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Commit: 824bef81 - fix fix

Author: lhorva <lhorva@student.ethz.ch>

Date: 2026-03-27T00:44:06+01:00

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Note 1: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Cloze
GUID: !B0d*2$IxZ
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen
Für Zufallsvariablen \(X, Y\) und \(a, b \in \mathbb{R}\) gilt:
\[{{c1::\mathbb{E}[aX + bY] = a\,\mathbb{E}[X] + b\,\mathbb{E}[Y]}}.\]

Back

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen
Für Zufallsvariablen \(X, Y\) und \(a, b \in \mathbb{R}\) gilt:
\[{{c1::\mathbb{E}[aX + bY] = a\,\mathbb{E}[X] + b\,\mathbb{E}[Y]}}.\]
Wichtig: Gilt unabhängig davon, ob \(X\) und \(Y\) stochastisch unabhängig sind!
Insbesondere: \(\mathbb{E}[X + Y] = \mathbb{E}[X] + \mathbb{E}[Y]\).

After

Front

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen
Für Zufallsvariablen \(X, Y\) und \(a, b \in \mathbb{R}\) gilt:
\[\mathbb{E}[aX + bY] = {{c1::a\,\mathbb{E}[X] + b\,\mathbb{E}[Y]}}.\]

Back

ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen
Für Zufallsvariablen \(X, Y\) und \(a, b \in \mathbb{R}\) gilt:
\[\mathbb{E}[aX + bY] = {{c1::a\,\mathbb{E}[X] + b\,\mathbb{E}[Y]}}.\]
Wichtig: Gilt unabhängig davon, ob \(X\) und \(Y\) stochastisch unabhängig sind!
Insbesondere: \(\mathbb{E}[X + Y] = \mathbb{E}[X] + \mathbb{E}[Y]\).
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Für Zufallsvariablen \(X, Y\) und \(a, b \in \mathbb{R}\) gilt:<br>\[{{c1::\mathbb{E}[aX + bY] = a\,\mathbb{E}[X] + b\,\mathbb{E}[Y]}}.\] Für Zufallsvariablen \(X, Y\) und \(a, b \in \mathbb{R}\) gilt:<br>\[\mathbb{E}[aX + bY] = {{c1::a\,\mathbb{E}[X] + b\,\mathbb{E}[Y]}}.\]
Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen

Note 2: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Cloze
GUID: #a1quntnA7
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen
Für einen zusammenhängenden planaren Graphen \(G\) mit \(n\) Knoten,
\(m\) Kanten und \(f\) Flächen gilt:
\[n - m + f = 2.\]
(Euler-Formel)

Daraus folgt für \(n \geq 3\): \(m \leq 3n - 6\).

Back

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen
Für einen zusammenhängenden planaren Graphen \(G\) mit \(n\) Knoten,
\(m\) Kanten und \(f\) Flächen gilt:
\[n - m + f = 2.\]
(Euler-Formel)

Daraus folgt für \(n \geq 3\): \(m \leq 3n - 6\).
Beweis der Ungleichung: Jede Fläche wird von mind. 3 Kanten begrenzt; jede Kante grenzt an max. 2 Flächen.
Also \(3f \leq 2m\), einsetzen in Euler-Formel gibt \(m \leq 3n - 6\).
Korollar: In jedem planaren Graphen gibt es einen Knoten mit Grad \(\leq 5\).

After

Front

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen
Für einen zusammenhängenden planaren Graphen \(G\) mit \(n\) Knoten, \(m\) Kanten und \(f\) Flächen gilt:
\[n - m + f = 2.\]Daraus folgt für \(n \geq 3\): \[m \leq 3n - 6.\]

Back

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen
Für einen zusammenhängenden planaren Graphen \(G\) mit \(n\) Knoten, \(m\) Kanten und \(f\) Flächen gilt:
\[n - m + f = 2.\]Daraus folgt für \(n \geq 3\): \[m \leq 3n - 6.\]
(Euler-Formel)

Beweis der Ungleichung:
Jede Fläche wird von mind. 3 Kanten begrenzt; jede Kante grenzt an max. 2 Flächen.
Also \(3f \leq 2m\), einsetzen in Euler-Formel gibt \(m \leq 3n - 6\).
Korollar: In jedem planaren Graphen gibt es einen Knoten mit Grad \(\leq 5\).
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Für einen zusammenhängenden planaren Graphen \(G\) mit \(n\) Knoten,<br>\(m\) Kanten und \(f\) Flächen gilt:<br>\[{{c1::n - m + f = 2}}.\]<br>(Euler-Formel)<br><br>Daraus folgt für \(n \geq 3\): \(m \leq {{c2::3n - 6}}\). Für einen zusammenhängenden planaren Graphen \(G\) mit \(n\) Knoten,&nbsp;\(m\) Kanten und \(f\) Flächen gilt:<br>\[{{c1::n - m + f}} = 2.\]Daraus folgt für \(n \geq 3\): \[m \leq {{c2::3n - 6}}.\]
Extra Beweis der Ungleichung: Jede Fläche wird von mind. 3 Kanten begrenzt; jede Kante grenzt an max. 2 Flächen.<br>Also \(3f \leq 2m\), einsetzen in Euler-Formel gibt \(m \leq 3n - 6\).<br>Korollar: In jedem planaren Graphen gibt es einen Knoten mit Grad \(\leq 5\). (Euler-Formel)<br><br><b>Beweis der Ungleichung:</b> <br>Jede Fläche wird von mind. 3 Kanten begrenzt; jede Kante grenzt an max. 2 Flächen.<br>Also \(3f \leq 2m\), einsetzen in Euler-Formel gibt \(m \leq 3n - 6\).<br>Korollar: In jedem planaren Graphen gibt es einen Knoten mit Grad \(\leq 5\).
Tags: ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen

Note 3: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Cloze
GUID: %g)7+q%i*d
modified

Before

Front

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Für endliche Mengen \(A_1, \ldots, A_n\) gilt:
\[\left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right| = {{c1::\sum_{i} |A_i| - \sum_{i < j} |A_i \cap A_j| + \sum_{iFür \(n = 2\): \(|A_1 \cup A_2| = |A_1| + |A_2| - |A_1 \cap A_2|\).

Back

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Für endliche Mengen \(A_1, \ldots, A_n\) gilt:
\[\left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right| = {{c1::\sum_{i} |A_i| - \sum_{i < j} |A_i \cap A_j| + \sum_{iFür \(n = 2\): \(|A_1 \cup A_2| = |A_1| + |A_2| - |A_1 \cap A_2|\).
Die Wahrscheinlichkeitsversion ersetzt \(|\cdot|\) durch \(\Pr[\cdot]\).

After

Front

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Für endliche Mengen \(A_1, \ldots, A_n\) gilt:
\[\left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right| = {{c1::\sum_{i} |A_i| - \sum_{i < j} |A_i \cap A_j| + \sum_{i < j < k} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \cdots}}\]

Back

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Für endliche Mengen \(A_1, \ldots, A_n\) gilt:
\[\left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right| = {{c1::\sum_{i} |A_i| - \sum_{i < j} |A_i \cap A_j| + \sum_{i < j < k} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \cdots}}\]
Für \(n = 2\): \(|A_1 \cup A_2| = |A_1| + |A_2| - |A_1 \cap A_2|\).

Die Wahrscheinlichkeitsversion ersetzt \(|\cdot|\) durch \(\Pr[\cdot]\).
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Für endliche Mengen \(A_1, \ldots, A_n\) gilt:<br>\[\left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right| = {{c1::\sum_{i} |A_i| - \sum_{i < j} |A_i \cap A_j| + \sum_{i<j<k} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \cdots}}\]<br>Für \(n = 2\): \(|A_1 \cup A_2| = {{c2::|A_1| + |A_2| - |A_1 \cap A_2|}}\). Für endliche Mengen \(A_1, \ldots, A_n\) gilt:<br>\[\left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right| = {{c1::\sum_{i} |A_i| - \sum_{i &lt; j} |A_i \cap A_j| + \sum_{i &lt; j &lt; k} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \cdots}}\]
Extra Die Wahrscheinlichkeitsversion ersetzt \(|\cdot|\) durch \(\Pr[\cdot]\). Für&nbsp;\(n = 2\):&nbsp;\(|A_1 \cup A_2| = |A_1| + |A_2| - |A_1 \cap A_2|\).<br><br>Die Wahrscheinlichkeitsversion ersetzt \(|\cdot|\) durch \(\Pr[\cdot]\).
Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik basic

Note 4: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Cloze
GUID: 1V$+8N)nVy
modified

Before

Front

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen
Die Indikator-Zufallsvariable (Bernoulli-Variable) für Ereignis \(A\) ist:
\[X_A(\omega) := \begin{cases} 1 & \omega \in A \\ 0 & \omega \notin A \end{cases}.\]
Es gilt: \(\mathbb{E}[X_A] = \Pr[A]\).

Back

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen
Die Indikator-Zufallsvariable (Bernoulli-Variable) für Ereignis \(A\) ist:
\[X_A(\omega) := \begin{cases} 1 & \omega \in A \\ 0 & \omega \notin A \end{cases}.\]
Es gilt: \(\mathbb{E}[X_A] = \Pr[A]\).
Beweis: \(\mathbb{E}[X_A] = 1 \cdot \Pr[A] + 0 \cdot \Pr[A^c] = \Pr[A]\).

After

Front

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen
Die Indikator-Zufallsvariable (Bernoulli-Variable) für Ereignis \(A\) ist:
\[X_A(\omega) := \begin{cases} 1 & \omega \in A \\ 0 & \omega \notin A \end{cases}.\]
Es gilt: \(\mathbb{E}[X_A] = \Pr[A]\).

Back

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen
Die Indikator-Zufallsvariable (Bernoulli-Variable) für Ereignis \(A\) ist:
\[X_A(\omega) := \begin{cases} 1 & \omega \in A \\ 0 & \omega \notin A \end{cases}.\]
Es gilt: \(\mathbb{E}[X_A] = \Pr[A]\).
Beweis: \(\mathbb{E}[X_A] = 1 \cdot \Pr[A] + 0 \cdot \Pr[A^c] = \Pr[A]\).
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Die {{c1::Indikator-Zufallsvariable}} (Bernoulli-Variable) für Ereignis \(A\) ist:<br>\[X_A(\omega) := \begin{cases} {{c2::1}} & \omega \in A \\ {{c2::0}} & \omega \notin A \end{cases}.\]<br>Es gilt: \(\mathbb{E}[X_A] = {{c3::\Pr[A]}}\). Die {{c1::Indikator-Zufallsvariable (Bernoulli-Variable)}} für Ereignis \(A\) ist:<br>\[X_A(\omega) := \begin{cases} {{c2::1}} &amp; \omega \in A \\ {{c2::0}} &amp; \omega \notin A \end{cases}.\]<br>Es gilt: \(\mathbb{E}[X_A] = {{c3::\Pr[A]}}\).
Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::4._Zufallsvariablen basic

Note 5: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Cloze
GUID: 5UuotfGX{n
modified

Before

Front

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Besteht eine Auswahl aus \(k\) unabhängigen Schritten mit je \(n_1, \ldots, n_k\)
Möglichkeiten, so gibt es insgesamt:
\[n_1 \cdot n_2 \cdot \cdots \cdot n_k\]
Möglichkeiten.

Back

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Besteht eine Auswahl aus \(k\) unabhängigen Schritten mit je \(n_1, \ldots, n_k\)
Möglichkeiten, so gibt es insgesamt:
\[n_1 \cdot n_2 \cdot \cdots \cdot n_k\]
Möglichkeiten.
Grundlage aller Zählformeln.
Beispiel: Wie viele Paare (Hemd, Hose) aus 4 Hemden und 3 Hosen? \(4 \cdot 3 = 12\).
Kartesisches Produkt: \(|A \times B| = |A| \cdot |B|\).

After

Front

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Besteht eine Auswahl aus \(k\) unabhängigen Schritten mit je \(n_1, \ldots, n_k\) Möglichkeiten, so gibt es insgesamt \(n_1 \cdot n_2 \cdot \cdots \cdot n_k\) Möglichkeiten.

Back

basic ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik
Besteht eine Auswahl aus \(k\) unabhängigen Schritten mit je \(n_1, \ldots, n_k\) Möglichkeiten, so gibt es insgesamt \(n_1 \cdot n_2 \cdot \cdots \cdot n_k\) Möglichkeiten.
Grundlage aller Zählformeln.

Beispiel:
Wie viele Paare (Hemd, Hose) aus 4 Hemden und 3 Hosen? \(4 \cdot 3 = 12\).
Kartesisches Produkt: \(|A \times B| = |A| \cdot |B|\).
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Besteht eine Auswahl aus \(k\) unabhängigen Schritten mit je \(n_1, \ldots, n_k\)<br>Möglichkeiten, so gibt es insgesamt:<br>\[{{c1::n_1 \cdot n_2 \cdot \cdots \cdot n_k}}\]<br>Möglichkeiten. Besteht eine Auswahl aus \(k\) unabhängigen Schritten mit je \(n_1, \ldots, n_k\)&nbsp;Möglichkeiten, so gibt es insgesamt&nbsp;\({{c1::n_1 \cdot n_2 \cdot \cdots \cdot n_k}}\)&nbsp;Möglichkeiten.
Extra Grundlage aller Zählformeln.<br>Beispiel: Wie viele Paare (Hemd, Hose) aus 4 Hemden und 3 Hosen? \(4 \cdot 3 = 12\).<br>Kartesisches Produkt: \(|A \times B| = |A| \cdot |B|\). Grundlage aller Zählformeln.<br><br><b>Beispiel:</b> <br>Wie viele Paare (Hemd, Hose) aus 4 Hemden und 3 Hosen? \(4 \cdot 3 = 12\).<br>Kartesisches Produkt: \(|A \times B| = |A| \cdot |B|\).
Tags: ETH::2._Semester::A&W::2._Wahrscheinlichkeitstheorie_und_randomisierte_Algorithmen::0._Kombinatorik basic

Note 6: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Cloze
GUID: uo2PX.LL6$
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen


Die Heuristik findet immer eine Färbung mit 2 Farben für Bäume.

Back

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen


Die Heuristik findet immer eine Färbung mit 2 Farben für Bäume.

After

Front

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen

Heuristik:
\(v_n\) := Knoten vom kleinsten Grad. Lösche \(v_n\).
\(v_{n-1}\) := Knoten vom kleinsten Grad im Restgraph. Lösche \(v_{n-1}\). Iteriere.

Die Heuristik findet immer eine Färbung mit 2 Farben für Bäume.

Back

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen

Heuristik:
\(v_n\) := Knoten vom kleinsten Grad. Lösche \(v_n\).
\(v_{n-1}\) := Knoten vom kleinsten Grad im Restgraph. Lösche \(v_{n-1}\). Iteriere.

Die Heuristik findet immer eine Färbung mit 2 Farben für Bäume.
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text <img src="paste-7df7c4f76513b8f48a5f5c4a0fbf613a27433cfe.jpg"><br><br>Die Heuristik findet immer eine Färbung mit {{c1::2}} Farben für Bäume. <img src="paste-7df7c4f76513b8f48a5f5c4a0fbf613a27433cfe.jpg"><br>Heuristik:<br>\(v_n\) := Knoten vom kleinsten Grad. Lösche \(v_n\).<br>\(v_{n-1}\) := Knoten vom kleinsten Grad im Restgraph. Lösche \(v_{n-1}\). Iteriere.<br><br>Die Heuristik findet immer eine Färbung mit {{c1::2}} Farben für Bäume.
Tags: ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen

Note 7: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: !5|iID:vqM
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe
Eine Potenzreihe \(\sum_{k=0}^\infty c_k (x-a)^k\) besitzt einen Konvergenzradius \(R\):
  • \(|x - a| < R\): konvergiert absolut
  • \(|x - a| > R\): divergiert
  • \(|x - a| = R\): kommt auf den Einzelfall an

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe
Eine Potenzreihe \(\sum_{k=0}^\infty c_k (x-a)^k\) besitzt einen Konvergenzradius \(R\):
  • \(|x - a| < R\): konvergiert absolut
  • \(|x - a| > R\): divergiert
  • \(|x - a| = R\): kommt auf den Einzelfall an

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe
Eine Potenzreihe \(\sum_{k=0}^\infty c_k (x-a)^k\) besitzt einen Konvergenzradius \(R\):
  • \(|x - a| < R\): konvergiert absolut
  • \(|x - a| > R\): divergiert
  • \(|x - a| = R\): kommt auf den Einzelfall an

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe
Eine Potenzreihe \(\sum_{k=0}^\infty c_k (x-a)^k\) besitzt einen Konvergenzradius \(R\):
  • \(|x - a| < R\): konvergiert absolut
  • \(|x - a| > R\): divergiert
  • \(|x - a| = R\): kommt auf den Einzelfall an
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Eine Potenzreihe \(\sum_{k=0}^\infty c_k (x-a)^k\) besitzt einen <b>Konvergenzradius</b> \(R\):<br><ul><li>\(|x - a| {{c1::&lt; R}}\): konvergiert absolut</li><li>\(|x - a| {{c2::&gt; R}}\): divergiert</li><li>\(|x - a| = R\): {{c3::kommt auf den Einzelfall an}}</li></ul> Eine Potenzreihe \(\sum_{k=0}^\infty c_k (x-a)^k\) besitzt einen <b>Konvergenzradius</b> \(R\):<br><ul><li>\(|x - a| &lt; R\): {{c1::konvergiert absolut}}</li><li>\(|x - a| &gt; R\): {{c1::divergiert}}</li><li>\(|x - a| = R\): {{c1::kommt auf den Einzelfall an}}</li></ul>
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe

Note 8: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: !A0RHXv8a]
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::5._Cauchy_Produkt
Sind \(\sum a_n\) und \(\sum b_n\) absolut konvergent, so gilt:
\[\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = {{c1::\sum_{n=0}^\infty c_n}}\]und \(\sum c_n\) ist ebenfalls absolut konvergent.

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::5._Cauchy_Produkt
Sind \(\sum a_n\) und \(\sum b_n\) absolut konvergent, so gilt:
\[\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = {{c1::\sum_{n=0}^\infty c_n}}\]und \(\sum c_n\) ist ebenfalls absolut konvergent.
Anwendung: Beweis von \(\exp(z + w) = \exp(z) \cdot \exp(w)\).

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::5._Cauchy_Produkt
Seien \(\sum a_n\) und \(\sum b_n\) absolut konvergent und gelte:
\[\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty c_n\]dann ist \(\sum c_n\) ebenfalls absolut konvergent.

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::5._Cauchy_Produkt
Seien \(\sum a_n\) und \(\sum b_n\) absolut konvergent und gelte:
\[\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty c_n\]dann ist \(\sum c_n\) ebenfalls absolut konvergent.
Anwendung:
Beweis von \(\exp(z + w) = \exp(z) \cdot \exp(w)\).
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Sind \(\sum a_n\) und \(\sum b_n\) <b>absolut konvergent</b>, so gilt:<br>\[\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = {{c1::\sum_{n=0}^\infty c_n}}\]und \(\sum c_n\) ist ebenfalls {{c2::absolut konvergent}}. Seien&nbsp;\(\sum a_n\) und \(\sum b_n\) <b>absolut konvergent</b>&nbsp;und gelte:<br>\[\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty c_n\]dann ist&nbsp;\(\sum c_n\)&nbsp;{{c1::ebenfalls absolut konvergent}}.
Extra Anwendung: Beweis von \(\exp(z + w) = \exp(z) \cdot \exp(w)\). <b>Anwendung:</b> <br>Beweis von \(\exp(z + w) = \exp(z) \cdot \exp(w)\).
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::5._Cauchy_Produkt

Note 9: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: &U(TaBb]=-
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen
Die geometrische Reihe \(\sum_{n=0}^\infty q^n\) konvergiert für |q| < 1 und divergiert für |q| \(\geq 1\).

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen
Die geometrische Reihe \(\sum_{n=0}^\infty q^n\) konvergiert für |q| < 1 und divergiert für |q| \(\geq 1\).

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen
Die geometrische Reihe \(\sum_{n=0}^\infty q^n\) konvergiert für \(|q|<1\) und divergiert für \(|q|\geq 1\).

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen
Die geometrische Reihe \(\sum_{n=0}^\infty q^n\) konvergiert für \(|q|<1\) und divergiert für \(|q|\geq 1\).
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Die geometrische Reihe \(\sum_{n=0}^\infty q^n\) konvergiert für {{c1::|q| &lt; 1}} und divergiert für {{c2::|q| \(\geq 1\)}}. Die geometrische Reihe \(\sum_{n=0}^\infty q^n\) konvergiert für&nbsp;\(|q|{{c1::&lt;}}1\)&nbsp;und divergiert für&nbsp;\(|q|{{c1::\geq}} 1\).
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen

Note 10: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: *tcqC:{y3I
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen
Die alternierende harmonische Reihe \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\) konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium.

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen
Die alternierende harmonische Reihe \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\) konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium.
Sie ist bedingt konvergent (konvergiert, aber nicht absolut).

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen
Die alternierende harmonische Reihe \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\) konvergiert, gemäss dem Leibniz-Kriterium.

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen
Die alternierende harmonische Reihe \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\) konvergiert, gemäss dem Leibniz-Kriterium.
Sie ist bedingt konvergent (konvergiert, aber nicht absolut).
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Die <b>alternierende harmonische Reihe</b> \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\) {{c1::konvergiert}} nach {{c1::dem Leibniz-Kriterium}}. Die <b>alternierende harmonische Reihe</b> \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\) {{c1::konvergiert::konvergiert/divergiert}}, gemäss {{c1::dem Leibniz-Kriterium}}.
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen

Note 11: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: +!U{GV-1:X
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ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen
Eine Reihe \(\sum_{k=1}^\infty a_k\) ist definiert als die Folge der Partialsummen \((S_n)\), wobei: \[S_n = {{c1::\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n}}\]

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ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen
Eine Reihe \(\sum_{k=1}^\infty a_k\) ist definiert als die Folge der Partialsummen \((S_n)\), wobei: \[S_n = {{c1::\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n}}\]
Eine Reihe ist ein Symbol für \(\lim_{n\to\infty} S_n\) — keine gewöhnliche Summe.

After

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ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen
Eine Reihe \(\sum_{k=1}^\infty a_k\) ist definiert als die Folge der Partialsummen \(S_n\), wobei: \[S_n = {{c1::\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n}}\]

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ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen
Eine Reihe \(\sum_{k=1}^\infty a_k\) ist definiert als die Folge der Partialsummen \(S_n\), wobei: \[S_n = {{c1::\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n}}\]
Eine Reihe ist ein Symbol für \(\lim_{n\to\infty} S_n\) — keine gewöhnliche Summe.
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Eine <b>Reihe</b> \(\sum_{k=1}^\infty a_k\) ist definiert als die Folge der {{c1::Partialsummen}} \((S_n)\), wobei: \[S_n = {{c1::\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n}}\] Eine <b>Reihe</b> \(\sum_{k=1}^\infty a_k\) ist definiert als die Folge der {{c1::Partialsummen&nbsp;\(S_n\)}}, wobei: \[S_n = {{c1::\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n}}\]
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::1._Definitionen

Note 12: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: ,z5^ljjVx0
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ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien
Quotientenkriterium: Sei \(a_n \neq 0\) und \(\rho = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\).
  • \(\rho < 1\) \(\implies\) absolut konvergent
  • \(\rho > 1\) \(\implies\) divergent
  • \(\rho = 1\) \(\implies\) keine Aussage (z.B. \(1/n\) und \(1/n^2\) liefern beide \(1\))

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ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien
Quotientenkriterium: Sei \(a_n \neq 0\) und \(\rho = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\).
  • \(\rho < 1\) \(\implies\) absolut konvergent
  • \(\rho > 1\) \(\implies\) divergent
  • \(\rho = 1\) \(\implies\) keine Aussage (z.B. \(1/n\) und \(1/n^2\) liefern beide \(1\))
Proof:
  1. \(\sum a_n \geq 0\), $\displaystyle L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ $< 1$
    1. Choose \(q\) with \(L < q < 1\). Since \(\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \to L\), there exists \(N\) such that for all \(n \geq N: \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq q\) \(\implies\) \(\left|a_{N+k}\right|\leq \left|a_N \right|\cdot q^k\)
    2. So \(\sum_{k=0}^{\infty} \left| a_{N+k} \right|\) \(\leq \left| a_N \right| \sum_{k=0}^{\infty} q^k\)\(= \frac{\left| a_N \right|}{1-q}\)\(< \infty\) (geometric series, \(q < 1\) ).
    3. Hence \(\sum a_n\) converges.
  2. \(\sum a_n \geq 0, \displaystyle L\)   \(= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\)   \(> 1\).
    1. Choose \(q\) with \(1 < q < L\). There exists \(N\) such that for all \(n \geq N: \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\)   \(\geq q > 1\)    \(\implies \left| a_{N+k} \right|\) \(\geq \left| a_N \right| \cdot q^k \to \infty\)
    2. So \(\left| a_n\right| \not\to 0\), hence \(\sum a_n\) diverges.

After

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ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien
Quotientenkriterium: Sei \(a_n \neq 0\) und \(\rho = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\).
  • \(\rho < 1\) \(\implies\) absolut konvergent
  • \(\rho > 1\) \(\implies\) divergent
  • \(\rho = 1\) \(\implies\) keine Aussage (z.B. \(1/n\) und \(1/n^2\) liefern beide \(1\))

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ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien
Quotientenkriterium: Sei \(a_n \neq 0\) und \(\rho = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\).
  • \(\rho < 1\) \(\implies\) absolut konvergent
  • \(\rho > 1\) \(\implies\) divergent
  • \(\rho = 1\) \(\implies\) keine Aussage (z.B. \(1/n\) und \(1/n^2\) liefern beide \(1\))
Proof:
  1. \(\sum a_n \geq 0\), \(\displaystyle L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|< 1\)
    1. Choose \(q\) with \(L < q < 1\). Since \(\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \to L\), there exists \(N\) such that for all \(n \geq N: \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq q\) \(\implies\) \(\left|a_{N+k}\right|\leq \left|a_N \right|\cdot q^k\)
    2. So \(\sum_{k=0}^{\infty} \left| a_{N+k} \right|\) \(\leq \left| a_N \right| \sum_{k=0}^{\infty} q^k\)\(= \frac{\left| a_N \right|}{1-q}\)\(< \infty\) (geometric series, \(q < 1\) ).
    3. Hence \(\sum a_n\) converges.
  2. \(\sum a_n \geq 0, \displaystyle L\)   \(= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\)   \(> 1\).
    1. Choose \(q\) with \(1 < q < L\). There exists \(N\) such that for all \(n \geq N: \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\)   \(\geq q > 1\)    \(\implies \left| a_{N+k} \right|\) \(\geq \left| a_N \right| \cdot q^k \to \infty\)
    2. So \(\left| a_n\right| \not\to 0\), hence \(\sum a_n\) diverges.
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Quotientenkriterium: Sei \(a_n \neq 0\) und \(\rho = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\).<br><ul><li>\(\rho {{c1::&lt; 1}}\) \(\implies\) absolut konvergent</li><li>\(\rho {{c2::&gt; 1}}\) \(\implies\) divergent</li><li>\(\rho {{c3::= 1}}\) \(\implies\) keine Aussage (z.B. \(1/n\) und \(1/n^2\) liefern beide \(1\))</li></ul> Quotientenkriterium: Sei \(a_n \neq 0\) und \(\rho = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\).<br><ul><li>\(\rho &lt; 1\) \(\implies\) {{c1::absolut konvergent}}</li><li>\(\rho &gt; 1\) \(\implies\) {{c1::divergent}}</li><li>\(\rho = 1\) \(\implies\)&nbsp;{{c1::keine Aussage (z.B. \(1/n\) und \(1/n^2\) liefern beide \(1\))}}</li></ul>
Extra <div><strong>Proof:</strong></div> <ol> <li>\(\sum a_n \geq 0\), $\displaystyle L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ $&lt; 1$</li><ol><li>Choose \(q\) with \(L &lt; q &lt; 1\). Since \(\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \to L\), there exists \(N\) such that for all&nbsp;\(n \geq N: \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq q\)&nbsp;\(\implies\)&nbsp;\(\left|a_{N+k}\right|\leq \left|a_N \right|\cdot q^k\)</li><li>So \(\sum_{k=0}^{\infty} \left| a_{N+k} \right|\)&nbsp;\(\leq \left| a_N \right| \sum_{k=0}^{\infty} q^k\)\(= \frac{\left| a_N \right|}{1-q}\)\(&lt; \infty\) (geometric series, \(q &lt; 1\) ).</li> <li>Hence \(\sum a_n\) converges. </li> </ol> <li> <div>\(\sum a_n \geq 0, \displaystyle L\)&nbsp; &nbsp;\(= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\)&nbsp; &nbsp;\(&gt; 1\).</div> <ol> <li>Choose \(q\) with \(1 &lt; q &lt; L\). There exists \(N\) such that for all \(n \geq N: \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\)&nbsp; &nbsp;\(\geq q &gt; 1\)&nbsp; &nbsp; \(\implies \left| a_{N+k} \right|\) \(\geq \left| a_N \right| \cdot q^k \to \infty\)</li> <li>So \(\left| a_n\right| \not\to 0\), hence \(\sum a_n\) diverges.</li></ol></li></ol> <div><strong>Proof:</strong></div> <ol> <li>\(\sum a_n \geq 0\),&nbsp;\(\displaystyle L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|&lt; 1\)</li><ol><li>Choose \(q\) with \(L &lt; q &lt; 1\). Since \(\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \to L\), there exists \(N\) such that for all&nbsp;\(n \geq N: \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq q\)&nbsp;\(\implies\)&nbsp;\(\left|a_{N+k}\right|\leq \left|a_N \right|\cdot q^k\)</li><li>So \(\sum_{k=0}^{\infty} \left| a_{N+k} \right|\)&nbsp;\(\leq \left| a_N \right| \sum_{k=0}^{\infty} q^k\)\(= \frac{\left| a_N \right|}{1-q}\)\(&lt; \infty\) (geometric series, \(q &lt; 1\) ).</li> <li>Hence \(\sum a_n\) converges. </li> </ol> <li> <div>\(\sum a_n \geq 0, \displaystyle L\)&nbsp; &nbsp;\(= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\)&nbsp; &nbsp;\(&gt; 1\).</div> <ol> <li>Choose \(q\) with \(1 &lt; q &lt; L\). There exists \(N\) such that for all \(n \geq N: \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\)&nbsp; &nbsp;\(\geq q &gt; 1\)&nbsp; &nbsp; \(\implies \left| a_{N+k} \right|\) \(\geq \left| a_N \right| \cdot q^k \to \infty\)</li> <li>So \(\left| a_n\right| \not\to 0\), hence \(\sum a_n\) diverges.</li></ol></li></ol>
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::3._Konvergenzkriterien

Note 13: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: Hpp:g}bJuy
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ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::2._Polarform
Der Abstand zwischen zwei Komplexen \(z_1, z_2\) ist \( d = {{c1:: |z_2 - z_1 | = |z_1 - z_2| ::\text{Beide Formen} }}\).

Back

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::2._Polarform
Der Abstand zwischen zwei Komplexen \(z_1, z_2\) ist \( d = {{c1:: |z_2 - z_1 | = |z_1 - z_2| ::\text{Beide Formen} }}\).
Hier gilt wieder die Dreiecksungleichung: \(|z + w| \leq |z| + |w|\).

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::2._Polarform
Der Abstand zwischen zwei komplexen Zahlen \(z_1, z_2\) ist \( d = {{c1:: |z_2 - z_1 | = |z_1 - z_2| ::\text{Beide Formen} }}\).

Back

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::2._Polarform
Der Abstand zwischen zwei komplexen Zahlen \(z_1, z_2\) ist \( d = {{c1:: |z_2 - z_1 | = |z_1 - z_2| ::\text{Beide Formen} }}\).
Hier gilt wieder die Dreiecksungleichung: \(|z + w| \leq |z| + |w|\).
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Der Abstand zwischen zwei Komplexen&nbsp;\(z_1, z_2\)&nbsp;ist&nbsp;\( d = {{c1:: |z_2 - z_1 | = |z_1 - z_2| ::\text{Beide Formen} }}\). Der Abstand zwischen zwei komplexen Zahlen&nbsp;\(z_1, z_2\)&nbsp;ist&nbsp;\( d = {{c1:: |z_2 - z_1 | = |z_1 - z_2| ::\text{Beide Formen} }}\).
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::2._Polarform

Note 14: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: fr%yq&f{dL
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ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::1._Definitionen
Falls für eine Folge gilt \[{{c1:: \forall M > 0 \ \exists N > 0 \text{ such that } \forall n > N \ : \ a_n > M }}\] sagen wir, dass die Folge gegen unendlich divergiert und schreiben \(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty\).

Back

ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::1._Definitionen
Falls für eine Folge gilt \[{{c1:: \forall M > 0 \ \exists N > 0 \text{ such that } \forall n > N \ : \ a_n > M }}\] sagen wir, dass die Folge gegen unendlich divergiert und schreiben \(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty\).
Genauso kann die Folge auch gegen \(-\infty\) divergieren.

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::1._Definitionen
Falls für eine Folge gilt \[{{c1:: \forall M > 0 \ \exists N > 0 \text{ sodass } \forall n > N \ : \ a_n > M }}\] sagen wir, dass die Folge gegen unendlich divergiert und schreiben \(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty\).

Back

ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::1._Definitionen
Falls für eine Folge gilt \[{{c1:: \forall M > 0 \ \exists N > 0 \text{ sodass } \forall n > N \ : \ a_n > M }}\] sagen wir, dass die Folge gegen unendlich divergiert und schreiben \(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty\).
Genauso kann die Folge auch gegen \(-\infty\) divergieren.
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Falls für eine Folge gilt \[{{c1:: \forall M &gt; 0 \ \exists N &gt; 0 \text{ such that } \forall n &gt; N \ : \ a_n &gt; M }}\] sagen wir, dass die Folge <i>gegen unendlich</i>&nbsp;divergiert und schreiben \(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty\). Falls für eine Folge gilt \[{{c1:: \forall M &gt; 0 \ \exists N &gt; 0 \text{ sodass } \forall n &gt; N \ : \ a_n &gt; M }}\] sagen wir, dass die Folge <i>gegen unendlich</i>&nbsp;divergiert und schreiben \(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty\).
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz::1._Definitionen

Note 15: ETH::2. Semester::PProg

Deck: ETH::2. Semester::PProg
Note Type: Horvath Cloze
GUID: p%2wWlRz`X
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ETH::2._Semester::PProg::10._Parallel_Algorithms::1._Task_graphs_and_performance_measures
\(T_\infty\) in DAG: span, critical path length =Longest chain of dependent operations in the DAG

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ETH::2._Semester::PProg::10._Parallel_Algorithms::1._Task_graphs_and_performance_measures
\(T_\infty\) in DAG: span, critical path length =Longest chain of dependent operations in the DAG
Best possible time using infinite cores.

After

Front

ETH::2._Semester::PProg::10._Parallel_Algorithms::1._Task_graphs_and_performance_measures
\(T_\infty\) in DAG: span, critical path length = Longest chain of dependent operations in the DAG

Back

ETH::2._Semester::PProg::10._Parallel_Algorithms::1._Task_graphs_and_performance_measures
\(T_\infty\) in DAG: span, critical path length = Longest chain of dependent operations in the DAG
Best possible time using infinite cores.

Field-by-field Comparison
Field Before After
Text \(T_\infty\)&nbsp;in DAG: span, critical path length ={{c1::Longest chain of dependent operations in the DAG}} \(T_\infty\)&nbsp;in DAG: span, critical path length = {{c1::Longest chain of dependent operations in the DAG}}
Tags: ETH::2._Semester::PProg::10._Parallel_Algorithms::1._Task_graphs_and_performance_measures
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