Anki Deck Changes

Note 1: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Classic
GUID: IX*mK5@39K

added

Note did not exist

New Note

Front

Wahr oder falsch?

Drei Ereignisse $A, B, C$ sind genau dann unabhängig, wenn $\Pr[A \cap B \cap C] = \Pr[A]\,\Pr[B]\,\Pr[C]$.

Back

Wahr oder falsch?

Drei Ereignisse $A, B, C$ sind genau dann unabhängig, wenn $\Pr[A \cap B \cap C] = \Pr[A]\,\Pr[B]\,\Pr[C]$.

Falsch.

Für Unabhängigkeit von drei Ereignissen braucht's zusätzlich $\Pr[A \cap B] = \Pr[A]\Pr[B]$, $\Pr[A \cap C] = \Pr[A]\Pr[C]$ und $\Pr[B \cap C] = \Pr[B]\Pr[C]$. Die Produktformel für alle drei allein reicht nicht.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Wahr oder falsch?<br><br>Drei Ereignisse $A, B, C$ sind genau dann unabhängig, wenn $\Pr[A \cap B \cap C] = \Pr[A]\,\Pr[B]\,\Pr[C]$.
Back		Falsch.<br><br>Für Unabhängigkeit von drei Ereignissen braucht's zusätzlich $\Pr[A \cap B] = \Pr[A]\Pr[B]$, $\Pr[A \cap C] = \Pr[A]\Pr[C]$ und $\Pr[B \cap C] = \Pr[B]\Pr[C]$. Die Produktformel für alle drei allein reicht nicht.

Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::3._Unabhängigkeit ETH::2._Semester::A&W::Minitests::3

Note 2: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Classic
GUID: b1&q8c$v{$

added

Note did not exist

New Note

Front

Wahr oder falsch?

Wir haben 180 zufällig ausgewählte Personen in einem Raum. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben, ist kleiner als $1/2$.

Back

Wahr oder falsch?

Wir haben 180 zufällig ausgewählte Personen in einem Raum. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben, ist kleiner als $1/2$.

Falsch.

Geburtstagsparadoxon. Schon bei 23 Personen ist die Wahrscheinlichkeit $> 1/2$, bei 180 ist sie praktisch 1 ($\approx 1 - e^{-180 \cdot 179 / (2 \cdot 365)} \approx 1 - e^{-44} \approx 1$).

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Wahr oder falsch?<br><br>Wir haben 180 zufällig ausgewählte Personen in einem Raum. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben, ist kleiner als $1/2$.
Back		Falsch.<br><br>Geburtstagsparadoxon. Schon bei 23 Personen ist die Wahrscheinlichkeit $> 1/2$, bei 180 ist sie praktisch 1 ($\approx 1 - e^{-180 \cdot 179 / (2 \cdot 365)} \approx 1 - e^{-44} \approx 1$).

Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::2._Bedingte_Wahrscheinlichkeiten ETH::2._Semester::A&W::Minitests::3

Note 3: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Classic
GUID: bu_xT)V=>+

added

Note did not exist

New Note

Front

Wahr oder falsch?

Für zwei beliebige Ereignisse $A, B$ mit $\Pr[A] > 0$ und $\Pr[B] > 0$ gilt $\Pr[A \mid B]\,\Pr[B] = \Pr[B \mid A]\,\Pr[A]$.

Back

Wahr oder falsch?

Für zwei beliebige Ereignisse $A, B$ mit $\Pr[A] > 0$ und $\Pr[B] > 0$ gilt $\Pr[A \mid B]\,\Pr[B] = \Pr[B \mid A]\,\Pr[A]$.

Wahr.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Wahr oder falsch?<br><br>Für zwei beliebige Ereignisse $A, B$ mit $\Pr[A] > 0$ und $\Pr[B] > 0$ gilt $\Pr[A \mid B]\,\Pr[B] = \Pr[B \mid A]\,\Pr[A]$.
Back		Wahr.

Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::2._Bedingte_Wahrscheinlichkeiten ETH::2._Semester::A&W::Minitests::3

Note 4: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Classic
GUID: c4~PL6kQ=+

added

Note did not exist

New Note

Front

Wahr oder falsch?

Wenn $A, B, C$ drei Ereignisse sind, die
$\Pr[A \cap B] = \Pr[A]\,\Pr[B]$,
$\Pr[A \cap C] = \Pr[A]\,\Pr[C]$ und
$\Pr[B \cap C] = \Pr[B]\,\Pr[C]$
erfüllen, dann sind $A, B, C$ unabhängig.

Back

Falsch.

Das ist nur paarweise Unabhängigkeit. Für (vollständige) Unabhängigkeit braucht's zusätzlich $\Pr[A \cap B \cap C] = \Pr[A]\,\Pr[B]\,\Pr[C]$. Klassisches Gegenbeispiel: zwei faire Münzen, $A$ = erste zeigt Kopf, $B$ = zweite zeigt Kopf, $C$ = beide gleich. Paarweise unabhängig, aber nicht unabhängig.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Wahr oder falsch?<br><br>Wenn $A, B, C$ drei Ereignisse sind, die <br>$\Pr[A \cap B] = \Pr[A]\,\Pr[B]$, <br>$\Pr[A \cap C] = \Pr[A]\,\Pr[C]$ und <br>$\Pr[B \cap C] = \Pr[B]\,\Pr[C]$ <br>erfüllen, dann sind $A, B, C$ unabhängig.
Back		Falsch.<br><br>Das ist nur paarweise Unabhängigkeit. Für (vollständige) Unabhängigkeit braucht's zusätzlich $\Pr[A \cap B \cap C] = \Pr[A]\,\Pr[B]\,\Pr[C]$. Klassisches Gegenbeispiel: zwei faire Münzen, $A$ = erste zeigt Kopf, $B$ = zweite zeigt Kopf, $C$ = beide gleich. Paarweise unabhängig, aber nicht unabhängig.

Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::3._Unabhängigkeit ETH::2._Semester::A&W::Minitests::3

Note 5: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Classic
GUID: cBV}$&t!)$

added

Note did not exist

New Note

Front

Wahr oder falsch?

Man wirft einen sechsseitigen Würfel. Dann sind die Ereignisse „$A$ = Ergebnis ist gerade“ und „$B$ = Ergebnis ist 6“ unabhängig.

Back

Wahr oder falsch?

Man wirft einen sechsseitigen Würfel. Dann sind die Ereignisse „$A$ = Ergebnis ist gerade“ und „$B$ = Ergebnis ist 6“ unabhängig.

Falsch.

$\Pr[A] = 1/2$, $\Pr[B] = 1/6$, also $\Pr[A]\Pr[B] = 1/12$, aber $\Pr[A \cap B] = \Pr[\{6\}] = 1/6 \neq 1/12$. $B \subseteq A$, also sind die Ereignisse gerade nicht unabhängig.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Wahr oder falsch?<br><br>Man wirft einen sechsseitigen Würfel. Dann sind die Ereignisse „$A$ = Ergebnis ist gerade“ und „$B$ = Ergebnis ist 6“ unabhängig.
Back		Falsch.<br><br>$\Pr[A] = 1/2$, $\Pr[B] = 1/6$, also $\Pr[A]\Pr[B] = 1/12$, aber $\Pr[A \cap B] = \Pr[\{6\}] = 1/6 \neq 1/12$. $B \subseteq A$, also sind die Ereignisse gerade nicht unabhängig.

Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::3._Unabhängigkeit ETH::2._Semester::A&W::Minitests::3

Note 6: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Classic
GUID: emWM#N],tC

added

Note did not exist

New Note

Front

Wahr oder falsch?

Wenn $A$ und $B$ unabhängige Ereignisse sind, dann ist $\Pr[A \cup B] = \Pr[A] + \Pr[B]$.

Back

Wahr oder falsch?

Wenn $A$ und $B$ unabhängige Ereignisse sind, dann ist $\Pr[A \cup B] = \Pr[A] + \Pr[B]$.

Falsch.

Verwechselt Unabhängigkeit mit Disjunktheit. Für unabhängige Ereignisse gilt $\Pr[A \cup B] = \Pr[A] + \Pr[B] - \Pr[A]\Pr[B]$. Die Formel $\Pr[A \cup B] = \Pr[A] + \Pr[B]$ gilt nur für disjunkte Ereignisse.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Wahr oder falsch?<br><br>Wenn $A$ und $B$ unabhängige Ereignisse sind, dann ist $\Pr[A \cup B] = \Pr[A] + \Pr[B]$.
Back		Falsch.<br><br>Verwechselt Unabhängigkeit mit Disjunktheit. Für unabhängige Ereignisse gilt $\Pr[A \cup B] = \Pr[A] + \Pr[B] - \Pr[A]\Pr[B]$. Die Formel $\Pr[A \cup B] = \Pr[A] + \Pr[B]$ gilt nur für disjunkte Ereignisse.

Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::1._Grundbegriffe_und_Notationen ETH::2._Semester::A&W::Minitests::3

Note 7: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Classic
GUID: ha%W|}X%+q

added

Note did not exist

New Note

Front

Wahr oder falsch?

Wenn $A, B, C$ drei unabhängige Ereignisse sind, dann
$\Pr[A \cap B] = \Pr[A]\,\Pr[B]$,
$\Pr[B \cap C] = \Pr[B]\,\Pr[C]$, und
$\Pr[A \cap C] = \Pr[A]\,\Pr[C]$.

Back

Wahr oder falsch?

Wenn $A, B, C$ drei unabhängige Ereignisse sind, dann
$\Pr[A \cap B] = \Pr[A]\,\Pr[B]$,
$\Pr[B \cap C] = \Pr[B]\,\Pr[C]$, und
$\Pr[A \cap C] = \Pr[A]\,\Pr[C]$.

Wahr.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Wahr oder falsch?<br><br>Wenn $A, B, C$ drei unabhängige Ereignisse sind, dann <br>$\Pr[A \cap B] = \Pr[A]\,\Pr[B]$, <br>$\Pr[B \cap C] = \Pr[B]\,\Pr[C]$, und <br>$\Pr[A \cap C] = \Pr[A]\,\Pr[C]$.
Back		Wahr.

Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::3._Unabhängigkeit ETH::2._Semester::A&W::Minitests::3

Note 8: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Classic
GUID: lNs[C|5(_n

added

Note did not exist

New Note

Front

Wahr oder falsch?

Angenommen, $G$ ist ein Graph, der eine Eulertour enthält, und die Anzahl Knoten von $G$ ist gerade. Dann enthält $G$ ein perfektes Matching.

Back

Wahr oder falsch?

Angenommen, $G$ ist ein Graph, der eine Eulertour enthält, und die Anzahl Knoten von $G$ ist gerade. Dann enthält $G$ ein perfektes Matching.

Falsch.

Gegenbeispiel: Nimm $K_4$ und hänge an zwei benachbarte Knoten je einen „Anhänger" aus zwei Knoten, verbunden durch eine Doppelkante (Multigraph), dann hat jeder Knoten geraden Grad (Eulertour existiert), die Knotenzahl ist gerade, aber die Anhänger-Endknoten lassen sich nicht matchen, ohne einen der $K_4$-Knoten doppelt zu benutzen.

Allgemein: Eulertour garantiert nur gerade Grade und Zusammenhang, das impliziert kein perfektes Matching.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front		Wahr oder falsch?<br><br>Angenommen, $G$ ist ein Graph, der eine Eulertour enthält, und die Anzahl Knoten von $G$ ist gerade. Dann enthält $G$ ein perfektes Matching.
Back		Falsch.<br><br>Gegenbeispiel: Nimm $K_4$ und hänge an zwei benachbarte Knoten je einen „Anhänger" aus zwei Knoten, verbunden durch eine Doppelkante (Multigraph), dann hat jeder Knoten geraden Grad (Eulertour existiert), die Knotenzahl ist gerade, aber die Anhänger-Endknoten lassen sich nicht matchen, ohne einen der $K_4$-Knoten doppelt zu benutzen. <br><br>Allgemein: Eulertour garantiert nur gerade Grade und Zusammenhang, das impliziert kein perfektes Matching.

Tags: ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::6._Matchings ETH::2._Semester::A&W::Minitests::3

Note 9: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Cloze
GUID: lmx-i$=F@G

added

Note did not exist

New Note

Front

Seien $\delta, \varepsilon > 0$. Falls ${{c1::N \geq 3\,\frac{|U|}{|S|} \cdot \frac{1}{\varepsilon^2} \cdot \ln(\tfrac{2}{\delta})}}$,
ist die Ausgabe $Y$ von Target-Shooting mit Wahrscheinlichkeit mindestens $1 - \delta$ im Intervall \[{{c2::\left[(1-\varepsilon)\frac{|S|}{|U|},\; (1+\varepsilon)\frac{|S|}{|U|}\right]}}.\]

Back

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text		Seien $\delta, \varepsilon > 0$. Falls ${{c1::N \geq 3\,\frac{\|U\|}{\|S\|} \cdot \frac{1}{\varepsilon^2} \cdot \ln(\tfrac{2}{\delta})}}$, <br>ist die Ausgabe $Y$ von <span style="font-variant: small-caps;">Target-Shooting</span> mit Wahrscheinlichkeit mindestens $1 - \delta$ im Intervall \[{{c2::\left[(1-\varepsilon)\frac{\|S\|}{\|U\|},\; (1+\varepsilon)\frac{\|S\|}{\|U\|}\right]}}.\]<br>

Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::8._Randomisierte_Algorithmen::4._Target-Shooting

Note 10: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Cloze
GUID: pZ{-.]DTX_

modified

Before

Front

Sei $X$ eine Zufallsvariable, die nur nicht-negative Werte annimmt.
Dann gilt für all $t \in \mathbb{R}$ mit $t > 0$, dass\[{{c1::\Pr\left[X \geq t\right] \leq \frac{\mathbb{E}[X]}{t}.}}\]Oder äquivalent dazu,\[{{c2::\Pr\left[X \geq t \cdot \mathbb{E}[X]\right] \leq \frac{1}{t}.}}\]

Back

After

Front

Sei $X$ eine Zufallsvariable, die nur nicht-negative Werte annimmt.
Dann gilt für alle $t \in \mathbb{R}$ mit $t > 0$, dass\[{{c1::\Pr\left[X \geq t\right] \leq \frac{\mathbb{E}[X]}{t}.}}\]Oder äquivalent dazu,\[{{c2::\Pr\left[X \geq t \cdot \mathbb{E}[X]\right] \leq \frac{1}{t}.}}\]

Back

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	Sei $X$ eine Zufallsvariable, die nur nicht-negative Werte annimmt. <br>Dann gilt für all $t \in \mathbb{R}$ mit $t > 0$, dass\[{{c1::\Pr\left[X \geq t\right] \leq \frac{\mathbb{E}[X]}{t}.}}\]Oder äquivalent dazu,\[{{c2::\Pr\left[X \geq t \cdot \mathbb{E}[X]\right] \leq \frac{1}{t}.}}\]	Sei $X$ eine Zufallsvariable, die nur nicht-negative Werte annimmt. <br>Dann gilt für alle $t \in \mathbb{R}$ mit $t > 0$, dass\[{{c1::\Pr\left[X \geq t\right] \leq \frac{\mathbb{E}[X]}{t}.}}\]Oder äquivalent dazu,\[{{c2::\Pr\left[X \geq t \cdot \mathbb{E}[X]\right] \leq \frac{1}{t}.}}\]

Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::7._Abschätzen_von_Wahrscheinlichkeiten::1._Die_Ungleichungen_von_Markov_und_Chebyshev

Note 11: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Cloze
GUID:

pt-ci_M_


            added
            

            
            
            
                
                    Previous
                    Note did not exist
                
                
                    New Note
                    
                    
                        Front
                        
                            
  ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::7._Abschätzen_von_Wahrscheinlichkeiten::2._Die_Ungleichung_von_Chernoff
  
  
    Seien \(X_1, \ldots, X_n\) unabhängige Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen mit \(\Pr[X_i = 1] = p_i\) und \(\Pr[X_i = 0] = 1 - p_i\).

Dann gilt für \(X = \sum_{i=1}^{n} X_i\)
\(\Pr[X \geq (1+\delta)\,\mathbb{E}[X]] \;\leq\; {{c1::e^{-\frac{1}{3}\delta^2\,\mathbb{E}[X]} }}\) für alle \(0 < \delta \leq 1\)
\(\Pr[X \leq (1-\delta)\,\mathbb{E}[X]] \;\geq\; {{c2::e^{-\frac{1}{2}\delta^2\,\mathbb{E}[X]} }}\) für alle \(0 < \delta \leq 1\)
\(\Pr[X \geq t] \;\leq\; {{c3::2^{-t} }}\) für alle \(t \geq 2e\,\mathbb{E}[X]\).
  



                        
                    
                    
                        Back
                        
                            
  ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::7._Abschätzen_von_Wahrscheinlichkeiten::2._Die_Ungleichung_von_Chernoff
  
  
    Seien \(X_1, \ldots, X_n\) unabhängige Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen mit \(\Pr[X_i = 1] = p_i\) und \(\Pr[X_i = 0] = 1 - p_i\).

Dann gilt für \(X = \sum_{i=1}^{n} X_i\)
\(\Pr[X \geq (1+\delta)\,\mathbb{E}[X]] \;\leq\; {{c1::e^{-\frac{1}{3}\delta^2\,\mathbb{E}[X]} }}\) für alle \(0 < \delta \leq 1\)
\(\Pr[X \leq (1-\delta)\,\mathbb{E}[X]] \;\geq\; {{c2::e^{-\frac{1}{2}\delta^2\,\mathbb{E}[X]} }}\) für alle \(0 < \delta \leq 1\)
\(\Pr[X \geq t] \;\leq\; {{c3::2^{-t} }}\) für alle \(t \geq 2e\,\mathbb{E}[X]\).
    
    
  



                        
                    
                    
                
            

            

            
            
            
                Field-by-field Comparison
                
                    
                        
                            Field
                            Before
                            After
                        
                    
                    
                        
                        
                            Text
                            
                            Seien \(X_1, \ldots, X_n\) unabhängige Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen mit \(\Pr[X_i = 1] = p_i\) und \(\Pr[X_i = 0] = 1 - p_i\).<br>
Dann gilt für \(X = \sum_{i=1}^{n} X_i\)<br><ol><li>\(\Pr[X \geq (1+\delta)\,\mathbb{E}[X]] \;\leq\; {{c1::e^{-\frac{1}{3}\delta^2\,\mathbb{E}[X]} }}\) für alle \(0 &lt; \delta \leq 1\)</li><li>\(\Pr[X \leq (1-\delta)\,\mathbb{E}[X]] \;\geq\; {{c2::e^{-\frac{1}{2}\delta^2\,\mathbb{E}[X]} }}\) für alle \(0 &lt; \delta \leq 1\)</li><li>\(\Pr[X \geq t] \;\leq\; {{c3::2^{-t} }}\) für alle \(t \geq 2e\,\mathbb{E}[X]\).</li></ol>
                        
                        
                    
                
            
            

            
            
            
                Tags:
                
                    
                    
                    
                    
                    
                    
                    ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::7._Abschätzen_von_Wahrscheinlichkeiten::2._Die_Ungleichung_von_Chernoff

Field	Before	After
Text		Seien \(X_1, \ldots, X_n\) unabhängige Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen mit \(\Pr[X_i = 1] = p_i\) und \(\Pr[X_i = 0] = 1 - p_i\).<br> Dann gilt für \(X = \sum_{i=1}^{n} X_i\)<br><ol><li>\(\Pr[X \geq (1+\delta)\,\mathbb{E}[X]] \;\leq\; {{c1::e^{-\frac{1}{3}\delta^2\,\mathbb{E}[X]} }}\) für alle \(0 < \delta \leq 1\)</li><li>\(\Pr[X \leq (1-\delta)\,\mathbb{E}[X]] \;\geq\; {{c2::e^{-\frac{1}{2}\delta^2\,\mathbb{E}[X]} }}\) für alle \(0 < \delta \leq 1\)</li><li>\(\Pr[X \geq t] \;\leq\; {{c3::2^{-t} }}\) für alle \(t \geq 2e\,\mathbb{E}[X]\).</li></ol>


        
        
            Note 12: ETH::2. Semester::A&W
            
                Deck: ETH::2. Semester::A&W

                Note Type: Horvath Classic

                GUID: qK$AW&dyG1
            
            added
            

            
            
            
                
                    Previous
                    Note did not exist
                
                
                    New Note
                    
                    
                        Front
                        
                            
  ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::1._Grundbegriffe_und_Notationen ETH::2._Semester::A&W::Minitests::3
  
  
    Wahr oder falsch?

Wir betrachten folgendes Zufallsexperiment: 
Wir werfen zunächst einen 6-seitigen Würfel und danach eine Münze. Dieses Zufallsexperiment lässt sich mit der Ergebnismenge \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, K, Z\}\) beschreiben.
  



                        
                    
                    
                        Back
                        
                            
  ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::1._Grundbegriffe_und_Notationen ETH::2._Semester::A&W::Minitests::3
  
  
    Wahr oder falsch?

Wir betrachten folgendes Zufallsexperiment: 
Wir werfen zunächst einen 6-seitigen Würfel und danach eine Münze. Dieses Zufallsexperiment lässt sich mit der Ergebnismenge \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, K, Z\}\) beschreiben.
    
    Falsch.

Ω muss alle Kombinationen enthalten, nicht die Vereinigung: \(\Omega = \{1,\ldots,6\} \times \{K, Z\}\), also 12 Elemente. Bei \(\{1,2,3,4,5,6,K,Z\}\) wäre z. B. "Würfel zeigt 3 und Münze zeigt K" gar kein Element.
  






                        
                    
                    
                
            

            

            
            
            
                Field-by-field Comparison
                
                    
                        
                            Field
                            Before
                            After
                        
                    
                    
                        
                        
                            Front
                            
                            Wahr oder falsch?<br><br>Wir betrachten folgendes Zufallsexperiment: <br>Wir werfen zunächst einen 6-seitigen Würfel und danach eine Münze. Dieses Zufallsexperiment lässt sich mit der Ergebnismenge \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, K, Z\}\) beschreiben.
                        
                        
                        
                            Back
                            
                            Falsch.<br><br>Ω muss alle Kombinationen enthalten, nicht die Vereinigung: \(\Omega = \{1,\ldots,6\} \times \{K, Z\}\), also 12 Elemente. Bei \(\{1,2,3,4,5,6,K,Z\}\) wäre z. B. "Würfel zeigt 3 und Münze zeigt K" gar kein Element.
                        
                        
                    
                
            
            

            
            
            
                Tags:
                
                    
                    
                    
                    
                    
                    
                    ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::1._Grundbegriffe_und_Notationen
                    
                    ETH::2._Semester::A&W::Minitests::3
                    
                
            
            
        
        
        
            Note 13: ETH::2. Semester::A&W
            
                Deck: ETH::2. Semester::A&W

                Note Type: Horvath Classic

                GUID: sX~}|v&|ng
            
            added
            

            
            
            
                
                    Previous
                    Note did not exist
                
                
                    New Note
                    
                    
                        Front
                        
                            
  ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::1._Grundbegriffe_und_Notationen ETH::2._Semester::A&W::Minitests::3
  
  
    Wahr oder falsch?

Für drei beliebige Ereignisse \(A, B, C\) gilt \(\Pr[A \cup B \cup C] = \Pr[A] + \Pr[B] + \Pr[C] - \Pr[A \cap B] - \Pr[A \cap C] - \Pr[B \cap C] + \Pr[A \cap B \cap C]\).
  



                        
                    
                    
                        Back
                        
                            
  ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::1._Grundbegriffe_und_Notationen ETH::2._Semester::A&W::Minitests::3
  
  
    Wahr oder falsch?

Für drei beliebige Ereignisse \(A, B, C\) gilt \(\Pr[A \cup B \cup C] = \Pr[A] + \Pr[B] + \Pr[C] - \Pr[A \cap B] - \Pr[A \cap C] - \Pr[B \cap C] + \Pr[A \cap B \cap C]\).
    
    Wahr.
  






                        
                    
                    
                
            

            

            
            
            
                Field-by-field Comparison
                
                    
                        
                            Field
                            Before
                            After
                        
                    
                    
                        
                        
                            Front
                            
                            Wahr oder falsch?<br><br>Für drei beliebige Ereignisse \(A, B, C\) gilt \(\Pr[A \cup B \cup C] = \Pr[A] + \Pr[B] + \Pr[C] - \Pr[A \cap B] - \Pr[A \cap C] - \Pr[B \cap C] + \Pr[A \cap B \cap C]\).
                        
                        
                        
                            Back
                            
                            Wahr.
                        
                        
                    
                
            
            

            
            
            
                Tags:
                
                    
                    
                    
                    
                    
                    
                    ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::1._Grundbegriffe_und_Notationen
                    
                    ETH::2._Semester::A&W::Minitests::3

Field	Before	After
Front		Wahr oder falsch?<br><br>Wenn \(A, B, C\) drei Ereignisse sind, die <br>\(\Pr[A \cap B] = \Pr[A]\,\Pr[B]\), <br>\(\Pr[A \cap C] = \Pr[A]\,\Pr[C]\) und <br>\(\Pr[B \cap C] = \Pr[B]\,\Pr[C]\) <br>erfüllen, dann sind \(A, B, C\) unabhängig.
Back		Falsch.<br><br>Das ist nur paarweise Unabhängigkeit. Für (vollständige) Unabhängigkeit braucht's zusätzlich \(\Pr[A \cap B \cap C] = \Pr[A]\,\Pr[B]\,\Pr[C]\). Klassisches Gegenbeispiel: zwei faire Münzen, \(A\) = erste zeigt Kopf, \(B\) = zweite zeigt Kopf, \(C\) = beide gleich. Paarweise unabhängig, aber nicht unabhängig.

Field	Before	After
Front		Wahr oder falsch?<br><br>Wenn \(A\) und \(B\) unabhängige Ereignisse sind, dann ist \(\Pr[A \cup B] = \Pr[A] + \Pr[B]\).
Back		Falsch.<br><br>Verwechselt Unabhängigkeit mit Disjunktheit. Für unabhängige Ereignisse gilt \(\Pr[A \cup B] = \Pr[A] + \Pr[B] - \Pr[A]\Pr[B]\). Die Formel \(\Pr[A \cup B] = \Pr[A] + \Pr[B]\) gilt nur für disjunkte Ereignisse.

Field	Before	After
Front		Wahr oder falsch?<br><br>Angenommen, \(G\) ist ein Graph, der eine Eulertour enthält, und die Anzahl Knoten von \(G\) ist gerade. Dann enthält \(G\) ein perfektes Matching.
Back		Falsch.<br><br>Gegenbeispiel: Nimm \(K_4\) und hänge an zwei benachbarte Knoten je einen „Anhänger" aus zwei Knoten, verbunden durch eine Doppelkante (Multigraph), dann hat jeder Knoten geraden Grad (Eulertour existiert), die Knotenzahl ist gerade, aber die Anhänger-Endknoten lassen sich nicht matchen, ohne einen der \(K_4\)-Knoten doppelt zu benutzen. <br><br>Allgemein: Eulertour garantiert nur gerade Grade und Zusammenhang, das impliziert kein perfektes Matching.

Field	Before	After
Front		Wahr oder falsch?<br><br>Wir betrachten folgendes Zufallsexperiment: <br>Wir werfen zunächst einen 6-seitigen Würfel und danach eine Münze. Dieses Zufallsexperiment lässt sich mit der Ergebnismenge \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, K, Z\}\) beschreiben.
Back		Falsch.<br><br>Ω muss alle Kombinationen enthalten, nicht die Vereinigung: \(\Omega = \{1,\ldots,6\} \times \{K, Z\}\), also 12 Elemente. Bei \(\{1,2,3,4,5,6,K,Z\}\) wäre z. B. "Würfel zeigt 3 und Münze zeigt K" gar kein Element.

Field	Before	After
Front		Wahr oder falsch?<br><br>Für drei beliebige Ereignisse \(A, B, C\) gilt \(\Pr[A \cup B \cup C] = \Pr[A] + \Pr[B] + \Pr[C] - \Pr[A \cap B] - \Pr[A \cap C] - \Pr[B \cap C] + \Pr[A \cap B \cap C]\).
Back		Wahr.