Anki Deck Changes

Commit: f7e73bab - monke stoopid

Author: lhorva <lhorva@student.ethz.ch>

Date: 2026-03-19T02:06:57+01:00

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Note 1: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: is0]!/|g|u
modified

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Front

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::2._Infimum_Supremum
Beweis: Für alle \(a < b\) in \(\mathbb{R}\) existiert ein \(\mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\)
  1. {{c1:: Wähle nach Archimedischem Prinzip \(n \in \mathbb{N}\) so dass \(\frac{1}{n} < b - a\).}}
  2. {{c2:: \(\frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}\) diese Vielfache überdecken ganz \(\mathbb{R}\) in regelmäßigen Abständen von \(\frac{1}{n}\).}}
  3. {{c3::Wähle kleinstes \(m \in \mathbb{Z}\) mit \(\frac{m}{n} > a\) dann gilt \(\frac{m - 1}{n} \le a\) also \[ \frac{m}{n} = \frac{m - 1}{n} + \frac{1}{n} \le a + \frac{1}{n} < a + (b - 1) = b \]}}
  4. {{c4:: Somit ist \(q = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\).}}

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ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::2._Infimum_Supremum
Beweis: Für alle \(a < b\) in \(\mathbb{R}\) existiert ein \(\mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\)
  1. {{c1:: Wähle nach Archimedischem Prinzip \(n \in \mathbb{N}\) so dass \(\frac{1}{n} < b - a\).}}
  2. {{c2:: \(\frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}\) diese Vielfache überdecken ganz \(\mathbb{R}\) in regelmäßigen Abständen von \(\frac{1}{n}\).}}
  3. {{c3::Wähle kleinstes \(m \in \mathbb{Z}\) mit \(\frac{m}{n} > a\) dann gilt \(\frac{m - 1}{n} \le a\) also \[ \frac{m}{n} = \frac{m - 1}{n} + \frac{1}{n} \le a + \frac{1}{n} < a + (b - 1) = b \]}}
  4. {{c4:: Somit ist \(q = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\).}}

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::2._Infimum_Supremum
Beweis: Für alle \(a < b\) in \(\mathbb{R}\) existiert ein \(\mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\)
  1. {{c1:: Wähle nach Archimedischem Prinzip \(n \in \mathbb{N}\) so dass \(\frac{1}{n} < b - a\).}}
  2. {{c2:: \(\frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}\) diese Vielfache überdecken ganz \(\mathbb{R}\) in regelmäßigen Abständen von \(\frac{1}{n}\).}}
  3. {{c3::Wähle kleinstes \(m \in \mathbb{Z}\) mit \(\frac{m}{n} > a\) dann gilt \(\frac{m - 1}{n} \le a\) also \[ \frac{m}{n} = \frac{m - 1}{n} + \frac{1}{n} \le a + \frac{1}{n} < a + (b - a) = b \]}}
  4. {{c4:: Somit ist \(q = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\).}}

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ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::2._Infimum_Supremum
Beweis: Für alle \(a < b\) in \(\mathbb{R}\) existiert ein \(\mathbb{Q}\) mit \(a < q < b\)
  1. {{c1:: Wähle nach Archimedischem Prinzip \(n \in \mathbb{N}\) so dass \(\frac{1}{n} < b - a\).}}
  2. {{c2:: \(\frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}\) diese Vielfache überdecken ganz \(\mathbb{R}\) in regelmäßigen Abständen von \(\frac{1}{n}\).}}
  3. {{c3::Wähle kleinstes \(m \in \mathbb{Z}\) mit \(\frac{m}{n} > a\) dann gilt \(\frac{m - 1}{n} \le a\) also \[ \frac{m}{n} = \frac{m - 1}{n} + \frac{1}{n} \le a + \frac{1}{n} < a + (b - a) = b \]}}
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Field-by-field Comparison
Field Before After
Text Beweis: Für alle \(a &lt; b\) in \(\mathbb{R}\) existiert ein \(\mathbb{Q}\) mit \(a &lt; q &lt; b\)<br><ol><li>{{c1:: Wähle nach Archimedischem Prinzip&nbsp;\(n \in \mathbb{N}\)&nbsp;so dass&nbsp;\(\frac{1}{n} &lt; b - a\).}}</li><li>{{c2::&nbsp;\(\frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}\)&nbsp;diese Vielfache überdecken ganz&nbsp;\(\mathbb{R}\)&nbsp;in regelmäßigen Abständen von&nbsp;\(\frac{1}{n}\).}}</li><li>{{c3::Wähle kleinstes&nbsp;\(m \in \mathbb{Z}\)&nbsp;mit&nbsp;\(\frac{m}{n} &gt; a\)&nbsp;dann gilt&nbsp;\(\frac{m - 1}{n} \le a\)&nbsp;also&nbsp;\[ \frac{m}{n} = \frac{m - 1}{n} + \frac{1}{n} \le a + \frac{1}{n} &lt; a + (b - 1) = b \]}}</li><li>{{c4:: Somit ist&nbsp;\(q = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}\)&nbsp;mit&nbsp;\(a &lt; q &lt; b\).}}</li></ol> Beweis: Für alle \(a &lt; b\) in \(\mathbb{R}\) existiert ein \(\mathbb{Q}\) mit \(a &lt; q &lt; b\)<br><ol><li>{{c1:: Wähle nach Archimedischem Prinzip&nbsp;\(n \in \mathbb{N}\)&nbsp;so dass&nbsp;\(\frac{1}{n} &lt; b - a\).}}</li><li>{{c2::&nbsp;\(\frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}\)&nbsp;diese Vielfache überdecken ganz&nbsp;\(\mathbb{R}\)&nbsp;in regelmäßigen Abständen von&nbsp;\(\frac{1}{n}\).}}</li><li>{{c3::Wähle kleinstes&nbsp;\(m \in \mathbb{Z}\)&nbsp;mit&nbsp;\(\frac{m}{n} &gt; a\)&nbsp;dann gilt&nbsp;\(\frac{m - 1}{n} \le a\)&nbsp;also&nbsp;\[ \frac{m}{n} = \frac{m - 1}{n} + \frac{1}{n} \le a + \frac{1}{n} &lt; a + (b - a) = b \]}}</li><li>{{c4:: Somit ist&nbsp;\(q = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}\)&nbsp;mit&nbsp;\(a &lt; q &lt; b\).}}</li></ol>
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::1._Logik,_Mengen,_Zahlen::3._Zahlen::2._Infimum_Supremum

Note 2: ETH::2. Semester::Analysis

Deck: ETH::2. Semester::Analysis
Note Type: Horvath Cloze
GUID: tRigUC_tan_07
modified

Before

Front

ETH::2._Semester::Analysis::0._Trigonometrie::1._Einheitskreis::3._Tangens
\[ \tan\!\left(\frac{5\pi}{6}\right) = {{c1::-\frac{\sqrt{3} }{3} }} \]

Back

ETH::2._Semester::Analysis::0._Trigonometrie::1._Einheitskreis::3._Tangens
\[ \tan\!\left(\frac{5\pi}{6}\right) = {{c1::-\frac{\sqrt{3} }{3} }} \]

After

Front

ETH::2._Semester::Analysis::0._Trigonometrie::1._Einheitskreis::3._Tangens
\[ \tan\!\left(\frac{5\pi}{6}\right) = {{c1::-\frac{\sqrt{3} }{3} = -\frac{1}{\sqrt{3} } }} \]

Back

ETH::2._Semester::Analysis::0._Trigonometrie::1._Einheitskreis::3._Tangens
\[ \tan\!\left(\frac{5\pi}{6}\right) = {{c1::-\frac{\sqrt{3} }{3} = -\frac{1}{\sqrt{3} } }} \]
Field-by-field Comparison
Field Before After
Text \[ \tan\!\left(\frac{5\pi}{6}\right) = {{c1::-\frac{\sqrt{3} }{3} }} \] \[ \tan\!\left(\frac{5\pi}{6}\right) = {{c1::-\frac{\sqrt{3} }{3} = -\frac{1}{\sqrt{3} }&nbsp;}} \]
Tags: ETH::2._Semester::Analysis::0._Trigonometrie::1._Einheitskreis::3._Tangens
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