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Author: lhorva <lhorva@student.ethz.ch>

Date: 2026-03-12T14:46:33+01:00

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Note 1: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Cloze
GUID: A.q9VQ@d~W
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::6._Matchings::1._Algorithmen
3/2-Approximation Metrisches TSP
  1. Bestimme minimalen Spannbaum \(T\)
    es gilt: \( \ell(T) \leq \text{opt}(K_n, \ell) \)
  2. ' \(X:=\) Knoten mit ungeradem Grad in \(T\)
    Bestimme minimales Matching \(M\) für \(X\) 
    es gilt: \(\ell(M) \leq \frac{1}{2}\text{opt}(K_n, \ell)\)
  3. bestimme Eulertour W
    es gilt: \(\ell(W) = \ell(T) + \ell(M) \leq \frac{3}{2}\text{opt}(K_n, \ell)\)
  4. durchlaufe W, mit Abkürzungen, so dass jeder Knoten nur einmal besucht wird \( \Rightarrow \) Hamiltonkreis C
    es gilt: \(\ell(C)\leq \ell(W) = {{c1::\ell(T) + \ell(M) \leq \frac{3}{2}\text{opt}(K_n, \ell)}}\)

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ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::6._Matchings::1._Algorithmen
3/2-Approximation Metrisches TSP
  1. Bestimme minimalen Spannbaum \(T\)
    es gilt: \( \ell(T) \leq \text{opt}(K_n, \ell) \)
  2. ' \(X:=\) Knoten mit ungeradem Grad in \(T\)
    Bestimme minimales Matching \(M\) für \(X\) 
    es gilt: \(\ell(M) \leq \frac{1}{2}\text{opt}(K_n, \ell)\)
  3. bestimme Eulertour W
    es gilt: \(\ell(W) = \ell(T) + \ell(M) \leq \frac{3}{2}\text{opt}(K_n, \ell)\)
  4. durchlaufe W, mit Abkürzungen, so dass jeder Knoten nur einmal besucht wird \( \Rightarrow \) Hamiltonkreis C
    es gilt: \(\ell(C)\leq \ell(W) = {{c1::\ell(T) + \ell(M) \leq \frac{3}{2}\text{opt}(K_n, \ell)}}\)

After

Front

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::6._Matchings::1._Algorithmen
3/2-Approximation Metrisches TSP
  1. Bestimme minimalen Spannbaum \(T\)
    es gilt: \( \ell(T) \leq \text{opt}(K_n, \ell) \)
  2. ' \(X:=\) Knoten mit ungeradem Grad in \(T\)
    Bestimme minimales Matching \(M\) für \(X\) 
    es gilt: \(\ell(M) \leq \frac{1}{2}\text{opt}(K_n, \ell)\)
  3. bestimme Eulertour W
    es gilt: \(\ell(W) = {{c1::\ell(T) + \ell(M) \leq \frac{3}{2}\text{opt}(K_n, \ell)}}\)
  4. durchlaufe W, mit Abkürzungen, so dass jeder Knoten nur einmal besucht wird \( \Rightarrow \) Hamiltonkreis C
    es gilt: \(\ell(C)\leq \ell(W) = {{c1::\ell(T) + \ell(M) \leq \frac{3}{2}\text{opt}(K_n, \ell)}}\)

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ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::6._Matchings::1._Algorithmen
3/2-Approximation Metrisches TSP
  1. Bestimme minimalen Spannbaum \(T\)
    es gilt: \( \ell(T) \leq \text{opt}(K_n, \ell) \)
  2. ' \(X:=\) Knoten mit ungeradem Grad in \(T\)
    Bestimme minimales Matching \(M\) für \(X\) 
    es gilt: \(\ell(M) \leq \frac{1}{2}\text{opt}(K_n, \ell)\)
  3. bestimme Eulertour W
    es gilt: \(\ell(W) = {{c1::\ell(T) + \ell(M) \leq \frac{3}{2}\text{opt}(K_n, \ell)}}\)
  4. durchlaufe W, mit Abkürzungen, so dass jeder Knoten nur einmal besucht wird \( \Rightarrow \) Hamiltonkreis C
    es gilt: \(\ell(C)\leq \ell(W) = {{c1::\ell(T) + \ell(M) \leq \frac{3}{2}\text{opt}(K_n, \ell)}}\)
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text 3/2-Approximation Metrisches TSP<br><ol> <li>Bestimme minimalen Spannbaum&nbsp;\(T\)<br>es gilt: \( \ell(T) \leq \text{opt}(K_n, \ell) \) </li> <li>'&nbsp;\(X:=\)&nbsp;Knoten mit ungeradem Grad in&nbsp;\(T\)<br>Bestimme minimales Matching&nbsp;\(M\)&nbsp;für&nbsp;\(X\)&nbsp;<br>es gilt:&nbsp;\(\ell(M) \leq \frac{1}{2}\text{opt}(K_n, \ell)\)</li> <li>bestimme Eulertour W <br>es gilt: \(\ell(W) = \ell(T) + \ell(M) \leq \frac{3}{2}\text{opt}(K_n, \ell)\) </li> <li>durchlaufe W, mit Abkürzungen, so dass jeder Knoten nur einmal besucht wird \( \Rightarrow \) Hamiltonkreis C<br>es gilt:&nbsp;\(\ell(C)\leq \ell(W) = {{c1::\ell(T) + \ell(M) \leq \frac{3}{2}\text{opt}(K_n, \ell)}}\)</li> </ol> 3/2-Approximation Metrisches TSP<br><ol> <li>Bestimme minimalen Spannbaum&nbsp;\(T\)<br>es gilt: \( \ell(T) \leq \text{opt}(K_n, \ell) \) </li> <li>'&nbsp;\(X:=\)&nbsp;Knoten mit ungeradem Grad in&nbsp;\(T\)<br>Bestimme minimales Matching&nbsp;\(M\)&nbsp;für&nbsp;\(X\)&nbsp;<br>es gilt:&nbsp;\(\ell(M) \leq \frac{1}{2}\text{opt}(K_n, \ell)\)</li> <li>bestimme Eulertour W <br>es gilt: \(\ell(W) = {{c1::\ell(T) + \ell(M) \leq \frac{3}{2}\text{opt}(K_n, \ell)}}\) </li> <li>durchlaufe W, mit Abkürzungen, so dass jeder Knoten nur einmal besucht wird \( \Rightarrow \) Hamiltonkreis C<br>es gilt:&nbsp;\(\ell(C)\leq \ell(W) = {{c1::\ell(T) + \ell(M) \leq \frac{3}{2}\text{opt}(K_n, \ell)}}\)</li> </ol>
Extra <img src="paste-1c177d0fb99ac23617cca4d5d743fd7e4aa65584.jpg">
Tags: ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::6._Matchings::1._Algorithmen

Note 2: ETH::2. Semester::A&W

Deck: ETH::2. Semester::A&W
Note Type: Horvath Cloze
GUID: pBU>?ljeoE
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen


Heuristik:
\(v_n\) := Knoten vom kleinsten Grad. Lösche \(v_n\).
\(v_{n-1}\) := Knoten vom kleinsten Grad im Restgraph. Lösche \(v_{n-1}\). Iteriere.

Falls \(G=(V,E)\) erfüllt:
In jedem Subgraphen gibt es einen Knoten mit Grad \(\leq k\) 

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ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen


Heuristik:
\(v_n\) := Knoten vom kleinsten Grad. Lösche \(v_n\).
\(v_{n-1}\) := Knoten vom kleinsten Grad im Restgraph. Lösche \(v_{n-1}\). Iteriere.

Falls \(G=(V,E)\) erfüllt:
In jedem Subgraphen gibt es einen Knoten mit Grad \(\leq k\) 
\(\Rightarrow\) Heuristik liefert Reihenfolge \(v_1,\ldots,v_n\) für die der Greedy-Algorithmus höchstens \(k+1\) Farben benötigt

After

Front

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen


Heuristik:
\(v_n\) := Knoten vom kleinsten Grad. Lösche \(v_n\).
\(v_{n-1}\) := Knoten vom kleinsten Grad im Restgraph. Lösche \(v_{n-1}\). Iteriere.

Falls \(G=(V,E)\) erfüllt:
In jedem Subgraphen gibt es einen Knoten mit Grad \(\leq k\) 
\(\Rightarrow\) Heuristik liefert Reihenfolge \(v_1,\ldots,v_n\) für die der Greedy-Algorithmus höchstens \(k+1\) Farben benötigt

Back

ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen


Heuristik:
\(v_n\) := Knoten vom kleinsten Grad. Lösche \(v_n\).
\(v_{n-1}\) := Knoten vom kleinsten Grad im Restgraph. Lösche \(v_{n-1}\). Iteriere.

Falls \(G=(V,E)\) erfüllt:
In jedem Subgraphen gibt es einen Knoten mit Grad \(\leq k\) 
\(\Rightarrow\) Heuristik liefert Reihenfolge \(v_1,\ldots,v_n\) für die der Greedy-Algorithmus höchstens \(k+1\) Farben benötigt
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text <img src="paste-64d1ec7afe8d86718547048820e1a3dd13d47a8c.jpg"><br><br>Heuristik:<br>\(v_n\) := Knoten vom kleinsten Grad. Lösche \(v_n\).<br>\(v_{n-1}\) := Knoten vom kleinsten Grad im Restgraph. Lösche \(v_{n-1}\). Iteriere.<br><br>Falls \(G=(V,E)\) erfüllt:<br>{{c1::In jedem Subgraphen gibt es einen Knoten mit Grad \(\leq k\)&nbsp;}} <img src="paste-64d1ec7afe8d86718547048820e1a3dd13d47a8c.jpg"><br><br>Heuristik:<br>\(v_n\) := Knoten vom kleinsten Grad. Lösche \(v_n\).<br>\(v_{n-1}\) := Knoten vom kleinsten Grad im Restgraph. Lösche \(v_{n-1}\). Iteriere.<br><br>Falls \(G=(V,E)\) erfüllt:<br>{{c1::In jedem Subgraphen gibt es einen Knoten mit Grad \(\leq k\)&nbsp;}}<br>\(\Rightarrow\)&nbsp;Heuristik liefert Reihenfolge&nbsp;\(v_1,\ldots,v_n\)&nbsp;für die der Greedy-Algorithmus höchstens&nbsp;\(k+1\)&nbsp;Farben benötigt
Extra \(\Rightarrow\)&nbsp;Heuristik liefert Reihenfolge&nbsp;\(v_1,\ldots,v_n\)&nbsp;für die der Greedy-Algorithmus höchstens&nbsp;\(k+1\)&nbsp;Farben benötigt
Tags: ETH::2._Semester::A&W::1._Graphentheorie::7._Färbungen

Note 3: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: AO&PBz(QiL
modified

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Front

ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz
Eine Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N_0}}\) konvergiert falls

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ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz
Eine Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N_0}}\) konvergiert falls
\[\forall \varepsilon > 0 \; \exists N > 0 \text{ so dass } \forall n > N : |a_n - L| < \varepsilon\]

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz
Eine Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N_0}}\) konvergiert, falls:

Back

ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz
Eine Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N_0}}\) konvergiert, falls:
\[\forall \varepsilon > 0 \; \exists N > 0 \text{ so dass } \forall n > N : |a_n - L| < \varepsilon\]
Field-by-field Comparison
Field Before After
Front Eine Folge&nbsp;\((a_n)_{n \in \mathbb{N_0}}\)&nbsp;konvergiert falls Eine Folge&nbsp;\((a_n)_{n \in \mathbb{N_0}}\)&nbsp;konvergiert, falls:
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::2._Folgen::2._Konvergenz

Note 4: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Classic
GUID: Lg[^%7{L@o
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen
Wie lautet die Bernouilli Ungleichung?

Back

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen
Wie lautet die Bernouilli Ungleichung?
Für \(a \ge -1\) und \(n \ge 0\) gilt: \[(1 + a)^n \ge 1 + na\]

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen
Wie lautet die Bernoulli Ungleichung?

Back

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen
Wie lautet die Bernoulli Ungleichung?
Für \(a \ge -1\) und \(n \ge 0\) gilt: \[(1 + a)^n \ge 1 + na\]
Field-by-field Comparison
Field Before After
Front Wie lautet die Bernouilli Ungleichung? Wie lautet die Bernoulli Ungleichung?
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen

Note 5: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: zvw=Eo5]6L
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::3._Eulersche_Formel
Rotation: \(e^{z + i2\pi} = {{c1:: e^{z} }}\)

Back

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::3._Eulersche_Formel
Rotation: \(e^{z + i2\pi} = {{c1:: e^{z} }}\)
Im Kontext von Rotationen leuchtet das ein, eine volle Drehung um 360 ändert nichts.

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::3._Eulersche_Formel
Rotation: \(e^{z + i2\pi} = {{c1:: e^{z} }}\)

Back

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::3._Eulersche_Formel
Rotation: \(e^{z + i2\pi} = {{c1:: e^{z} }}\)
(Eine volle Drehung um 360° ändert nichts.)
Field-by-field Comparison
Field Before After
Extra Im Kontext von Rotationen leuchtet das ein, eine volle Drehung um 360 ändert nichts. (Eine volle Drehung um 360° ändert nichts.)
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::4._Komplexe_Zahlen::3._Eulersche_Formel
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