Weierstrass: Für eine {{c1:: monotone Folge reeller Zahlen \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\)}} gilt: sie konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.
Note 1: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
Hr{NV+|lFT
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Back
Weierstrass: Für eine {{c1:: monotone Folge reeller Zahlen \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\)}} gilt: sie konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.
Falls die Folge monoton wachsend ist, gilt: \[ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \sup \{a_n \mid n \in \mathbb{N}_0\} \]Falls die Folge monoton fallend ist, gilt:\[\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \inf \{ a_n \mid n \in \mathbb{N}_0\}\]
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | <b>Weierstrass:</b> Für eine {{c1:: monotone Folge reeller Zahlen \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\)}} gilt: sie {{c2::konvergiert}} genau dann, wenn {{c2::sie beschränkt ist}}. | |
| Extra | Falls die Folge <i>monoton wachsend</i> ist, gilt: \[ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \sup \{a_n \mid n \in \mathbb{N}_0\} \]Falls die Folge <i>monoton fallend</i> ist, gilt:\[\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \inf \{ a_n \mid n \in \mathbb{N}_0\}\] |
Note 2: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
I{:c-3y`e$
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Bolzano-Weierstrass
Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat einen Häufungspunkt und eine konvergente Teilfolge.
Proof idea included
Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat einen Häufungspunkt und eine konvergente Teilfolge.
Proof idea included
Back
Bolzano-Weierstrass
Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat einen Häufungspunkt und eine konvergente Teilfolge.
Proof idea included
Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat einen Häufungspunkt und eine konvergente Teilfolge.
Proof idea included
Beachte, dies gilt nur für die 1-norm.
Proof Idea: Nested Intervals. Always bisect the interval. Since the sequence is infinite, at least one of the intervals must contain an infinite amount of terms.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | <b>Bolzano-Weierstrass</b> <br>Jede {{c1::beschränkte Folge reeller Zahlen}} hat {{c2::einen Häufungspunkt und eine konvergente Teilfolge}}.<br><br><i>Proof idea included</i> | |
| Extra | <div>Beachte, dies gilt nur für die 1-norm.</div><div><br></div><div><div><b>Proof Idea:</b> Nested Intervals. Always bisect the interval. Since the sequence is infinite, at least one of the intervals must contain an infinite amount of terms.</div></div> |
Note 3: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID:
added
Note Type: Horvath Classic
GUID:
JR/@uyV;TY
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Note did not exist
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Front
Trick: In Form von \(e^x\) bringen
Back
Trick: In Form von \(e^x\) bringen
Benutze Limit von \(\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x\).
Beispiel: Für \((\frac{n}{n + 1})^n = (\frac{n + 1}{n})^{-n}\). Dann trennen wir \((1 + \frac{1}{n})^{-n}\) and extract the exponent \(((1 + \frac{1}{n})^n)^{-1}\). Dann können wir den Limes berechnen und erhalten \(e^{-1}\).
Beispiel: Für \((\frac{n}{n + 1})^n = (\frac{n + 1}{n})^{-n}\). Dann trennen wir \((1 + \frac{1}{n})^{-n}\) and extract the exponent \(((1 + \frac{1}{n})^n)^{-1}\). Dann können wir den Limes berechnen und erhalten \(e^{-1}\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Front | <b>Trick: </b>In Form von \(e^x\) bringen | |
| Back | Benutze Limit von \(\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x\). <br><br><b>Beispiel:</b> Für \((\frac{n}{n + 1})^n = (\frac{n + 1}{n})^{-n}\). Dann trennen wir \((1 + \frac{1}{n})^{-n}\) and extract the exponent \(((1 + \frac{1}{n})^n)^{-1}\). Dann können wir den Limes berechnen und erhalten \(e^{-1}\). |
Note 4: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
JRhXP./lD.
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Note did not exist
New Note
Front
Limes inferior / superior existieren für jede Folge.
Back
Limes inferior / superior existieren für jede Folge.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | <div>Limes inferior / superior existieren für {{c1:: jede :: Kondition}} Folge.</div> |
Note 5: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
M:f@_%USlo
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Note did not exist
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Front
- \(\liminf_{n \rightarrow \infty} a_n\) ist der kleinste Häufungspunkt von \((a_n)\).
- \(\limsup_{n \rightarrow \infty} a_n\) ist der größte Häufungspunkt von \((a_n)\).
Back
- \(\liminf_{n \rightarrow \infty} a_n\) ist der kleinste Häufungspunkt von \((a_n)\).
- \(\limsup_{n \rightarrow \infty} a_n\) ist der größte Häufungspunkt von \((a_n)\).
(Limes inferior den kleinsten möglichen)
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | <ol><li>\(\liminf_{n \rightarrow \infty} a_n\) ist der {{c1:: kleinste Häufungspunkt }} von \((a_n)\).</li><li>\(\limsup_{n \rightarrow \infty} a_n\) ist der {{c1:: größte Häufungspunkt }} von \((a_n)\).</li></ol> | |
| Extra | (Limes inferior den kleinsten möglichen) |
Note 6: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
U$+}`5wOp
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Front
Jede Cauchy-Folge ist beschränkt.
Back
Jede Cauchy-Folge ist beschränkt.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Jede Cauchy-Folge ist {{c1:: beschränkt}}. |
Note 7: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
brd3Sz58A6
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Front
- \(\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{1/n} = 1^0\)ist nicht unbestimmt
- \(\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{n} = 1^\infty\)ist unbestimmt
Back
- \(\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{1/n} = 1^0\)ist nicht unbestimmt
- \(\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{n} = 1^\infty\)ist unbestimmt
Das ergibt dann \(1^{1/n} = 1^0 = 1\).
Bei einem Fall wie \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) ist der Grenzwert in der Wurzel zwar auch 1, wir potenzieren aber gegen \(\infty\): \(1^{\infty}\) ist unbestimmt!
Daher können wir nicht einfach sagen \(1^n = 1\), wir dürfen den limes nicht reinziehen.
Bei einem Fall wie \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) ist der Grenzwert in der Wurzel zwar auch 1, wir potenzieren aber gegen \(\infty\): \(1^{\infty}\) ist unbestimmt!
Daher können wir nicht einfach sagen \(1^n = 1\), wir dürfen den limes nicht reinziehen.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | <ul><li>\(\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{1/n} = 1^0\)ist {{c1:: nicht unbestimmt}}</li><li>\(\lim_{n \rightarrow \infty} 1^{n} = 1^\infty\)ist {{c1:: unbestimmt}}</li></ul> | |
| Extra | Das ergibt dann \(1^{1/n} = 1^0 = 1\).<br><br> Bei einem Fall wie \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) ist der Grenzwert in der Wurzel zwar auch 1, wir potenzieren aber gegen \(\infty\): \(1^{\infty}\) <b>ist unbestimmt!</b><br>Daher können wir nicht einfach sagen \(1^n = 1\), wir dürfen den limes nicht reinziehen. |
Note 8: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
eaR`C4g=_B
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Front
Eine Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0} \subset \mathbb{R}\) heißt Cauchy-Folge, falls {{c1::für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) existiert, so dass gilt \[ \forall m, n \ge N \quad |a_n - a_m| < \epsilon \]}}
Back
Eine Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0} \subset \mathbb{R}\) heißt Cauchy-Folge, falls {{c1::für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) existiert, so dass gilt \[ \forall m, n \ge N \quad |a_n - a_m| < \epsilon \]}}
Beispiel \(\sum_{k = 1}^n \frac{1}{k^2}\) ist eine Cauchy Folge.
Die Folge \(\sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}\) ist jedoch keine Cauchy-Folge.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Eine Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0} \subset \mathbb{R}\) heißt <b>Cauchy-Folge</b>, falls {{c1::für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) existiert, so dass gilt \[ \forall m, n \ge N \quad |a_n - a_m| < \epsilon \]}} | |
| Extra | <b>Beispiel</b> \(\sum_{k = 1}^n \frac{1}{k^2}\) ist eine Cauchy Folge. Die Folge \(\sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}\) ist jedoch keine Cauchy-Folge. |
Note 9: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
fz.OMuyaEl
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Front
- \(\limsup_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c1:: \inf ( \sup \{ a_k \mid k \ge n \}) }}\)
- \(\liminf_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c1:: \sup ( \inf \{ a_k \mid k \ge n \}) }}\)
Back
- \(\limsup_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c1:: \inf ( \sup \{ a_k \mid k \ge n \}) }}\)
- \(\liminf_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c1:: \sup ( \inf \{ a_k \mid k \ge n \}) }}\)
Die Folgen $\sup \{ a_k \mid k \ge n \}$ ist monoton fallend (steigend für das Infimum).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | <ol><li>\(\limsup_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c1:: \inf ( \sup \{ a_k \mid k \ge n \}) }}\) </li><li>\(\liminf_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c1:: \sup ( \inf \{ a_k \mid k \ge n \}) }}\)</li></ol> | |
| Extra | Die Folgen $\sup \{ a_k \mid k \ge n \}$ ist monoton fallend (steigend für das Infimum). |
Note 10: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
g01CI%XEW5
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Front
Die Größe \[ \limsup_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c1:: \lim_{n \rightarrow \infty} \sup \{a_k \mid k \ge n \} }}\] heißt Limes superior der Folge \(a_n\).
Back
Die Größe \[ \limsup_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c1:: \lim_{n \rightarrow \infty} \sup \{a_k \mid k \ge n \} }}\] heißt Limes superior der Folge \(a_n\).
Das gleiche gilt für den Limes inferior.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Die Größe \[ \limsup_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c1:: \lim_{n \rightarrow \infty} \sup \{a_k \mid k \ge n \} }}\] heißt <i>Limes superior</i> der Folge \(a_n\). | |
| Extra | Das gleiche gilt für den Limes inferior.<br><br><img src="paste-763021d74f7fdba952648cd8878a47c15b8d530e.jpg"> |
Note 11: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID:
added
Note Type: Horvath Classic
GUID:
i%]PKgWcI1
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Front
Trick: \(\sqrt[n]{}\) nutzen
Back
Trick: \(\sqrt[n]{}\) nutzen
Wir wollen den folgenden Grenzwert berechnen: \[\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[n]{4^n + 3n^5 + 7} \cdot \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} \right)\]
Die Exponentialfunktion \(4^n\) wächst deutlich schneller als das Polynom \(3n^5\) oder die Konstante 7. Wir klammern also \(4^n\) aus: \[\sqrt[n]{4^n + 3n^5 + 7} = \sqrt[n]{4^n \left(1 + \frac{3n^5}{4^n} + \frac{7}{4^n}\right)}\] Nun ziehen wir den ausgeklammerten Term aus der Wurzel heraus: \[4 \cdot \sqrt[n]{1 + \frac{3n^5}{4^n} + \frac{7}{4^n}}\]Für \(n \to \infty\): Da \(4^n\) schneller wächst als jedes Polynom, konvergieren die Brüche gegen 0: \[\lim_{n \to \infty} 4 \cdot \sqrt[n]{1 + 0 + 0} = 4 \cdot 1 = 4\]
Für den zweiten Teil: \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} = 0\]
Zusammengesetzt: \[\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[n]{4^n + 3n^5 + 7} \cdot \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} \right) = 4 \cdot 0 = 0\]
Die Exponentialfunktion \(4^n\) wächst deutlich schneller als das Polynom \(3n^5\) oder die Konstante 7. Wir klammern also \(4^n\) aus: \[\sqrt[n]{4^n + 3n^5 + 7} = \sqrt[n]{4^n \left(1 + \frac{3n^5}{4^n} + \frac{7}{4^n}\right)}\] Nun ziehen wir den ausgeklammerten Term aus der Wurzel heraus: \[4 \cdot \sqrt[n]{1 + \frac{3n^5}{4^n} + \frac{7}{4^n}}\]Für \(n \to \infty\): Da \(4^n\) schneller wächst als jedes Polynom, konvergieren die Brüche gegen 0: \[\lim_{n \to \infty} 4 \cdot \sqrt[n]{1 + 0 + 0} = 4 \cdot 1 = 4\]
Für den zweiten Teil: \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} = 0\]
Zusammengesetzt: \[\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[n]{4^n + 3n^5 + 7} \cdot \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} \right) = 4 \cdot 0 = 0\]
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Front | <b>Trick: </b>\(\sqrt[n]{}\) nutzen | |
| Back | Wir wollen den folgenden Grenzwert berechnen: \[\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[n]{4^n + 3n^5 + 7} \cdot \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} \right)\]<br>Die Exponentialfunktion \(4^n\) wächst deutlich schneller als das Polynom \(3n^5\) oder die Konstante 7. Wir klammern also \(4^n\) aus: \[\sqrt[n]{4^n + 3n^5 + 7} = \sqrt[n]{4^n \left(1 + \frac{3n^5}{4^n} + \frac{7}{4^n}\right)}\] Nun ziehen wir den ausgeklammerten Term aus der Wurzel heraus: \[4 \cdot \sqrt[n]{1 + \frac{3n^5}{4^n} + \frac{7}{4^n}}\]Für \(n \to \infty\): Da \(4^n\) schneller wächst als jedes Polynom, konvergieren die Brüche gegen 0: \[\lim_{n \to \infty} 4 \cdot \sqrt[n]{1 + 0 + 0} = 4 \cdot 1 = 4\]<br>Für den zweiten Teil: \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} = 0\]<br>Zusammengesetzt: \[\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[n]{4^n + 3n^5 + 7} \cdot \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} \right) = 4 \cdot 0 = 0\] |
Note 12: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID:
added
Note Type: Horvath Classic
GUID:
m?qT5<.33+
Previous
Note did not exist
New Note
Front
Limes superior oder inferior können \(\pm \infty\) sein?
Back
Limes superior oder inferior können \(\pm \infty\) sein?
Ja
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Front | Limes superior oder inferior können \(\pm \infty\) sein? | |
| Back | Ja |
Note 13: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
nhqb+F*Ie6
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New Note
Front
\((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) eine konvergente Folge \(\Longleftrightarrow\) \[ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c2:: \limsup_{n \rightarrow \infty} a_n = \liminf_{n \rightarrow \infty} a_n }}\]
Back
\((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) eine konvergente Folge \(\Longleftrightarrow\) \[ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c2:: \limsup_{n \rightarrow \infty} a_n = \liminf_{n \rightarrow \infty} a_n }}\]
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) {{c1::eine konvergente Folge::Property}} \(\Longleftrightarrow\) \[ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = {{c2:: \limsup_{n \rightarrow \infty} a_n = \liminf_{n \rightarrow \infty} a_n }}\] |
Note 14: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
odE}
Previous
Note did not exist
New Note
Front
Eine Folge konvergiert \(\Longleftrightarrow\) sie {{c2:: eine Cauchy-Folge ist (für Folgen in \(\mathbb{R}\) und \(\mathbb{C}\))}}.
Back
Eine Folge konvergiert \(\Longleftrightarrow\) sie {{c2:: eine Cauchy-Folge ist (für Folgen in \(\mathbb{R}\) und \(\mathbb{C}\))}}.
Dies gilt nicht für Folgen in \(\mathbb{Q}\), da sie zum Beispiel auf \(\sqrt{2}\) konvergieren können, was jedoch nicht in \(\mathbb{Q}\) liegt -> ergo konvergiert nie.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Eine Folge {{c1::<b>konvergiert</b>}} \(\Longleftrightarrow\) sie {{c2:: eine Cauchy-Folge ist (für Folgen in \(\mathbb{R}\) und \(\mathbb{C}\))}}. | |
| Extra | Dies gilt nicht für Folgen in \(\mathbb{Q}\), da sie zum Beispiel auf \(\sqrt{2}\) konvergieren können, was jedoch nicht in \(\mathbb{Q}\) liegt -> ergo konvergiert nie. |
Note 15: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID:
added
Note Type: Horvath Classic
GUID:
qu@PEalZbz
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Note did not exist
New Note
Front
Sandwich Theorem: Conditions for:
Dann ist auch die Folge \((b_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) konvergent und es gilt \[ \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = L \]
Dann ist auch die Folge \((b_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) konvergent und es gilt \[ \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = L \]
Back
Sandwich Theorem: Conditions for:
Dann ist auch die Folge \((b_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) konvergent und es gilt \[ \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = L \]
Dann ist auch die Folge \((b_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) konvergent und es gilt \[ \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = L \]
Es seien \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) und \((c_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) zwei konvergente Folgen mit gleichem Grenzwert gegeben \[ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L \text{ und } \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = L \] sowie eine dritte Folge \((b_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) mit der Eigenschaft, dass ein \(N_0 \in \mathbb{N}\) existiert, so dass gilt \[ a_n \le b_n \le c_n \quad \forall n \ge N_0 \]
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Front | <b>Sandwich Theorem: </b>Conditions for:<br>Dann ist auch die Folge \((b_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) konvergent und es gilt \[ \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = L \]<br> | |
| Back | Es seien \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) und \((c_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) zwei konvergente Folgen mit gleichem Grenzwert gegeben \[ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L \text{ und } \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = L \] sowie eine dritte Folge \((b_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) mit der Eigenschaft, dass ein \(N_0 \in \mathbb{N}\) existiert, so dass gilt \[ a_n \le b_n \le c_n \quad \forall n \ge N_0 \] <br> |
Note 16: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID:
added
Note Type: Horvath Classic
GUID:
rV+]yV],iR
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Note did not exist
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Front
Trick: Potenzen ausfaktorisieren
Back
Trick: Potenzen ausfaktorisieren
Bei rationalen Folgen der Form \(a_n = \frac{P(n)}{Q(n)}\) klammert man die höchste Potenz von \(n\) im Nenner aus. Dadurch entstehen Terme der Form \(\frac{1}{n^k}\), die Nullfolgen bilden. Der Grenzwert wird dann ausschliesslich durch die führenden Koeffizienten bestimmt:` \[\frac{\alpha_p \, n^p + \ldots}{\beta_q \, n^q + \ldots} \;\longrightarrow\; \begin{cases} \frac{\alpha_p}{\beta_q} & \text{falls } p = q \\ 0 & \text{falls } p < q \\ \text{divergent} & \text{falls } p > q \end{cases}\]
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Front | <b>Trick:</b> Potenzen ausfaktorisieren | |
| Back | Bei rationalen Folgen der Form \(a_n = \frac{P(n)}{Q(n)}\) klammert man die höchste Potenz von \(n\) im Nenner aus. Dadurch entstehen Terme der Form \(\frac{1}{n^k}\), die Nullfolgen bilden. Der Grenzwert wird dann ausschliesslich durch die führenden Koeffizienten bestimmt:` \[\frac{\alpha_p \, n^p + \ldots}{\beta_q \, n^q + \ldots} \;\longrightarrow\; \begin{cases} \frac{\alpha_p}{\beta_q} & \text{falls } p = q \\ 0 & \text{falls } p < q \\ \text{divergent} & \text{falls } p > q \end{cases}\] |
Note 17: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
added
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
rZIk~sDY*H
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Front
\[ \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n!} = \infty \]
Back
\[ \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n!} = \infty \]
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | \[ \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n!} = {{c1:: \infty }} \] |
Note 18: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID:
added
Note Type: Horvath Classic
GUID:
rgs$EaRM~}
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Note did not exist
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Front
Trick: Rationalisieren
Back
Trick: Rationalisieren
Binomische Formel \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\). Multipliziere die gleichung mit \(\dots \times 1 = \dots \times \frac{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}{\sqrt{n} - \sqrt{n + 1}}\) z.B.
Beispiel: \({\sqrt{n^2 + 3} - n} \cdot 1 = \sqrt{n^2 + 3} - n \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 3} + n}{\sqrt{n^2 + 3} + n}\) und dann mit \(a^2 - b^2\) vereinfachen
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Front | <b>Trick:</b> Rationalisieren | |
| Back | Binomische Formel \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\). Multipliziere die gleichung mit \(\dots \times 1 = \dots \times \frac{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}{\sqrt{n} - \sqrt{n + 1}}\) z.B. <b>Beispiel:</b> \({\sqrt{n^2 + 3} - n} \cdot 1 = \sqrt{n^2 + 3} - n \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 3} + n}{\sqrt{n^2 + 3} + n}\) und dann mit \(a^2 - b^2\) vereinfachen |
Note 19: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID:
added
Note Type: Horvath Classic
GUID:
u*d5<@LyK@
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Front
Trick: Fixpunkt
Sei eine Folge rekursiv definiert durch \(a_1 = c\) und \(a_{n+1} = f(a_n)\).
Sei eine Folge rekursiv definiert durch \(a_1 = c\) und \(a_{n+1} = f(a_n)\).
Back
Trick: Fixpunkt
Sei eine Folge rekursiv definiert durch \(a_1 = c\) und \(a_{n+1} = f(a_n)\).
Sei eine Folge rekursiv definiert durch \(a_1 = c\) und \(a_{n+1} = f(a_n)\).
Falls \((a_n)\) konvergiert (z.B. nach Weierstrass), setzt man \(l = \lim_{n \to \infty} a_n \) \(= \lim_{n \to \infty} a_{n+1}\) und erhält die Fixpunktgleichung: \(l = f(l)\)
Man löst diese Gleichung nach \(l\) auf und schließt anhand der Eigenschaften der Folge (Vorzeichen, Monotonie, Beschränktheit) aus, welcher Kandidat der tatsächliche Grenzwert ist.
Man löst diese Gleichung nach \(l\) auf und schließt anhand der Eigenschaften der Folge (Vorzeichen, Monotonie, Beschränktheit) aus, welcher Kandidat der tatsächliche Grenzwert ist.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Front | <b>Trick: </b>Fixpunkt<br><br>Sei eine Folge rekursiv definiert durch \(a_1 = c\) und \(a_{n+1} = f(a_n)\). | |
| Back | Falls \((a_n)\) konvergiert (z.B. nach Weierstrass), setzt man \(l = \lim_{n \to \infty} a_n \) \(= \lim_{n \to \infty} a_{n+1}\) und erhält die Fixpunktgleichung: \(l = f(l)\) <br><br>Man löst diese Gleichung nach \(l\) auf und schließt anhand der Eigenschaften der Folge (Vorzeichen, Monotonie, Beschränktheit) aus, welcher Kandidat der tatsächliche Grenzwert ist. |
Note 20: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
y~JMs{9f3
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Sei \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) eine beschränkte Folge mit \(A = \limsup_{n \rightarrow \infty} a_n\).
Dann ist \(A\) ein Häufungspunkt und für alle \(\epsilon > 0\) gilt,
Dann ist \(A\) ein Häufungspunkt und für alle \(\epsilon > 0\) gilt,
- Dass es nur endlich viele Elemente \(a_n\) gibt, für welche gilt \(a_n \ge + \epsilon\)
- Dass für unendlich viele Element gilt \(A - \epsilon < a_n < A + \epsilon\)
Back
Sei \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) eine beschränkte Folge mit \(A = \limsup_{n \rightarrow \infty} a_n\).
Dann ist \(A\) ein Häufungspunkt und für alle \(\epsilon > 0\) gilt,
Dann ist \(A\) ein Häufungspunkt und für alle \(\epsilon > 0\) gilt,
- Dass es nur endlich viele Elemente \(a_n\) gibt, für welche gilt \(a_n \ge + \epsilon\)
- Dass für unendlich viele Element gilt \(A - \epsilon < a_n < A + \epsilon\)
Eine analoge Aussage gilt auch für den limes inferior.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Sei \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) eine <i>beschränkte Folge</i> mit \(A = \limsup_{n \rightarrow \infty} a_n\). <br>Dann ist \(A\) ein <b>Häufungspunkt</b> und für alle \(\epsilon > 0\) gilt, <br><ol><li>{{c1::Dass es nur endlich viele Elemente \(a_n\) gibt, für welche gilt \(a_n \ge + \epsilon\) }}</li><li>{{c2::Dass für unendlich viele Element gilt \(A - \epsilon < a_n < A + \epsilon\)}}</li></ol> | |
| Extra | Eine analoge Aussage gilt auch für den limes inferior. |
Note 21: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
z!sAYo_L3D
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Für alle \(P(n)\) polynome sodass \(P(n) > 0\) gilt für große \(n\): \[ \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{P(n)} = 1 \]
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Für alle \(P(n)\) polynome sodass \(P(n) > 0\) gilt für große \(n\): \[ \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{P(n)} = 1 \]
Die Wurzel dämpft diese vollständig ab.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Für alle \(P(n)\) polynome sodass \(P(n) > 0\) gilt für große \(n\): \[ \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{P(n)} = {{c1:: 1}} \] | |
| Extra | Die Wurzel dämpft diese vollständig ab. |
Note 22: ETH::2. Semester::Analysis
Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID:
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Note Type: Horvath Cloze
GUID:
zC8GC`a@-j
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Front
Sei \(A\) ein Häufungspunkt der Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\). Für jedes \(\epsilon > 0\) gilt es gibt unendlich viele Folgeglieder, welche im Intervall \((A - \epsilon, A + \epsilon)\) liegen.
Back
Sei \(A\) ein Häufungspunkt der Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\). Für jedes \(\epsilon > 0\) gilt es gibt unendlich viele Folgeglieder, welche im Intervall \((A - \epsilon, A + \epsilon)\) liegen.
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | Sei \(A\) ein Häufungspunkt der Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\). Für jedes \(\epsilon > 0\) gilt {{c1::es gibt unendlich viele Folgeglieder, welche im Intervall \((A - \epsilon, A + \epsilon)\) liegen}}. |