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Wir nehmen an, es gelte \(\lim_{x \to c} f(x) = K (\neq \pm\infty)\), \(\lim_{x \to c} g(x) = L (\neq \pm\infty)\) und \(A\) sei eine beliebige feste Zahl. Dann gilt:

1. \(\lim_{x \to c}(f(x) + g(x)) = K + L\)
2. \(\lim_{x \to c}(f(x) - g(x)) = K - L\) 
3. \(\lim_{x \to c}(f(x) \cdot g(x)) = K \cdot L\) 
4. \(\lim_{x \to c}(A \cdot f(x)) = A \cdot K\) 
5. Falls \(L \neq 0\), haben wir \(\lim_{x \to c}(f(x)/g(x)) = K/L\)

Eine Funktion \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) ist ungerade falls gilt {{c2::\(\forall x \in \mathbb{R} \ \ f(-x) = -f(x)\) }}

Es sei \(f : \mathbb{D}(f) \to \mathbb{R}\), es sei \(x_0 \in \mathbb{R}\) und es gelte \[{{c1::\mathbb{D}(f) \cap (x_0 - \delta,\, x_0 + \delta) \neq \emptyset \quad \forall \delta > 0}}\]Dann ist \(L \in \mathbb{R}\) der Grenzwert/Limes von \(f(x)\) an der Stelle \(x_0\), falls gilt \[{{c2::\forall \varepsilon > 0 \;\exists \delta > 0 \quad \text{ so dass} \quad x \in \mathbb{D}(f) \cap (x_0 - \delta,\, x_0 + \delta) \;\Rightarrow\; |f(x) - L| < \varepsilon}}\]

Es sei \(f: \mathbb{D}(f) \rightarrow \mathbb{R}\) mit \(\mathbb{D}(f) \neq \emptyset\) und es sei weiters \(D' \subset \mathcal{D}(f)\).
Dann kann man die Einschränkung/Restriktion von \(f\) auf \(D'\) betrachten, die Funktion \[ f\mid_{D'} : D' \rightarrow \mathbb{R} \text{ mit } {{c1::f\mid_{D'}(x) = f(x) \forall x \in D' }}\]

Sei \(f: X \rightarrow Y\) und \(g: Y \rightarrow Z\). \[ g \circ f : X \rightarrow Z \text{ mit } (g \circ f)(x) = g(f(x)) \] 

Es sei \(f : \mathbb{D}(f) \to \mathbb{R}\). Dann gilt \[ \lim_{x \to x_o} f(x) = L \] genau dann, wenn {{c1::für jede konvergente Folge \((x_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) welche gegen \(x_0\) konvergiert gilt \[ \lim_{n \to \infty} f(x_n) = L \]}}

Es sei \(f: \mathcal{D}(f) \rightarrow \mathcal{R}\) mit \(\mathcal{D}(f) \neq \emptyset\). Dann heißt \(f\) nach oben beschränkt, falls \(M \in \mathbb{R}\) existiert mit {{c1::\(f(x) \le M\) \(\forall x \in \mathbb{D}(f)\)}}.

Dieser Graph hat eine Sprungstelle.

Falls gilt \[{{c1:: \forall \epsilon > 0 \ \exists M > 0 \ \ \text{s.d. } \ \forall x \in X (x > M \implies |f(x) - L| < \epsilon) }}\] hat \(f\) für \(x\) {{c2::gegen unendlich den Grenzwert L, \(\lim_{x \to \infty} f(x) = L\)}}