\(\mathbb{Q}\) ist dicht in \(\mathbb{R}\) also {{c1::existiert eine Folge \((a_n) \to x\), \((a_n) \subset \mathbb{Q}\) für alle \(x \in \mathbb{R}\)::Folge}}.
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Note 1: ETH::2. Semester::Analysis
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\(\mathbb{Q}\) ist dicht in \(\mathbb{R}\) also {{c1::existiert eine Folge \((a_n) \to x\), \((a_n) \subset \mathbb{Q}\) für alle \(x \in \mathbb{R}\)::Folge}}.
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Äquivalent: Für alle \(a, b \in \mathbb{R}\) mit \(a < b\) existiert ein \(q \in \mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\).
Beweis: Sei \(x \in \mathbb{R}\). Für jedes \(n \in \mathbb{N}\) wähle \(q_n \in \mathbb{Q}\) mit \[x < q_n < x + \frac{1}{n}\]was nach der archimedischen Eigenschaft und der Existenz rationaler Zahlen zwischen je zwei reellen Zahlen möglich ist. Dann gilt \(|q_n - x| < \frac{1}{n}\), also \(q_n \to x\).
Beweis: Sei \(x \in \mathbb{R}\). Für jedes \(n \in \mathbb{N}\) wähle \(q_n \in \mathbb{Q}\) mit \[x < q_n < x + \frac{1}{n}\]was nach der archimedischen Eigenschaft und der Existenz rationaler Zahlen zwischen je zwei reellen Zahlen möglich ist. Dann gilt \(|q_n - x| < \frac{1}{n}\), also \(q_n \to x\).
Field-by-field Comparison
| Field | Before | After |
|---|---|---|
| Text | \(\mathbb{Q}\) ist <b>dicht</b> in \(\mathbb{R}\) also {{c1::existiert eine Folge \((a_n) \to x\), \((a_n) \subset \mathbb{Q}\) für alle \(x \in \mathbb{R}\)::Folge}}.<br><br><i>Proof included</i> | |
| Extra | Äquivalent: Für alle \(a, b \in \mathbb{R}\) mit \(a < b\) existiert ein \(q \in \mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\).<br><br><b>Beweis:</b> Sei \(x \in \mathbb{R}\). Für jedes \(n \in \mathbb{N}\) wähle \(q_n \in \mathbb{Q}\) mit \[x < q_n < x + \frac{1}{n}\]was nach der archimedischen Eigenschaft und der Existenz rationaler Zahlen zwischen je zwei reellen Zahlen möglich ist. Dann gilt \(|q_n - x| < \frac{1}{n}\), also \(q_n \to x\). |