0}^\infty C \cdot a_n = {{c2::C \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n}}\]

Back

Seien $\sum a_n$ und $\sum b_n$ konvergente Reihen, $C \in \mathbb{R}$. Dann gilt:\[\sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) = {{c1::\sum_{n=0}^\infty a_n + \sum_{n=0}^\infty b_n}}\]\[\sum_{n=0}^\infty C \cdot a_n = {{c2::C \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n}}\]

Gilt nur für konvergente Reihen!

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Seien $\sum a_n$ und $\sum b_n$ {{c3::<b>konvergente</b>}} Reihen, $C \in \mathbb{R}$. Dann gilt:\[\sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) = {{c1::\sum_{n=0}^\infty a_n + \sum_{n=0}^\infty b_n}}\]\[\sum_{n=0}^\infty C \cdot a_n = {{c2::C \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n}}\]
Extra		Gilt nur für <b>konvergente</b> Reihen!

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen

Note 25: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: J2q7Qu4a$(

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Allgemeine Form des Quotientenkriteriums (ohne Grenzwert-Existenz)

Back

Allgemeine Form des Quotientenkriteriums (ohne Grenzwert-Existenz)

Sei $a_n \neq 0$. Dann gilt:

$\limsup \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1$ $\implies$ $\sum a_n$ konvergiert absolut
$\liminf \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| > 1$ $\implies$ $\sum a_n$ divergiert

Achtung: Für Konvergenz braucht man $\limsup < 1$, für Divergenz $\liminf > 1$. Ist $\limsup > 1$ aber $\liminf < 1$, kann trotzdem Konvergenz vorliegen!

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Allgemeine Form des Quotientenkriteriums (ohne Grenzwert-Existenz)
Back		Sei $a_n \neq 0$. Dann gilt:<br><ul><li>$\limsup \left\|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\| < 1$ $\implies$ $\sum a_n$ konvergiert absolut</li><li>$\liminf \left\|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\| > 1$ $\implies$ $\sum a_n$ divergiert</li></ul><b>Achtung:</b> Für Konvergenz braucht man $\limsup < 1$, für Divergenz $\liminf > 1$. Ist $\limsup > 1$ aber $\liminf < 1$, kann trotzdem Konvergenz vorliegen!

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 26: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: J@bX7xcg0D

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Absolut konvergente Reihen:\[ | \sum_{n = 0}^\infty a_n | \le \sum_{n = 0}^\infty |a_n| \]

Back

Absolut konvergente Reihen:\[ | \sum_{n = 0}^\infty a_n | \le \sum_{n = 0}^\infty |a_n| \]

(verallgemeinerte Dreiecksungleichung)

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Absolut konvergente Reihen:\[ \| \sum_{n = 0}^\infty a_n \| {{c1::\le}} \sum_{n = 0}^\infty \|a_n\| \]<br>
Extra		(verallgemeinerte Dreiecksungleichung)

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen

Note 27: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: JUJrK@Y7/&

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Warum darf man bei Doppelreihen nicht einfach die Summationsreihenfolge tauschen?

Back

Warum darf man bei Doppelreihen nicht einfach die Summationsreihenfolge tauschen?

Ohne Voraussetzung kann die Reihenfolge das Ergebnis ändern. Gegenbeispiel:
\[a_{ij} = \begin{cases} 1 & j = i \\ -1 & j = i+1 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}\]

Zeilensummen: jede Zeile $= 0$ → Gesamt $= 0$
Spaltensummen: erste Spalte $= 1$, Rest $= 0$ → Gesamt $= 1$

Bedingung zum Tauschen: $\sum_{i=0}^m \sum_{j=0}^m |a_{ij}| \leq B$ für alle $m$.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Warum darf man bei Doppelreihen nicht einfach die Summationsreihenfolge tauschen?
Back		Ohne Voraussetzung kann die Reihenfolge das Ergebnis ändern. Gegenbeispiel:<br>\[a_{ij} = \begin{cases} 1 & j = i \\ -1 & j = i+1 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}\]<ul><li><b>Zeilensummen:</b> jede Zeile $= 0$ → Gesamt $= 0$</li><li><b>Spaltensummen:</b> erste Spalte $= 1$, Rest $= 0$ → Gesamt $= 1$</li></ul><b>Bedingung zum Tauschen:</b> $\sum_{i=0}^m \sum_{j=0}^m \|a_{ij}\| \leq B$ für alle $m$.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::5._Cauchy_Produkt

Note 28: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: KYS^r9uI5z

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Leibniz-Kriterium (alternierende Reihen)

Proof Sketch included

Back

Leibniz-Kriterium (alternierende Reihen)

Proof Sketch included

Sei $(a_n)$ monoton fallend, $a_n \geq 0$, $\lim a_n = 0$.

Dann konvergiert $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n$.

Fehlerabschätzung: $|S - S_n| \leq a_{n+1}$

Beachte: Liefert i.A. nur bedingte Konvergenz, nicht absolute.

Proof Sketch:

Die Folge der geraden Partialsummen $S_{2n}$ ist monoton wachsend und beschränkt, konvergiert also gegen $L_1$
Die Folge der ungeraden Partialsummen $S_{2n + 1}$ ist monoton fallend und beschränkt, konvergiert also gegen $L_2$
Da aber gilt $S_{2n - 1} - S_{2n} = a_{2n} \rightarrow_\infty = 0 \text{gilt} L_1 - L_2 = 0$ und so konvergieren beide gegen den selben Grenzwert.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Leibniz-Kriterium (alternierende Reihen)<br><br><i>Proof Sketch included</i>
Back		Sei $(a_n)$ <b>monoton fallend</b>, $a_n \geq 0$, $\lim a_n = 0$.<br><br>Dann konvergiert $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n$.<br><br>Fehlerabschätzung: $\|S - S_n\| \leq a_{n+1}$<br><br><b>Beachte:</b> Liefert i.A. nur <i>bedingte</i> Konvergenz, nicht absolute.<br><br><div><strong>Proof Sketch:</strong></div> <ol> <li>Die Folge der geraden Partialsummen $S_{2n}$ ist monoton wachsend und beschränkt, konvergiert also gegen $L_1$</li> <li>Die Folge der ungeraden Partialsummen $S_{2n + 1}$ ist monoton fallend und beschränkt, konvergiert also gegen $L_2$</li> <li>Da aber gilt $S_{2n - 1} - S_{2n} = a_{2n} \rightarrow_\infty = 0 \text{gilt} L_1 - L_2 = 0$ und so konvergieren beide gegen den selben Grenzwert.</li></ol>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 29: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: Kxv]M:Ve}-

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Formel von Hadamard: Sei $\rho = {{c4:: \limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n} }}$. Dann:
\[R = \begin{cases} 0 & \rho = \infty \\ \rho^{-1} & 0 < \rho < \infty \\ \infty & \rho = 0 \end{cases}\]

Back

Formel von Hadamard: Sei $\rho = {{c4:: \limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n} }}$. Dann:
\[R = \begin{cases} 0 & \rho = \infty \\ \rho^{-1} & 0 < \rho < \infty \\ \infty & \rho = 0 \end{cases}\]

Hadamard = Wurzelkriterium angewendet auf $a_k = c_k z^k$.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		<b>Formel von Hadamard</b>: Sei $\rho = {{c4:: \limsup_{n\to\infty} \|c_n\|^{1/n} }}$. Dann:<br>\[R = \begin{cases} {{c1::0}} & \rho = \infty \\ {{c2::\rho^{-1}}} & 0 < \rho < \infty \\ {{c3::\infty}} & \rho = 0 \end{cases}\]
Extra		Hadamard = Wurzelkriterium angewendet auf $a_k = c_k z^k$.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe

Note 30: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: MsO@*ohS2C

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Front

$\sum a_n$ divergiert sicher, wenn {{c1::$\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$}} (d.h. $(a_n)$ ist keine Nullfolge).

Beachte: $\lim a_n = 0$ ist notwendig für Konvergenz, aber nicht hinreichend.

Back

$\sum a_n$ divergiert sicher, wenn {{c1::$\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$}} (d.h. $(a_n)$ ist keine Nullfolge).

Beachte: $\lim a_n = 0$ ist notwendig für Konvergenz, aber nicht hinreichend.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		$\sum a_n$ divergiert <b>sicher</b>, wenn {{c1::$\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$}} (d.h. $(a_n)$ ist keine Nullfolge).<br><br><b>Beachte:</b> $\lim a_n = 0$ ist {{c2::notwendig}} für Konvergenz, aber <b>nicht hinreichend</b>.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 31: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: OVw=KsU!rA

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Front

Die harmonische Reihe ${{c1:: \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} }}$ divergiert.

Back

Die harmonische Reihe ${{c1:: \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} }}$ divergiert.

Beweis: $\frac{1}{3}+\frac{1}{4} > \frac{1}{2}$, $\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8} > \frac{1}{2}$, usw.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Die harmonische Reihe ${{c1:: \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} }}$ {{c1::divergiert}}.
Extra		Beweis: $\frac{1}{3}+\frac{1}{4} > \frac{1}{2}$, $\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8} > \frac{1}{2}$, usw.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen

Note 32: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: P%&v?kp{/]

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Front

Falls die Folge $(s_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$ beschränkt ist, {{c2::konvergiert die Reihe $\sum_{n = 0}^\infty a_n$, andernfalls divergiert sie}}.

Back

Falls die Folge $(s_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$ beschränkt ist, {{c2::konvergiert die Reihe $\sum_{n = 0}^\infty a_n$, andernfalls divergiert sie}}.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Falls die Folge $(s_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$ {{c1::beschränkt}} ist, {{c2::konvergiert die Reihe $\sum_{n = 0}^\infty a_n$, andernfalls divergiert sie}}.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen

Note 33: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: U9#5Fg5CA.

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Unter welcher Bedingung darf man bei einer Doppelreihe $(a_{ij})$ die Summationsreihenfolge vertauschen?

Back

Unter welcher Bedingung darf man bei einer Doppelreihe $(a_{ij})$ die Summationsreihenfolge vertauschen?

Wenn $\exists B \geq 0$ so dass für alle $m \in \mathbb{N}$ gilt:
\[\sum_{i=0}^m \sum_{j=0}^m |a_{ij}| \leq B\]
Dann konvergieren Spalten- und Reihensummen absolut und sind gleich:
\[\sum_i S_i = \sum_j U_j = S\]Auch jede linear geordnete Summe konvergiert absolut gegen $S$.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Unter welcher Bedingung darf man bei einer Doppelreihe $(a_{ij})$ die Summationsreihenfolge vertauschen?
Back		Wenn $\exists B \geq 0$ so dass für alle $m \in \mathbb{N}$ gilt:<br>\[\sum_{i=0}^m \sum_{j=0}^m \|a_{ij}\| \leq B\]<br>Dann konvergieren Spalten- und Reihensummen absolut und sind gleich:<br>\[\sum_i S_i = \sum_j U_j = S\]Auch jede linear geordnete Summe konvergiert absolut gegen $S$.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::5._Cauchy_Produkt

Note 34: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: WwY@Is}Rhe

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Front

$\sum a_n$ heißt absolut konvergent, falls {{c1::die Reihe $\sum_{n=0}^\infty |a_n|$ konvergiert}}.

Back

$\sum a_n$ heißt absolut konvergent, falls {{c1::die Reihe $\sum_{n=0}^\infty |a_n|$ konvergiert}}.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		$\sum a_n$ heißt <b>absolut konvergent</b>, falls {{c1::die Reihe $\sum_{n=0}^\infty \|a_n\|$ konvergiert}}.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen

Note 35: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: ^XO)+qiLKO

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Front

Eine Potenzreihe hat die Form ${{c5:: \displaystyle\sum_{k=0}^\infty c_k (x - a)^k }}$, wobei:

$a$ heißt Entwicklungspunkt (Zentrum)
$c_0, c_1, \ldots$ heißen Koeffizienten
$x$ heißt Argument
$(a - R,\, a + R)$ heißt Konvergenzintervall

Back

Eine Potenzreihe hat die Form ${{c5:: \displaystyle\sum_{k=0}^\infty c_k (x - a)^k }}$, wobei:

$a$ heißt Entwicklungspunkt (Zentrum)
$c_0, c_1, \ldots$ heißen Koeffizienten
$x$ heißt Argument
$(a - R,\, a + R)$ heißt Konvergenzintervall

Spezialfall $a = 0$: $\sum c_k x^k$ — Entwicklungspunkt im Ursprung.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Eine <b>Potenzreihe</b> hat die Form ${{c5:: \displaystyle\sum_{k=0}^\infty c_k (x - a)^k }}$, wobei:<br><ul><li>$a$ heißt {{c1::Entwicklungspunkt}} (Zentrum)</li><li>$c_0, c_1, \ldots$ heißen {{c2::Koeffizienten}}</li><li>$x$ heißt {{c3::Argument}}</li><li>$(a - R,\, a + R)$ heißt {{c4::Konvergenzintervall}}</li></ul>
Extra		Spezialfall $a = 0$: $\sum c_k x^k$ — Entwicklungspunkt im Ursprung.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe

Note 36: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: a(2w#VKag=

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Grenzwertkriterium (Limitenvergleich)

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Grenzwertkriterium (Limitenvergleich)

Seien $a_n, b_n > 0$. Dann:

$\lim \frac{a_n}{b_n} = g$ mit $0 < g < \infty$ $\implies$ $\sum a_n$ und $\sum b_n$ haben dasselbe Konvergenzverhalten
$\lim \frac{a_n}{b_n} = 0$ und $\sum b_n$ konvergiert $\implies$ $\sum a_n$ konvergiert
$\lim \frac{a_n}{b_n} = \infty$ und $\sum b_n$ divergiert $\implies$ $\sum a_n$ divergiert

Beispiel: $\sum \frac{1}{n^2+3n}$: Vergleich mit $1/n^2$, Grenzwert $= 1$ → konvergiert.

Proof Sketch

Ist $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = g$ mit $0 < g < \infty$
So gilt $\frac{a_n}{b_n} \leq g + \varepsilon$ und daher $a_n \leq (g + \varepsilon) \, b_n$ für ein geeignetes $\varepsilon > 0$ und alle genügend großen $n$.
Nach dem Majorantenkriterium folgt aus der Konvergenz von $\sum b_n$ die Konvergenz von $\sum a_n$.

Example $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 3n}$ Wähle die Vergleichsreihe $b_n = \frac{1}{n^2}$. Dann:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 3n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{3}{n}} = 1\] Da $g = 1$ (also $0 < g < \infty$) und $\sum \frac{1}{n^2}$ als konvergente p-Reihe ($p = 2 > 1$) bekannt ist, konvergiert auch $\sum \frac{1}{n^2 + 3n}$ nach dem Grenzwertkriterium.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Grenzwertkriterium (Limitenvergleich)
Back		Seien $a_n, b_n > 0$. Dann:<br><ol><li>$\lim \frac{a_n}{b_n} = g$ mit $0 < g < \infty$ $\implies$ $\sum a_n$ und $\sum b_n$ haben <b>dasselbe</b> Konvergenzverhalten</li><li>$\lim \frac{a_n}{b_n} = 0$ und $\sum b_n$ konvergiert $\implies$ $\sum a_n$ konvergiert</li><li>$\lim \frac{a_n}{b_n} = \infty$ und $\sum b_n$ divergiert $\implies$ $\sum a_n$ divergiert</li></ol><b>Beispiel:</b> $\sum \frac{1}{n^2+3n}$: Vergleich mit $1/n^2$, Grenzwert $= 1$ → konvergiert.<br><br><div><div><strong>Proof Sketch</strong></div> <ul> <li>Ist $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = g$ mit $0 < g < \infty$</li> <li>So gilt $\frac{a_n}{b_n} \leq g + \varepsilon$ und daher $a_n \leq (g + \varepsilon) \, b_n$ für ein geeignetes $\varepsilon > 0$ und alle genügend großen $n$. </li> <li>Nach dem <em>Majorantenkriterium</em> folgt aus der Konvergenz von $\sum b_n$ die Konvergenz von $\sum a_n$.</li> </ul> <div><strong>Example</strong> $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 3n}$ Wähle die Vergleichsreihe $b_n = \frac{1}{n^2}$. Dann:<br> \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 3n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{3}{n}} = 1\] Da $g = 1$ (also $0 < g < \infty$) und $\sum \frac{1}{n^2}$ als konvergente p-Reihe ($p = 2 > 1$) bekannt ist, konvergiert auch $\sum \frac{1}{n^2 + 3n}$ nach dem Grenzwertkriterium.</div></div>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 37: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: a96Uw3jLN`

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Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen (Dirichlet)

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Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen (Dirichlet)

Sei $\sum a_n$ absolut konvergent und $\phi: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ eine Bijektion.

Dann konvergiert $\sum a_{\phi(n)}$ ebenfalls absolut und:
\[\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)}\]Merke: Bei absolut konvergenten Reihen darf man frei umordnen.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen (Dirichlet)
Back		Sei $\sum a_n$ <b>absolut konvergent</b> und $\phi: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ eine Bijektion.<br><br>Dann konvergiert $\sum a_{\phi(n)}$ ebenfalls <b>absolut</b> und:<br>\[\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)}\]<b>Merke:</b> Bei absolut konvergenten Reihen darf man frei umordnen.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::4._Umordnung

Note 38: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: g2t@/gu5sl

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Teleskopreihe: Sei $a_k = b_k - b_{k-1}$. Dann:
\[\sum_{k=1}^n a_k = b_n - b_0\]
Die Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergiert gdw. {{c2::$\lim_{n\to\infty} b_n$ existiert}}.

Back

Teleskopreihe: Sei $a_k = b_k - b_{k-1}$. Dann:
\[\sum_{k=1}^n a_k = b_n - b_0\]
Die Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergiert gdw. {{c2::$\lim_{n\to\infty} b_n$ existiert}}.

Beispiel: $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1$

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Teleskopreihe: Sei $a_k = b_k - b_{k-1}$. Dann:<br>\[\sum_{k=1}^n a_k = {{c1::b_n - b_0}}\]<br>Die Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergiert gdw. {{c2::$\lim_{n\to\infty} b_n$ existiert}}.
Extra		<br><b>Beispiel:</b> $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1$

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen

Note 39: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: gpZ6uk?vZ1

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Wie wendet man das Majorantenkriterium in der Praxis an?

Back

Wie wendet man das Majorantenkriterium in der Praxis an?

Konvergenz zeigen: Finde konvergente $\sum b_n$ mit $a_n \leq b_n$.
Typische Majoranten: geometrische Reihe, $\zeta(s)$ mit $s > 1$

Divergenz zeigen: Finde divergente $\sum b_n$ mit $b_n \leq a_n$.
Typische Minoranten: harmonische Reihe $\sum 1/n$

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Wie wendet man das Majorantenkriterium in der Praxis an?
Back		<b>Konvergenz zeigen:</b> Finde konvergente $\sum b_n$ mit $a_n \leq b_n$.<br>Typische Majoranten: geometrische Reihe, $\zeta(s)$ mit $s > 1$<br><br><b>Divergenz zeigen:</b> Finde divergente $\sum b_n$ mit $b_n \leq a_n$.<br>Typische Minoranten: harmonische Reihe $\sum 1/n$

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 40: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: gyxBUlt78f

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Eine Folge $(a_n)$ in $\mathbb{R}^d$ konvergiert gegen $b = (b_1, \ldots, b_d)$ genau dann, wenn:
\[{{c1::\lim_{n\to\infty} a_{n,j} = b_j \quad \text{für alle } j = 1, \ldots, d}}\]

Back

Eine Folge $(a_n)$ in $\mathbb{R}^d$ konvergiert gegen $b = (b_1, \ldots, b_d)$ genau dann, wenn:
\[{{c1::\lim_{n\to\infty} a_{n,j} = b_j \quad \text{für alle } j = 1, \ldots, d}}\]

Gilt analog für $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2$: $\lim z_n = c$ gdw. $\lim \text{Re}(z_n) = \text{Re}(c)$ und $\lim \text{Im}(z_n) = \text{Im}(c)$.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Eine Folge $(a_n)$ in $\mathbb{R}^d$ konvergiert gegen $b = (b_1, \ldots, b_d)$ genau dann, wenn:<br>\[{{c1::\lim_{n\to\infty} a_{n,j} = b_j \quad \text{für alle } j = 1, \ldots, d}}\]
Extra		Gilt analog für $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2$: $\lim z_n = c$ gdw. $\lim \text{Re}(z_n) = \text{Re}(c)$ und $\lim \text{Im}(z_n) = \text{Im}(c)$.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz

Note 41: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: j1*KfG}T{:

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Eine Reihe heißt bedingt konvergent, wenn sie konvergiert, aber nicht absolut konvergiert.

Back

Eine Reihe heißt bedingt konvergent, wenn sie konvergiert, aber nicht absolut konvergiert.

Beispiel: $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ ist bedingt konvergent.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Eine Reihe heißt <b>bedingt konvergent</b>, wenn sie {{c1::konvergiert, aber nicht absolut konvergiert}}.
Extra		<br><b>Beispiel:</b> $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ ist bedingt konvergent.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen

Note 42: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: jKp`Sev.N*

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Warum gilt Cauchy $\iff$ konvergent in $\mathbb{R}$, aber nicht in $\mathbb{Q}$?

Back

Warum gilt Cauchy $\iff$ konvergent in $\mathbb{R}$, aber nicht in $\mathbb{Q}$?

In $\mathbb{R}$: jede Cauchy-Folge konvergiert in $\mathbb{R}$ (Vollständigkeit).

In $\mathbb{Q}$: Eine Cauchy-Folge in $\mathbb{Q}$ kann gegen $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ konvergieren — der Grenzwert liegt außerhalb des Raumes. $\mathbb{Q}$ ist nicht vollständig.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Warum gilt Cauchy $\iff$ konvergent in $\mathbb{R}$, aber nicht in $\mathbb{Q}$?
Back		In $\mathbb{R}$: jede Cauchy-Folge konvergiert <b>in</b> $\mathbb{R}$ (Vollständigkeit).<br><br>In $\mathbb{Q}$: Eine Cauchy-Folge in $\mathbb{Q}$ kann gegen $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ konvergieren — der Grenzwert liegt außerhalb des Raumes. $\mathbb{Q}$ ist <b>nicht vollständig</b>.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::4._Cauchy_Folge

Note 43: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: kHI,;p9S^}

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Wurzelkriterium:

wenn $(c_k)^{1/k}$ nicht beschränkt ist setzen wir $\rho = 0$ - also konvergiert die Reihe nur für $z = 0$
wenn $(c_k)^{1/k}$ beschränkt ist und $\limsup (c_k)^{1/k} = 0$ setzen wir $\rho = \infty$ - die Reihe konvergiert für alle $z$

Back

Wurzelkriterium:

wenn $(c_k)^{1/k}$ nicht beschränkt ist setzen wir $\rho = 0$ - also konvergiert die Reihe nur für $z = 0$
wenn $(c_k)^{1/k}$ beschränkt ist und $\limsup (c_k)^{1/k} = 0$ setzen wir $\rho = \infty$ - die Reihe konvergiert für alle $z$

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		<b>Wurzelkriterium</b>:<br><ul><li>wenn $(c_k)^{1/k}$ nicht beschränkt ist setzen wir {{c1:: $\rho = 0$ - also konvergiert die Reihe nur für $z = 0$}} </li><li>wenn $(c_k)^{1/k}$ beschränkt ist und $\limsup (c_k)^{1/k} = 0$ setzen wir {{c2::$\rho = \infty$ - die Reihe konvergiert für alle $z$}}</li></ul>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 44: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: sC&G$-vhbU

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Bei einer Potenzreihe $\sum c_k (x - a)^k$ mit Konvergenzradius $R$ konvergiert die Reihe für alle $x$ mit:
\[|x - a| < R\]
Achtung: $R$ misst Abstand vom Entwicklungspunkt $a$, nicht vom Ursprung.

Back

Bei einer Potenzreihe $\sum c_k (x - a)^k$ mit Konvergenzradius $R$ konvergiert die Reihe für alle $x$ mit:
\[|x - a| < R\]
Achtung: $R$ misst Abstand vom Entwicklungspunkt $a$, nicht vom Ursprung.

Beispiel: $\sum c_k (x-3)^k$ mit $R=2$ konvergiert für $x \in (1, 5)$.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Bei einer Potenzreihe $\sum c_k (x - a)^k$ mit Konvergenzradius $R$ konvergiert die Reihe für alle $x$ mit:<br>\[{{c1::\|x - a\| < R}}\]<br><b>Achtung:</b> $R$ misst {{c2::Abstand vom Entwicklungspunkt $a$, nicht vom Ursprung}}.<br>
Extra		<b>Beispiel:</b> $\sum c_k (x-3)^k$ mit $R=2$ konvergiert für $x \in (1, 5)$.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe

Note 45: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: sRcr3UsY+a

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Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beachte: Die Umkehrung gilt nicht — eine beschränkte Folge muss nicht konvergieren (z.B. $(-1)^n$).

Back

Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beachte: Die Umkehrung gilt nicht — eine beschränkte Folge muss nicht konvergieren (z.B. $(-1)^n$).

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Jede <b>konvergente</b> Folge ist {{c1::beschränkt}}.<br><br><b>Beachte:</b> Die Umkehrung gilt {{c2::nicht}} — eine beschränkte Folge muss nicht konvergieren (z.B. $(-1)^n$).

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::2._Properties

Note 46: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: s_=B4I[Nwv

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Sei $a_n \geq 0$ für alle $n$. Dann ist $S_n$ monoton wachsend.

Back

Sei $a_n \geq 0$ für alle $n$. Dann ist $S_n$ monoton wachsend.

Für $a_n \geq 0$ gibt es nur zwei Fälle: konvergiert oder divergiert gegen $+\infty$

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Sei $a_n \geq 0$ für alle $n$. Dann ist $S_n$ {{c1::monoton wachsend}}.
Extra		Für $a_n \geq 0$ gibt es nur zwei Fälle: konvergiert oder divergiert gegen $+\infty$

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen

Note 47: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: ssLcC6IoOk

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Das Majoranten-/Minorantenkriterium gilt nur, wenn beide Folgen nicht-negativ sind: $0 \leq a_n \leq b_n$.

Für alternierende Reihen ist es nicht direkt anwendbar — erst Absolutkonvergenz mit $\sum |a_n|$ zeigen, dann folgt Konvergenz.

Back

Das Majoranten-/Minorantenkriterium gilt nur, wenn beide Folgen nicht-negativ sind: $0 \leq a_n \leq b_n$.

Für alternierende Reihen ist es nicht direkt anwendbar — erst Absolutkonvergenz mit $\sum |a_n|$ zeigen, dann folgt Konvergenz.

Häufiger Fehler: Vergleich von $(-1)^n/n$ mit $1/n$ über Majorante. Das scheitert, da $(-1)^n/n \not\geq 0$.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Das Majoranten-/Minorantenkriterium gilt nur, wenn {{c1::beide Folgen nicht-negativ sind: $0 \leq a_n \leq b_n$}}.<br><br>Für <b>alternierende</b> Reihen ist es {{c2::nicht direkt anwendbar}} — erst Absolutkonvergenz mit $\sum \|a_n\|$ zeigen, dann folgt Konvergenz.
Extra		Häufiger Fehler: Vergleich von $(-1)^n/n$ mit $1/n$ über Majorante. Das scheitert, da $(-1)^n/n \not\geq 0$.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 48: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: u$3f,(&]?[

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Absolut konvergent $\implies$ konvergent

Back

Absolut konvergent $\implies$ konvergent

nicht andersherum

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Absolut konvergent  $\implies$ {{c2::konvergent}}
Extra		nicht andersherum

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen

Note 49: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: w)NK`}V9nz

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Falls $\sum a_n$ konvergiert, dann gilt zwingend: $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$.

Umkehrung: $\lim a_n = 0$ impliziert NICHT Konvergenz von $\sum a_n$.

Back

Falls $\sum a_n$ konvergiert, dann gilt zwingend: $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$.

Umkehrung: $\lim a_n = 0$ impliziert NICHT Konvergenz von $\sum a_n$.

Gegenbeispiel: harmonische Reihe $\sum 1/n$

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Falls $\sum a_n$ konvergiert, dann gilt zwingend: $\lim_{n\to\infty} a_n = {{c1::0}}$.<br><br><b>Umkehrung:</b> $\lim a_n = 0$ {{c2::impliziert NICHT}} Konvergenz von $\sum a_n$.
Extra		Gegenbeispiel: harmonische Reihe $\sum 1/n$

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 50: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: z>(#?Mm:.A

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Wenn $\sum^\infty a_n$ konvergent ist gilt:
\[ \sum_{n = 0}^\infty a_n = {{c1::\sum_{n = 0}^{N - 1} + \sum_{n = N}^\infty a_n:: \text{split} }}\]

Back

Wenn $\sum^\infty a_n$ konvergent ist gilt:
\[ \sum_{n = 0}^\infty a_n = {{c1::\sum_{n = 0}^{N - 1} + \sum_{n = N}^\infty a_n:: \text{split} }}\]

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Wenn $\sum^\infty a_n$ konvergent ist gilt:<br>\[ \sum_{n = 0}^\infty a_n = {{c1::\sum_{n = 0}^{N - 1} + \sum_{n = N}^\infty a_n:: \text{split} }}\]

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen

Note 51: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: {XU$eYR/n`

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Sei $0 \leq a_n \leq b_n$ für alle $n \geq N$:

$\sum b_n$ konvergiert $\implies \sum a_n \text{ konvergiert}$ (Majorante)
$\sum a_n$ divergiert $\implies \sum b_n \text{ divergiert}$ (Minorante)

Back

Sei $0 \leq a_n \leq b_n$ für alle $n \geq N$:

$\sum b_n$ konvergiert $\implies \sum a_n \text{ konvergiert}$ (Majorante)
$\sum a_n$ divergiert $\implies \sum b_n \text{ divergiert}$ (Minorante)

Proof:
Da $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ konvergiert, konvergiert die Folge der Partialsummen. Deswegen ist sie auch beschränkt. Da alle $a_k \le b_k$, gilt auch $S_n \le T_n$ ($S_n$ Partialsummen von $\sum a_N$, $T_n$ Partialsummen von $\sum b_n$) Dadurch ist auch $S_n$ beschränkt und da sie monoton steigt ($a_n \ge 0$) ist sie auch konvergent. Dadurch ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konvergent.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Sei $0 \leq a_n \leq b_n$ für alle $n \geq N$:<br><br>$\sum b_n$ konvergiert $\implies {{c1::\sum a_n \text{ konvergiert}}}$   (<b>Majorante</b>)<br>$\sum a_n$ divergiert $\implies {{c2::\sum b_n \text{ divergiert}}}$   (<b>Minorante</b>)
Extra		<b>Proof:</b><br>Da $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ konvergiert, konvergiert die Folge der Partialsummen. Deswegen ist sie auch beschränkt. Da alle $a_k \le b_k$, gilt auch $S_n \le T_n$ ($S_n$ Partialsummen von $\sum a_N$, $T_n$ Partialsummen von $\sum b_n$) Dadurch ist auch $S_n$ beschränkt und da sie monoton steigt ($a_n \ge 0$) ist sie auch konvergent. Dadurch ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konvergent.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 52: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: {].oPsIfG|

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Exponentialreihe:\[\exp(z) = {{c2:: \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} }}\]
Diese Reihe konvergiert {{c1::absolut für alle $z \in \mathbb{C}$}} (Konvergenzradius $R = \infty$).

Back

Exponentialreihe:\[\exp(z) = {{c2:: \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} }}\]
Diese Reihe konvergiert {{c1::absolut für alle $z \in \mathbb{C}$}} (Konvergenzradius $R = \infty$).

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Exponentialreihe:\[\exp(z) = {{c2:: \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} }}\]<br>Diese Reihe konvergiert {{c1::absolut für alle $z \in \mathbb{C}$}} (Konvergenzradius $R = \infty$).

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen

Note 53: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: |U^j{p`wjL

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Das Cauchy-Produkt von $\sum a_n$ und $\sum b_n$ ist $\sum c_n$ mit:
\[c_n = {{c1::\sum_{j=0}^n a_{n-j} b_j}} = a_n b_0 + a_{n-1}b_1 + \cdots + a_0 b_n\]

Back

Das Cauchy-Produkt von $\sum a_n$ und $\sum b_n$ ist $\sum c_n$ mit:
\[c_n = {{c1::\sum_{j=0}^n a_{n-j} b_j}} = a_n b_0 + a_{n-1}b_1 + \cdots + a_0 b_n\]

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Das <b>Cauchy-Produkt</b> von $\sum a_n$ und $\sum b_n$ ist $\sum c_n$ mit:<br>\[c_n = {{c1::\sum_{j=0}^n a_{n-j} b_j}} = a_n b_0 + a_{n-1}b_1 + \cdots + a_0 b_n\]
Extra		<img src="paste-ce75837dbdc72985c3b99b8de2bd8439fcd7946c.jpg">

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::5._Cauchy_Produkt

Note 54: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: }3LSktDYts

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Die Riemansche-Zeta Funktion Reihe $\displaystyle\zeta(s) = {{c1:: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} }}$ konvergiert für s > 1 und divergiert für s $\leq 1$.

Back

Die Riemansche-Zeta Funktion Reihe $\displaystyle\zeta(s) = {{c1:: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} }}$ konvergiert für s > 1 und divergiert für s $\leq 1$.

Oft als Referenzreihe im Vergleichssatz nützlich (wenn Wurzel/Quotient versagen).

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Die Riemansche-Zeta Funktion Reihe $\displaystyle\zeta(s) = {{c1:: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} }}$ konvergiert für {{c1::s > 1}} und divergiert für {{c2::s $\leq 1$}}.
Extra		Oft als Referenzreihe im Vergleichssatz nützlich (wenn Wurzel/Quotient versagen).

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen

Note 55: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: }3V6.(tcBx

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Die Konvergenz einer Reihe hängt nicht von den ersten $N$ Termen ab. Der Wert der Reihe hängt jedoch schon davon ab.

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Die Konvergenz einer Reihe hängt nicht von den ersten $N$ Termen ab. Der Wert der Reihe hängt jedoch schon davon ab.

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^{N-1} a_n + \sum_{n=N}^\infty a_n$

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Text		Die {{c1::<b>Konvergenz</b>}} einer Reihe hängt nicht von den ersten $N$ Termen ab. Der {{c1::<b>Wert</b>}} der Reihe hängt jedoch schon davon ab.
Extra		$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^{N-1} a_n + \sum_{n=N}^\infty a_n$

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen

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Text		Sind \(\sum a_n\) und \(\sum b_n\) <b>absolut konvergent</b>, so gilt:<br>\[\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = {{c1::\sum_{n=0}^\infty c_n}}\]und \(\sum c_n\) ist ebenfalls {{c2::absolut konvergent}}.
Extra		Anwendung: Beweis von \(\exp(z + w) = \exp(z) \cdot \exp(w)\).

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Text		Eine <b>Reihe</b> \(\sum_{k=1}^\infty a_k\) ist definiert als die Folge der {{c1::Partialsummen}} \((S_n)\), wobei: \[S_n = {{c1::\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n}}\]
Extra		Eine Reihe ist ein <b>Symbol</b> für \(\lim_{n\to\infty} S_n\) — keine gewöhnliche Summe.

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Front		Warum darf man \(\lim(a_n - b_n) = \lim a_n - \lim b_n\) nicht anwenden, wenn beide Grenzwerte \(\infty\) sind?
Back		Die Form \(\infty - \infty\) ist <b>unbestimmt</b>.<br><ul><li>\(a_n = n+1,\; b_n = n\): \(a_n - b_n = 1 \to 1\)</li><li>\(a_n = 2n,\; b_n = n\): \(a_n - b_n = n \to \infty\)</li><li>\(a_n = n,\; b_n = n + \sqrt{n}\): \(a_n - b_n \to -\infty\)</li></ul>Grenzwertarithmetik gilt <b>nur bei endlichen Grenzwerten</b>!

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Text		Quotientenkriterium: Sei \(a_n \neq 0\) und \(\rho = \lim_{n\to\infty} \left\|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\|\).<br><ul><li>\(\rho {{c1::< 1}}\) \(\implies\) absolut konvergent</li><li>\(\rho {{c2::> 1}}\) \(\implies\) divergent</li><li>\(\rho {{c3::= 1}}\) \(\implies\) keine Aussage (z.B. \(1/n\) und \(1/n^2\) liefern beide \(1\))</li></ul>
Extra		<div><strong>Proof:</strong></div> <ol> <li>\(\sum a_n \geq 0\), $\displaystyle L = \lim_{n\to\infty} \left\| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\|$ $< 1$</li><ol><li>Choose \(q\) with \(L < q < 1\). Since \(\left\| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\| \to L\), there exists \(N\) such that for all \(n \geq N: \left\|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right\| \leq q\) \(\implies\) \(\left\|a_{N+k}\right\|\leq \left\|a_N \right\|\cdot q^k\)</li><li>So \(\sum_{k=0}^{\infty} \left\| a_{N+k} \right\|\) \(\leq \left\| a_N \right\| \sum_{k=0}^{\infty} q^k\)\(= \frac{\left\| a_N \right\|}{1-q}\)\(< \infty\) (geometric series, \(q < 1\) ).</li> <li>Hence \(\sum a_n\) converges. </li> </ol> <li> <div>\(\sum a_n \geq 0, \displaystyle L\)   \(= \lim_{n\to\infty} \left\| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\|\)   \(> 1\).</div> <ol> <li>Choose \(q\) with \(1 < q < L\). There exists \(N\) such that for all \(n \geq N: \left\| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\|\)   \(\geq q > 1\)    \(\implies \left\| a_{N+k} \right\|\) \(\geq \left\| a_N \right\| \cdot q^k \to \infty\)</li> <li>So \(\left\| a_n\right\| \not\to 0\), hence \(\sum a_n\) diverges.</li></ol></li></ol>

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Text		\(\sum_{k=1}^\infty a_k\) <b>konvergiert</b>, falls  {{c1::die Partialsummenfolge \((S_n)\) gegen einenendlichen Grenzwert \(L < \infty\)}} konvergiert.
Extra		In diesem Fall: \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k := \lim_{n\to\infty} S_n = L\)

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Front		Wie beweist man \(\exp(z+w) = \exp(z) \cdot \exp(w)\)?
Back		Beide Reihen \(\sum z^n/n!\) und \(\sum w^n/n!\) sind absolut konvergent.<br><br>Das Cauchy-Produkt liefert:<br>\[c_n = \sum_{k=0}^n \frac{z^{n-k}}{(n-k)!} \cdot \frac{w^k}{k!} = \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} z^{n-k} w^k = \frac{(z+w)^n}{n!}\]<br>Also \(\exp(z)\exp(w) = \sum c_n = \sum \frac{(z+w)^n}{n!} = \exp(z+w)\).

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Text		Wurzelkriterium: Sei \(\rho = \limsup_{n\to\infty} \|a_n\|^{1/n}\). Dann:<br><ul><li>\(\rho {{c1::< 1}}\) \(\implies\) \(\sum a_n\) konvergiert <b>absolut</b></li><li>\(\rho {{c2::> 1}}\) \(\implies\) \(\sum a_n\) divergiert</li><li>\(\rho {{c3::= 1}}\) \(\implies\) <b>keine Aussage</b> möglich<br><br></li></ul><i>Proof Included</i>
Extra		Wenn Quotientenkriterium versagt (\(\rho=1\)), versagt auch das Wurzelkriterium — aber <b>nicht umgekehrt</b>.<br><div><div><br></div></div><div><div><strong>Proof:</strong> </div><ol> <li> <div></div></li><li><div>Convergence $<span style="white-space: pre;">L < 1$</span></div> <ol> <li>\(\sum a_n \geq 0\), \(\displaystyle L = \limsup_{n\to\infty} \left\| {a_n}^{1/n} \right\| < 1\).</li> <li>Choose \(q\) with \(L < q < 1\). Since \(\limsup \left\| {a_n}^{1/n} \right\| = L\), there exists \(N\) such that for all \(n \geq N: \left\| {a_n}^{1/n} \right\| \leq\) \(q \implies \left\| a_n \right\| \leq q^n\)</li> <li>So \(\sum_{n=N}^{\infty} \left\| a_n \right\| \leq\) \(\sum_{n=N}^{\infty} q^n < \infty\) (geometric series, \(q < 1\)).</li> <li>Hence \(\sum \left\| a_n \right\|\) converges. (Majorantenkriterium)</li> </ol> </li> <li> <div>Divergence \(L > 1\)</div> <ol> <li>\(\sum a_n \geq 0\), \(\displaystyle L = \limsup_{n\to\infty} \left\| {a_n}^{1/n} \right\|\) \(> 1\).</li> <li>Since \(\limsup \left\| {a_n}^{1/n} \right\| > 1\), there exist infinitely many \(n\) such that: \(\left\| {a_n}^{1/n} \right\| >\) \(1 \implies \|a_n\| > 1\)</li> <li>So \(\|a_n\| \not\to 0\), hence \(\sum a_n\) diverges.</li></ol></li></ol></div>

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Text		<b>Cauchy-Verdichtungssatz</b>: Sei \((a_n)\) <b>monoton fallend</b>, \(a_n \geq 0\):<br>\[\sum_{n=0}^\infty a_n \text{ konvergiert} \iff {{c1::\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \text{ konvergiert}}}\]<i>Proof Included</i>
Extra		Anwendung: \(\sum 1/n^s\) für \(s > 1\) konvergiert: \(\sum 2^n \cdot 2^{-ns} = \sum 2^{n(1-s)}\) geometrisch mit \(q = 2^{1-s} < 1\).<br><br><div><strong>Proof</strong> </div> <ul> <li>Weil a_n monoton fällt gilt \(2^n a_{2^n} \ge a_{2^k + 1} + a_{2^k + 2} + \dots + a_{2^{k + 1} - 1}\).</li> <li>Wir benutzen das Majorantenkriterium mit\[\begin{align} \sum^n_{k = 0} 2^k a_{2^k} &\ge \sum_{k = 0}^n (a_{2^k + 1} + a_{2^k + 2} + \dots + a_{2^{k + 1} - 1}) = \sum^{2^n + 1}_{j = 1} a_j \\ &\ge \sum_{k = 0}^n 2^k a_{2^{k+1}} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n + 1} 2^k a_{2^k} \end{align}\]</li> <li>Konvergiert \(\sum a_n\) konvergiert auch \((s_n)\) die Folge der Partialsummen und damit auch die Folge der Partialsummen \((s_{2^{n + 1} })\). Damit konvergiert auch die Folge der Partialsummen \((S_{n + 1})\), \(S_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{n + 1} 2^k a_{2^k}\).</li> <li>Und dann konvergiert auch \(\sum^\infty 2^k a_{2^k}\) nach dem Majorantenkriterium.</li></ul>

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Text		Cauchy-Kriterium: <br>\(\sum a_n\) konvergiert \(\iff\) für jedes \(\varepsilon > 0\) \(\exists N\) so dass für alle \(n > m > N\) gilt:<br>\[{{c1::\left\|\sum_{k=m+1}^n a_k\right\| = \|S_n - S_m\| < \varepsilon}}\]<i>Proof Included</i>
Extra		Direktes Cauchy-Kriterium auf die Partialsummenfolge.<br><br><div>Man kann \(\sum_{k = m+1}^n a_k \) auch als \(S_n - S_{m} \) schreiben. Und für die Folge \(S_n\) gilt dann der Cauchy Satz. Falls also \(\exists N \in \mathbb{N}_0\) sodass \(\forall n > m > N gilt \|S_n - S_m\| < \epsilon\), konvergiert die Folge \(S_n\).</div><div> Die gilt per Annahme und deswegen konvergiert \(S_n\). Da die Folge der Partialsummen konvergiert, konvergiert die Reihe.</div>

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Text		Für die geometrische Reihe \(\sum_{n=0}^\infty q^n\) gilt \(S_n = {{c1:: \frac{1 - q^{n + 1} }{1 - q} }}\)
Extra		\[ \begin{align} qS_n &= q + q^2 + \dots + q^{n + 1} \\ S_n - qS_n &= 1 - q^{n + 1} \\ S_n &= \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} \end{align} \]

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Text		Seien \(\sum a_n\) und \(\sum b_n\) {{c3::<b>konvergente</b>}} Reihen, \(C \in \mathbb{R}\). Dann gilt:\[\sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) = {{c1::\sum_{n=0}^\infty a_n + \sum_{n=0}^\infty b_n}}\]\[\sum_{n=0}^\infty C \cdot a_n = {{c2::C \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n}}\]
Extra		Gilt nur für <b>konvergente</b> Reihen!

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Text		<b>Formel von Hadamard</b>: Sei \(\rho = {{c4:: \limsup_{n\to\infty} \|c_n\|^{1/n} }}\). Dann:<br>\[R = \begin{cases} {{c1::0}} & \rho = \infty \\ {{c2::\rho^{-1}}} & 0 < \rho < \infty \\ {{c3::\infty}} & \rho = 0 \end{cases}\]
Extra		Hadamard = Wurzelkriterium angewendet auf \(a_k = c_k z^k\).

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Text		Die harmonische Reihe \({{c1:: \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} }}\) {{c1::divergiert}}.
Extra		Beweis: \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4} > \frac{1}{2}\), \(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8} > \frac{1}{2}\), usw.

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Text		Eine <b>Potenzreihe</b> hat die Form \({{c5:: \displaystyle\sum_{k=0}^\infty c_k (x - a)^k }}\), wobei:<br><ul><li>\(a\) heißt {{c1::Entwicklungspunkt}} (Zentrum)</li><li>\(c_0, c_1, \ldots\) heißen {{c2::Koeffizienten}}</li><li>\(x\) heißt {{c3::Argument}}</li><li>\((a - R,\, a + R)\) heißt {{c4::Konvergenzintervall}}</li></ul>
Extra		Spezialfall \(a = 0\): \(\sum c_k x^k\) — Entwicklungspunkt im Ursprung.

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Text		Teleskopreihe: Sei \(a_k = b_k - b_{k-1}\). Dann:<br>\[\sum_{k=1}^n a_k = {{c1::b_n - b_0}}\]<br>Die Reihe \(\sum_{k=1}^\infty a_k\) konvergiert gdw. {{c2::\(\lim_{n\to\infty} b_n\) existiert}}.
Extra		<br><b>Beispiel:</b> \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1\)

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Text		Eine Folge \((a_n)\) in \(\mathbb{R}^d\) konvergiert gegen \(b = (b_1, \ldots, b_d)\) genau dann, wenn:<br>\[{{c1::\lim_{n\to\infty} a_{n,j} = b_j \quad \text{für alle } j = 1, \ldots, d}}\]
Extra		Gilt analog für \(\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2\): \(\lim z_n = c\) gdw. \(\lim \text{Re}(z_n) = \text{Re}(c)\) und \(\lim \text{Im}(z_n) = \text{Im}(c)\).

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Front		Warum gilt Cauchy \(\iff\) konvergent in \(\mathbb{R}\), aber nicht in \(\mathbb{Q}\)?
Back		In \(\mathbb{R}\): jede Cauchy-Folge konvergiert <b>in</b> \(\mathbb{R}\) (Vollständigkeit).<br><br>In \(\mathbb{Q}\): Eine Cauchy-Folge in \(\mathbb{Q}\) kann gegen \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) konvergieren — der Grenzwert liegt außerhalb des Raumes. \(\mathbb{Q}\) ist <b>nicht vollständig</b>.

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Text		Bei einer Potenzreihe \(\sum c_k (x - a)^k\) mit Konvergenzradius \(R\) konvergiert die Reihe für alle \(x\) mit:<br>\[{{c1::\|x - a\| < R}}\]<br><b>Achtung:</b> \(R\) misst {{c2::Abstand vom Entwicklungspunkt \(a\), nicht vom Ursprung}}.<br>
Extra		<b>Beispiel:</b> \(\sum c_k (x-3)^k\) mit \(R=2\) konvergiert für \(x \in (1, 5)\).

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Text		Sei \(a_n \geq 0\) für alle \(n\). Dann ist \(S_n\) {{c1::monoton wachsend}}.
Extra		Für \(a_n \geq 0\) gibt es nur zwei Fälle: konvergiert oder divergiert gegen \(+\infty\)

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Text		Absolut konvergent  \(\implies\) {{c2::konvergent}}
Extra		nicht andersherum

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Text		Falls \(\sum a_n\) konvergiert, dann gilt zwingend: \(\lim_{n\to\infty} a_n = {{c1::0}}\).<br><br><b>Umkehrung:</b> \(\lim a_n = 0\) {{c2::impliziert NICHT}} Konvergenz von \(\sum a_n\).
Extra		Gegenbeispiel: harmonische Reihe \(\sum 1/n\)

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Text		Sei \(0 \leq a_n \leq b_n\) für alle \(n \geq N\):<br><br>\(\sum b_n\) konvergiert \(\implies {{c1::\sum a_n \text{ konvergiert}}}\)   (<b>Majorante</b>)<br>\(\sum a_n\) divergiert \(\implies {{c2::\sum b_n \text{ divergiert}}}\)   (<b>Minorante</b>)
Extra		<b>Proof:</b><br>Da \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) konvergiert, konvergiert die Folge der Partialsummen. Deswegen ist sie auch beschränkt. Da alle \(a_k \le b_k\), gilt auch \(S_n \le T_n\) (\(S_n\) Partialsummen von \(\sum a_N\), \(T_n\) Partialsummen von \(\sum b_n\)) Dadurch ist auch \(S_n\) beschränkt und da sie monoton steigt (\(a_n \ge 0\)) ist sie auch konvergent. Dadurch ist \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) konvergent.

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Text		Das <b>Cauchy-Produkt</b> von \(\sum a_n\) und \(\sum b_n\) ist \(\sum c_n\) mit:<br>\[c_n = {{c1::\sum_{j=0}^n a_{n-j} b_j}} = a_n b_0 + a_{n-1}b_1 + \cdots + a_0 b_n\]
Extra		<img src="paste-ce75837dbdc72985c3b99b8de2bd8439fcd7946c.jpg">

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Text		Die Riemansche-Zeta Funktion Reihe \(\displaystyle\zeta(s) = {{c1:: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} }}\) konvergiert für {{c1::s > 1}} und divergiert für {{c2::s \(\leq 1\)}}.
Extra		Oft als Referenzreihe im Vergleichssatz nützlich (wenn Wurzel/Quotient versagen).