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Note 1: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: Hr{NV+|lFT

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Before

Front

Weierstrass: Für eine {{c1:: monotone Folge reeller Zahlen $(a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$}} gilt: sie konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.

Back

Weierstrass: Für eine {{c1:: monotone Folge reeller Zahlen $(a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$}} gilt: sie konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.

Falls die Folge monoton wachsend ist, gilt: \[ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \sup \{a_n \mid n \in \mathbb{N}_0\} \]Falls die Folge monoton fallend ist, gilt:\[\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \inf \{ a_n \mid n \in \mathbb{N}_0\}\]

After

Front

Für eine {{c1:: monotone Folge reeller Zahlen $(a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$}} gilt: sie konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.

Back

Für eine {{c1:: monotone Folge reeller Zahlen $(a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$}} gilt: sie konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.

(Weierstrass)

Falls die Folge monoton wachsend ist, gilt: \[ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \sup \{a_n \mid n \in \mathbb{N}_0\} \]Falls die Folge monoton fallend ist, gilt:\[\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \inf \{ a_n \mid n \in \mathbb{N}_0\}\]

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	~~<b>Weierstrass:</b> ~~Für eine {{c1:: monotone Folge reeller Zahlen $(a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$}} gilt: sie {{c2::konvergiert}} genau dann, wenn {{c2::sie beschränkt ist}}.	Für eine {{c1:: monotone Folge reeller Zahlen $(a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$}} gilt: sie {{c2::konvergiert}} genau dann, wenn {{c2::sie beschränkt ist}}.
Extra	Falls die Folge <i>monoton wachsend</i> ist, gilt: \[ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \sup \{a_n \mid n \in \mathbb{N}_0\} \]Falls die Folge <i>monoton fallend</i> ist, gilt:\[\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \inf \{ a_n \mid n \in \mathbb{N}_0\}\]	(Weierstrass)<br><br>Falls die Folge <i>monoton wachsend</i> ist, gilt: \[ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \sup \{a_n \mid n \in \mathbb{N}_0\} \]Falls die Folge <i>monoton fallend</i> ist, gilt:\[\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \inf \{ a_n \mid n \in \mathbb{N}_0\}\]

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::3._Kriterien

Note 2: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: I{:c-3y`e$

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Front

Bolzano-Weierstrass
Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat einen Häufungspunkt und eine konvergente Teilfolge.

Proof idea included

Back

Bolzano-Weierstrass
Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat einen Häufungspunkt und eine konvergente Teilfolge.

Proof idea included

Beachte, dies gilt nur für die 1-norm.

Proof Idea: Nested Intervals. Always bisect the interval. Since the sequence is infinite, at least one of the intervals must contain an infinite amount of terms.

After

Front

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat einen Häufungspunkt und eine konvergente Teilfolge.

Proof idea included

Back

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat einen Häufungspunkt und eine konvergente Teilfolge.

Proof idea included

(Bolzano-Weierstrass)

Beachte: Dies gilt nur für die 1-norm!

Proof Idea: Nested Intervals. Always bisect the interval. Since the sequence is infinite, at least one of the intervals must contain an infinite amount of terms.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	~~<b>Bolzano-Weierstrass</b> <br>~~Jede {{c1::beschränkte Folge reeller Zahlen}} hat {{c2::einen Häufungspunkt und eine konvergente Teilfolge}}.<br><br><i>Proof idea included</i>	Jede {{c1::beschränkte Folge reeller Zahlen}} hat {{c2::einen Häufungspunkt und eine konvergente Teilfolge}}.<br><br><i>Proof idea included</i>
Extra	<div>Beachte~~, d~~ies gilt nur für die 1-norm.</div><div><br></div><div><div><b>Proof Idea:</b> Nested Intervals. Always bisect the interval. Since the sequence is infinite, at least one of the intervals must contain an infinite amount of terms.</div></div>	<div>(Bolzano-Weierstrass)</div><div><br></div><div>Beachte: Dies gilt nur für die 1-norm!</div><div><br></div><div><div><b>Proof Idea:</b> Nested Intervals. Always bisect the interval. Since the sequence is infinite, at least one of the intervals must contain an infinite amount of terms.</div></div>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::2._Properties

Note 3: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: JR/@uyV;TY

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Trick: In Form von $e^x$ bringen

Back

Trick: In Form von $e^x$ bringen

Benutze Limit von $\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x$.

Beispiel: Für $(\frac{n}{n + 1})^n = (\frac{n + 1}{n})^{-n}$. Dann trennen wir $(1 + \frac{1}{n})^{-n}$ and extract the exponent $((1 + \frac{1}{n})^n)^{-1}$. Dann können wir den Limes berechnen und erhalten $e^{-1}$.

After

Front

Wie kann man einen Ausdruck in die Form von $e^x$ bringen?

Back

Wie kann man einen Ausdruck in die Form von $e^x$ bringen?

Via $\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x$.

Beispiel:
Zunächst formen wir um: $(\frac{n}{n + 1})^n = (\frac{n + 1}{n})^{-n}$. Dann trennen wir $(1 + \frac{1}{n})^{-n}$ und extrahieren den Exponenten $((1 + \frac{1}{n})^n)^{-1}$. Schliesslich können wir den Limes berechnen und erhalten $e^{-1}$.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front	~~<b>Trick: </b>In~~ Form von $e^x$ bringen	Wie kann man einen Ausdruck in die Form von $e^x$ bringen?
Back	~~Benutze Limit von~~ $\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x$. <br><br><b>Beispiel:</b> ~~Für~~ $(\frac{n}{n + 1})^n = (\frac{n + 1}{n})^{-n}$. Dann trennen wir $(1 + \frac{1}{n})^{-n}$ and extra~~ct the exponent~~ $((1 + \frac{1}{n})^n)^{-1}$. ~~Dann~~ können wir den Limes berechnen und erhalten $e^{-1}$.	Via $\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x$. <br><br><b>Beispiel:</b> <br>Zunächst formen wir um: $(\frac{n}{n + 1})^n = (\frac{n + 1}{n})^{-n}$. Dann trennen wir $(1 + \frac{1}{n})^{-n}$ und extrahieren den Exponenten $((1 + \frac{1}{n})^n)^{-1}$. Schliesslich können wir den Limes berechnen und erhalten $e^{-1}$.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::5._Tricks

Note 4: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: JRhXP./lD.

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Front

Limes inferior / superior existieren für jede Folge.

Back

Limes inferior / superior existieren für jede Folge.

After

Front

Limes inferior/superior existieren für jede Folge.

Back

Limes inferior/superior existieren für jede Folge.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	<div>Limes inferior / superior existieren für {{c1:: jede :: ~~Kondition~~}} Folge.</div>	<div>Limes inferior/superior existieren für {{c1::jede::keine/so manche/jede}} Folge.</div>

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::3._Häufungspunkte::2._Limsup_und_Liminf

Note 5: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: brd3Sz58A6

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Front

$\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{1/n} = 1^0$ist nicht unbestimmt
$\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{n} = 1^\infty$ist unbestimmt

Back

$\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{1/n} = 1^0$ist nicht unbestimmt
$\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{n} = 1^\infty$ist unbestimmt

Das ergibt dann $1^{1/n} = 1^0 = 1$.

Bei einem Fall wie $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ ist der Grenzwert in der Wurzel zwar auch 1, wir potenzieren aber gegen $\infty$: $1^{\infty}$ ist unbestimmt!
Daher können wir nicht einfach sagen $1^n = 1$, wir dürfen den limes nicht reinziehen.

After

Front

$\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{1/n} = 1^0$ ist bestimmt
$\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{n} = 1^\infty$ ist unbestimmt

Back

$\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{1/n} = 1^0$ ist bestimmt
$\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{n} = 1^\infty$ ist unbestimmt

Denn: $1^{1/n} = 1^0 = 1$.

Bei einem Fall wie $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ ist der Grenzwert in der Wurzel zwar auch 1, wir potenzieren aber gegen $\infty$ und $1^{\infty}$ ist unbestimmt, weswegen wir auch hier keinen Grenzwert bestimmen können.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	<ul><li>$\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{1/n} = 1^0$ist {{c1:: ~~nicht un~~bestimmt}}</li><li>$\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{n} = 1^\infty$ist {{c1:: unbestimmt}}</li></ul>	<ul><li>$\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{1/n} = 1^0$ ist {{c1::bestimmt}}</li><li>$\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{n} = 1^\infty$ ist {{c1::unbestimmt}}</li></ul>
Extra	D~~as ergibt da~~nn $1^{1/n} = 1^0 = 1$.<br><br>~~ ~~Bei einem Fall wie $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ ist der Grenzwert in der Wurzel zwar auch 1, wir potenzieren aber gegen $\infty$: $1^{\infty}$ ~~<b>~~ist unbestimmt~~!</b><br>Daher können wir nicht einfach sagen $1^n = 1$, wir dürfen den limes nicht reinzieh~~en.	Denn: $1^{1/n} = 1^0 = 1$.<br><br>Bei einem Fall wie $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ ist der Grenzwert in der Wurzel zwar auch 1, wir potenzieren aber gegen $\infty$ und $1^{\infty}$ ist unbestimmt, weswegen wir auch hier keinen Grenzwert bestimmen können.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::5._Tricks

Note 6: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: eZ=#UKHson

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Before

Front

Wie ist eine Folge definiert?

Back

Wie ist eine Folge definiert?

Eine Funktion $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$

After

Front

Was ist eine Folge?

Back

Was ist eine Folge?

Eine Funktion $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$.

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Front	Wie ist eine Folge ~~definiert~~?	Was ist eine Folge?
Back	Eine Funktion $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$	Eine Funktion $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$.

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::1._Folgen

Note 7: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: fz.OMuyaEl

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Before

Front

$\limsup_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c1:: \inf ( \sup \{ a_k \mid k \ge n \}) }}$
$\liminf_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c1:: \sup ( \inf \{ a_k \mid k \ge n \}) }}$

Back

$\limsup_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c1:: \inf ( \sup \{ a_k \mid k \ge n \}) }}$
$\liminf_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c1:: \sup ( \inf \{ a_k \mid k \ge n \}) }}$

Die Folgen $\sup \{ a_k \mid k \ge n \}$ ist monoton fallend (steigend für das Infimum).

After

Front

$\limsup_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c1:: \inf ( \sup \{ a_k \mid k \ge n \}) }}$
$\liminf_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c1:: \sup ( \inf \{ a_k \mid k \ge n \}) }}$

Back

$\limsup_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c1:: \inf ( \sup \{ a_k \mid k \ge n \}) }}$
$\liminf_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c1:: \sup ( \inf \{ a_k \mid k \ge n \}) }}$

Die Folge $\sup \{ a_k \mid k \ge n \}$ ist monoton fallend (steigend für das Infimum).

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Extra	Die Folge~~n $~~\sup \{ a_k \mid k \ge n \}$ ist monoton fallend (steigend für das Infimum).	Die Folge $\sup \{ a_k \mid k \ge n \}$ ist monoton fallend (steigend für das Infimum).

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::3._Häufungspunkte::2._Limsup_und_Liminf

Note 8: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: rV+]yV],iR

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Front

Trick: Potenzen ausfaktorisieren

Back

Trick: Potenzen ausfaktorisieren

Bei rationalen Folgen der Form $a_n = \frac{P(n)}{Q(n)}$ klammert man die höchste Potenz von $n$ im Nenner aus. Dadurch entstehen Terme der Form $\frac{1}{n^k}$, die Nullfolgen bilden. Der Grenzwert wird dann ausschliesslich durch die führenden Koeffizienten bestimmt:` \[\frac{\alpha_p \, n^p + \ldots}{\beta_q \, n^q + \ldots} \;\longrightarrow\; \begin{cases} \frac{\alpha_p}{\beta_q} & \text{falls } p = q \\ 0 & \text{falls } p < q \\ \text{divergent} & \text{falls } p > q \end{cases}\]

After

Front

Trick: Potenzen ausfaktorisieren

Back

Trick: Potenzen ausfaktorisieren

Bei rationalen Folgen der Form $a_n = \frac{P(n)}{Q(n)}$ klammert man die höchste Potenz von $n$ im Nenner aus. Dadurch entstehen Terme der Form $\frac{1}{n^k}$, die Nullfolgen bilden. Der Grenzwert wird dann ausschliesslich durch die führenden Koeffizienten bestimmt: \[\frac{\alpha_p \, n^p + \ldots}{\beta_q \, n^q + \ldots} \;\longrightarrow\; \begin{cases} \frac{\alpha_p}{\beta_q} & \text{falls } p = q \\ 0 & \text{falls } p < q \\ \text{divergent} & \text{falls } p > q \end{cases}\]

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Back	Bei rationalen Folgen der Form $a_n = \frac{P(n)}{Q(n)}$ klammert man die höchste Potenz von $n$ im Nenner aus. Dadurch entstehen Terme der Form $\frac{1}{n^k}$, die Nullfolgen bilden. Der Grenzwert wird dann ausschliesslich durch die führenden Koeffizienten bestimmt:` \[\frac{\alpha_p \, n^p + \ldots}{\beta_q \, n^q + \ldots} \;\longrightarrow\; \begin{cases} \frac{\alpha_p}{\beta_q} & \text{falls } p = q \\ 0 & \text{falls } p < q \\ \text{divergent} & \text{falls } p > q \end{cases}\]	Bei rationalen Folgen der Form $a_n = \frac{P(n)}{Q(n)}$ klammert man die höchste Potenz von $n$ im Nenner aus. Dadurch entstehen Terme der Form $\frac{1}{n^k}$, die Nullfolgen bilden. Der Grenzwert wird dann ausschliesslich durch die führenden Koeffizienten bestimmt: \[\frac{\alpha_p \, n^p + \ldots}{\beta_q \, n^q + \ldots} \;\longrightarrow\; \begin{cases} \frac{\alpha_p}{\beta_q} & \text{falls } p = q \\ 0 & \text{falls } p < q \\ \text{divergent} & \text{falls } p > q \end{cases}\]

Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::5._Tricks

Note 9: ETH::2. Semester::DDCA

Deck: ETH::2. Semester::DDCA
Note Type: Horvath Cloze
GUID: tqA%.|md]&

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Before

Front

OutputEncoding:

Outputs are directly accessible in the state encoding
For the traffic light example, since we have 3 outputs (light color), encode state with 3 bits, where each bit represents a color
Minimizes output logic
Only works for Moore Machines (output function of state)

Back

OutputEncoding:

Outputs are directly accessible in the state encoding
For the traffic light example, since we have 3 outputs (light color), encode state with 3 bits, where each bit represents a color
Minimizes output logic
Only works for Moore Machines (output function of state)

Example states: 001, 010, 100, 110

Bit₀ encodes green light output
Bit₁ encodes yellow light output
Bit₂ encodes red light output

After

Front

Output Encoding:

Outputs are directly accessible in the state encoding
For the traffic light example, since we have 3 outputs (light color), encode state with 3 bits, where each bit represents a color
Minimizes output logic
Only works for Moore Machines (output function of state)

Back

Output Encoding:

Outputs are directly accessible in the state encoding
For the traffic light example, since we have 3 outputs (light color), encode state with 3 bits, where each bit represents a color
Minimizes output logic
Only works for Moore Machines (output function of state)

Example states: 001, 010, 100, 110

Bit₀ encodes green light output
Bit₁ encodes yellow light output
Bit₂ encodes red light output

Field-by-field Comparison

Field	Before	After
Text	<div><div>{{c1::Output}}<strong>Encoding:</strong></div> <ul> <li>Outputs are <strong>directly accessible</strong> in the state encoding</li><li>For the traffic light example, since we have <strong>3 outputs</strong> (light color), encode state with <strong>3 bits</strong>, where each bit represents a color</li><li><strong>Minimizes</strong> {{c2::output logic}}</li><li>Only works for Moore Machines (output function of state)</li></ul></div><br>	<div><div>{{c1::Output}} <strong>Encoding:</strong></div> <ul> <li>Outputs are <strong>directly accessible</strong> in the state encoding</li><li>For the traffic light example, since we have <strong>3 outputs</strong> (light color), encode state with <strong>3 bits</strong>, where each bit represents a color</li><li><strong>Minimizes</strong> {{c2::output logic}}</li><li>Only works for Moore Machines (output function of state)</li></ul></div><br>

Tags: ETH::2._Semester::DDCA::04a._Sequential_Logic_Design_II_&_Finite_State_Machines::06._Finite_State_Machine:_State_Encoding

Field	Before	After
Front	~~<b>Trick: </b>In~~ Form von \(e^x\) bringen	Wie kann man einen Ausdruck in die Form von \(e^x\) bringen?
Back	~~Benutze Limit von~~ \(\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x\). <br><br><b>Beispiel:</b> ~~Für~~ \((\frac{n}{n + 1})^n = (\frac{n + 1}{n})^{-n}\). Dann trennen wir \((1 + \frac{1}{n})^{-n}\) and extra~~ct the exponent~~ \(((1 + \frac{1}{n})^n)^{-1}\). ~~Dann~~ können wir den Limes berechnen und erhalten \(e^{-1}\).	Via \(\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x\). <br><br><b>Beispiel:</b> <br>Zunächst formen wir um: \((\frac{n}{n + 1})^n = (\frac{n + 1}{n})^{-n}\). Dann trennen wir \((1 + \frac{1}{n})^{-n}\) und extrahieren den Exponenten \(((1 + \frac{1}{n})^n)^{-1}\). Schliesslich können wir den Limes berechnen und erhalten \(e^{-1}\).

Field	Before	After
Text	<ul><li>\(\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{1/n} = 1^0\)ist {{c1:: ~~nicht un~~bestimmt}}</li><li>\(\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{n} = 1^\infty\)ist {{c1:: unbestimmt}}</li></ul>	<ul><li>\(\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{1/n} = 1^0\) ist {{c1::bestimmt}}</li><li>\(\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{n} = 1^\infty\) ist {{c1::unbestimmt}}</li></ul>
Extra	D~~as ergibt da~~nn \(1^{1/n} = 1^0 = 1\).<br><br>~~ ~~Bei einem Fall wie \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) ist der Grenzwert in der Wurzel zwar auch 1, wir potenzieren aber gegen \(\infty\): \(1^{\infty}\) ~~<b>~~ist unbestimmt~~!</b><br>Daher können wir nicht einfach sagen \(1^n = 1\), wir dürfen den limes nicht reinzieh~~en.	Denn: \(1^{1/n} = 1^0 = 1\).<br><br>Bei einem Fall wie \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) ist der Grenzwert in der Wurzel zwar auch 1, wir potenzieren aber gegen \(\infty\) und \(1^{\infty}\) ist unbestimmt, weswegen wir auch hier keinen Grenzwert bestimmen können.