Anki Deck Changes

Commit: d9e0a28a - minor fixes

Author: obrhubr <obrhubr+noreply@noreply.com>

Date: 2026-04-12T22:49:09+02:00

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Note 1: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: =wRp[:z20n
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::4._Umordnung
Riemannscher Umordnungssatz (bedingt konvergente Reihen): Sei \(\sum a_n\) {{c1::bedingt konvergent und \(L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}\)}}.

Dann {{c2::gibt es eine Bijektion \(\phi\), so dass:
\[\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)} = L\]}}

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::4._Umordnung
Riemannscher Umordnungssatz (bedingt konvergente Reihen): Sei \(\sum a_n\) {{c1::bedingt konvergent und \(L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}\)}}.

Dann {{c2::gibt es eine Bijektion \(\phi\), so dass:
\[\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)} = L\]}}
Merke: Bedingt konvergente Reihen können durch Umordnung jeden Grenzwert annehmen!

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::4._Umordnung
Riemannscher Umordnungssatz: Sei \(\sum a_n\) {{c1::bedingt konvergent und \(L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}\)}}.

Dann {{c2::gibt es eine Bijektion \(\phi\), so dass:
\[\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)} = L\]}}

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::4._Umordnung
Riemannscher Umordnungssatz: Sei \(\sum a_n\) {{c1::bedingt konvergent und \(L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}\)}}.

Dann {{c2::gibt es eine Bijektion \(\phi\), so dass:
\[\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)} = L\]}}
Merke: Bedingt konvergente Reihen können durch Umordnung jeden Grenzwert annehmen!
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text <b>Riemannscher</b> Umordnungssatz (bedingt konvergente Reihen): Sei&nbsp;\(\sum a_n\)&nbsp;{{c1::<b>bedingt konvergent</b>&nbsp;und&nbsp;\(L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}\)}}.<br><br>Dann {{c2::gibt es eine Bijektion&nbsp;\(\phi\),&nbsp;so dass:<br>\[\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)} = L\]}} <b>Riemannscher</b> Umordnungssatz: Sei&nbsp;\(\sum a_n\)&nbsp;{{c1::<b>bedingt konvergent</b>&nbsp;und&nbsp;\(L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}\)}}.<br><br>Dann {{c2::gibt es eine Bijektion&nbsp;\(\phi\),&nbsp;so dass:<br>\[\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)} = L\]}}
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::4._Umordnung

Note 2: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: Kxv]M:Ve}-
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe
Sei \(\rho = {{c1:: \limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n} }}\).
Dann:
\[R = {{c2:: \begin{cases} 0 & \rho = \infty\\ \infty & \rho = 0 \\ \rho^{-1} & 0 < \rho < \infty \end{cases} }}\]

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe
Sei \(\rho = {{c1:: \limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n} }}\).
Dann:
\[R = {{c2:: \begin{cases} 0 & \rho = \infty\\ \infty & \rho = 0 \\ \rho^{-1} & 0 < \rho < \infty \end{cases} }}\]
(Formel von Hadamard)

Proof (Die Hadamard-Formel ist einfach das Wurzelkriterium umgestellt für |z|)
  • Potenzreihe \(\sum c_k z^k = \sum a_k\) für \(a_k = c_k z^k\)
  • Wurzelkriterium: \(|a_k|^{1/k} = |(c_k)^{1/k}| \ |z|\) - \(\limsup |(c_k)^{1/k}| \ |z| = |z| \limsup |(c_k)^{1/k}| < 1\)
  • \(\implies |z| < \frac{1}{\limsup |c_k|^{1/k}}\) Konvergiert also genau wenn \(|z| < \rho\) also innerhalb des Kreises mit Radius \(\rho\).

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe
Sei \(\rho = {{c1:: \limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n} }}\).
Dann:
\[R = {{c2:: \begin{cases} 0 & \rho = \infty\\ \infty & \rho = 0 \\ \rho^{-1} & 0 < \rho < \infty \end{cases} }}\]Proof Included

Back

ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe
Sei \(\rho = {{c1:: \limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n} }}\).
Dann:
\[R = {{c2:: \begin{cases} 0 & \rho = \infty\\ \infty & \rho = 0 \\ \rho^{-1} & 0 < \rho < \infty \end{cases} }}\]Proof Included
(Formel von Hadamard)

Proof (Die Hadamard-Formel ist einfach das Wurzelkriterium umgestellt für |z|)
  • Potenzreihe \(\sum c_k z^k = \sum a_k\) für \(a_k = c_k z^k\)
  • Wurzelkriterium: \(|a_k|^{1/k} = |(c_k)^{1/k}| \ |z|\)
  • \(\limsup |(c_k)^{1/k}| \ |z| = |z| \limsup |(c_k)^{1/k}| < 1\)
  • \(\implies |z| < \frac{1}{\limsup |c_k|^{1/k}}\) Konvergiert also genau wenn \(|z| < \rho\) also innerhalb des Kreises mit Radius \(\rho\).
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Sei \(\rho = {{c1:: \limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n} }}\). <br>Dann:<br>\[R = {{c2:: \begin{cases} 0 &amp; \rho = \infty\\ \infty &amp; \rho = 0 \\ \rho^{-1} &amp; 0 &lt; \rho &lt; \infty \end{cases} }}\] Sei \(\rho = {{c1:: \limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n} }}\). <br>Dann:<br>\[R = {{c2:: \begin{cases} 0 &amp; \rho = \infty\\ \infty &amp; \rho = 0 \\ \rho^{-1} &amp; 0 &lt; \rho &lt; \infty \end{cases} }}\]<i>Proof Included</i>
Extra (Formel von Hadamard)<br><br><b>Proof</b>&nbsp;(Die Hadamard-Formel ist einfach das Wurzelkriterium umgestellt für |z|)<br><ul><li>Potenzreihe \(\sum c_k z^k = \sum a_k\) für \(a_k = c_k z^k\)</li><li>Wurzelkriterium: \(|a_k|^{1/k} = |(c_k)^{1/k}| \ |z|\) - \(\limsup |(c_k)^{1/k}| \ |z| = |z| \limsup |(c_k)^{1/k}| &lt; 1\)</li><li>\(\implies |z| &lt; \frac{1}{\limsup |c_k|^{1/k}}\) Konvergiert also genau wenn \(|z| &lt; \rho\) also innerhalb des Kreises mit Radius \(\rho\).</li></ul> (Formel von Hadamard)<br><br><b>Proof</b>&nbsp;(Die Hadamard-Formel ist einfach das Wurzelkriterium umgestellt für |z|)<br><ul><li>Potenzreihe \(\sum c_k z^k = \sum a_k\) für \(a_k = c_k z^k\)</li><li>Wurzelkriterium: \(|a_k|^{1/k} = |(c_k)^{1/k}| \ |z|\)</li><li>\(\limsup |(c_k)^{1/k}| \ |z| = |z| \limsup |(c_k)^{1/k}| &lt; 1\)</li><li>\(\implies |z| &lt; \frac{1}{\limsup |c_k|^{1/k}}\) Konvergiert also genau wenn \(|z| &lt; \rho\) also innerhalb des Kreises mit Radius \(\rho\).</li></ul>
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::3._Reihen::2._Standard_Reihen::1._Potenzreihe
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